【摘 要】极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终,掌握求极限的方法与技巧是学好高等数学课程的基础。本文较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的多种方法。
　　【关键词】高等数学 极限 方法 能力
　　【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)06-0200-01
　　
　　极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终,因此,掌握求极限的方法与技巧是学好高等数学课程的基础。下面介绍(或简要介绍)求数列极限与函数极限的几种方法。
　　
　　1 用极限的定义求极限
　　
　　例1:观察函数图形容易得到下面几个极限:=C(C为常数);;;;等。
　　例2:单位阶梯函数当时没有极限,因为在处有跳跃,左极限,而右极限 ,不存在单一的值A,使得当时趋于A。
　　
　　2 用极限运算法则求极限
　　
　　对、、、型未定式极限也可考虑用极限运算法则计算,但在使用前应当对函数作适当的恒等变形。
　　
　　3 用无穷小的性质求极限
　　
　　有界变量与无穷小的乘积是无穷小;
　　求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可以用等价无穷小替换。
　　
　　4 用夹逼准则求极限
　　
　　对于无穷多项的和或积不易变为有限项时,可考虑使用夹逼准则。
　　
　　5 用两个重要极限求极限
　　
　　两个重要极限是指:;
　　。用它们求极限时,一般要将待求极限化成形式(其中)或(其中)。
　　连续、导数、定积分和级数等概念与性质也是计算某些极限的有效方法。
　　
　　6 用函数的连续性求极限
　　
　　若是初等函数,在其定义域内,则有。
　　7 用导数的定义求极限
　　若存在,则
　　
　　或。
　　用导数定义可以将某些求极限问题转化为求导数。
　　
　　8 用微分中值定理求极限
　　
　　例3:求极限。
　　解:对函数在区间上使用拉格朗日中值定理,得,其中。当时,,故。
　　
　　9 用洛必达法则求极限
　　
　　用洛必达法则求未定式的极限,是一种简便而有实效的方法。在求“”、“”、“”、“”和“”型极限时,要先通过恒等变形,将其化为“”或“”型极限,再利用洛必达法则。
　　
　　10 用定积分的定义及性质求极限
　　
　　例4:求极限。
　　解:原式
　　
　　例5:求极限。
　　解:函数中含有变上限积分,且属型未定式,故可用洛必达法则及变上限积分函数的导数公式求极限。
　　因此
　　
　　例6:求极限。
　　解:由积分中值定理,得
　　
　　11 用级数收敛的必要条件求极限
　　例7:求极限。
　　解:令,显然。考虑正项级数,因
　　
　　由比值审敛法知级数收敛,故
　　
　　12 用幂级数的和函数求极限
　　例8:求极限。
　　解:构造幂级数,则所求极限恰好是此级数的和函数在处的值。由于,故当时,该级数收敛。设,于是有
　　 因此
　　
　　参考文献
　　[1] 西北工业大学.高等数学中的典型问题与解法.上海:同济大学出版社,2003.
　　[2] 同济大学应用数学系.高等数学.北京:高等教育出版社,2003.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”