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摘要:随着经济体制改革的不断深入,合理地确定价格是非常必要的。在市场经济条件下,最优价格可使生产者获得最大的经济利益。而数学和经济的联系是十分紧密的,对数学的应用要通过数学模型。即将数学方法应用到实际问题中时,首先是把这个问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来。然后经过数学的处理得到定量的结果,以供人们作分析、预报、决策或者控制,这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程。本文主要讨论在供求平衡条件下的最优价格的数学模型。
关键词:数学模型;最优价格;总利润;极值;敏感系数
中图分类号:F0 文献标识码:A文章编号:1009-0118(2010)-06-0167-02
一、问题的提出
对任一商品,其利润总与销售量和价格有关,而销售量又受价格的影响。价格太高,销售量会下降;如果要促进销售量,就必须下调价格,这两种情况都将影响到商品的获利。所以要使商品获利最大,就应该给商品确定一个最优的价格。
二、模型假设
(一)假设商品在产销平衡的状态下销售。(商品的产量等于市场上的销售量)
(二)假设销售量与价格是线性递减函数,商品的成本与产量也是相关联的。
(三)以月为单位。
三、模型的建立
利润是销售收入与支出之差。设某商品的售价为p,成本为q,售量为x(与产量相等),则总收入与总支出分别为I=px,C=qx 。又,x=f(p),称为需求函数,它是p的减函数。当成本q是常数的情况下,总收入I和总支出C都是价格p的函数: I(p)=pf(p)、C(p)=qf(p),根据利润=销售量 价格—总成本,因此利润U可以表示为
U(p)=I(p)-C(p)=(p-q)f(P)(1)
由一元函数取得极值的必要条件得,使利润U(p)达到最大的最优价格p*可以由=0
得,即=(2)
其中 称为边际收入, 称为边际支出。(2)式表明最大利润在边际收入等于边际支出时取得。
(一)若需求函数是线性函数,即
f(p)=a-bp,(a,b>0)(3)
且每件商品的成本q与产量x无关,把总收入函数、总支出函数、需求函数和(3)式代入(1)式得
U(p)=(p-q)(a-bp)
用微分法求得最优价格p*为
p*= +(4)
在(3)式中a可以理解为这种商品免费供应时(p = 0)社会的需求量,称为“绝对需求量”b= -。 表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度。在实际工作中a,b可以由价格p和售量x的统计数据用最小二乘法来确定。(4)式表明最优价格是两部分之和,一部分是成本q的一半,另一部分与“绝对需求量”成正比,与市场需求对价格的敏感系数成反比。
(二)若考虑到成本q随着产量x的增加而降低,试做出合理的假设,重新求解。
不妨设 q(x)=q0-kx,k是产量增加一个单位时降低的成本。
U(p)=I(p)-C(p)=(p-q0+kx)x=[p-q0+k(a-bp)](a-dp)
令U'(p)=0,得最优价格
p*= +
(三)假如销售量x不是价格p的线性函数,成本q与产量x无关,则最优价格p*由U'(p)=f(p)+(p-q)f'(p)=0确定。
(四)设销售期为T,由于商品消耗,成本q随时间增长,设q=q0+βt ,β为相对增长率,又设单位时间的销售量为 x=a-bp( p为价格),现将销售期分为0< t 总利润U(p1,p2)=[p1-q(t)](a-bp1)dt+ [p2-q(t)](a-bp2)dt
={(a-bp1)-b[p1-(q0+)]+(a-bp2)-b[p2-(q0+)]}
由=0,=0,可得最优价格
p1=[a+b(q0+)],p2=[a+b(q0+)]
设总销量为Q0,
Q0=(a-bp1)dt+(a-bp2)dt=aT-(p1+p2)
在此约束条件下U(p1,p2)的最大值点为
=---,=-+
(五)设整个销售过程中每件商品的成本q不变,总销售时间为T,且在时间T内销售量为G件,仍设需求函数是线性函数,f(p)=a-bp ,(a,b>0 )。此时,最优价格p* =p(t) ,时间定在[0,T]内,总利润为
L(p(t))= [P(t)-q][a-ap(t)]dt (5)
使p(t) 满足 [a-bp(t)]dt=G(6)
(5)式为 的泛函,利用Lagrange乘子法把上述条件极值转化为无条件极值。J(p(t))={[p(t)-q][a-abp(t)]+λ[a-bp(t)]}dt令 。解得
p*=(7)
(7)式表明最优价格为常数,将(7)式代入(6)得
[a- ]dt=G
经计算得,λ=-+q ( 8)
将(8)式代入(7)式得p*==- (9)
由(9)式得,最优价格由两部分构成:一部分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比;另一部分随销售时间T的增加而提高,随总销售量G的增加而降低。
(六)若销售时间为T,销售的商品数量为G件,且需求函数仍是线性函数,f(p)=a-bp,(a,b>0 )。但是,在销售过程中由于受存贮费和变质损失费等诸因素的影响,每件商品的成本q是可变的。设它随时间的相对增长率为β (β >0),且初始成本为q0 ,即q(t)｝t=0=q0 ,商品销售最优价格p*=p(t)。在时间T内获取的总利润为
l(p(t)) = [p(t)-q(t)][a-bp(t)]dt(10)
并且要求p(t) 满足[a-bp(t)]dt=G(11)
由假定q(t) 随t的相对增长率为β 知
=q(12)
q(t) 满足q(t)[t=0=q0。(12)式为变量分离型一阶常微分方程,满足 q(t)[t=0=q0的解为
q=q0 et(13)
将(13)式代入(10)得
L=(P(t))=[p(t)-m0 et ][a-bp(t)]dt
利用Lagrange乘子法将上述泛函的条件极值转化为无条件极值。令J(P(t))= [p(t)-q0 et ][a-bp(t)]+λ[a-bp(t)]dt解得P*= (14)
将(14)式代入(11)得
λ= + - (15)
将(15)式代入(14)式得P*= - +
上式表明每件商品的成本q=q0 et 随时间延续不断提高,最优价格P* 也随时间延续不断提高。由于et≈1+t ,因此上式可近似表为:
P*=- +=-+
从上式看出,商品销售最优价格近似由3部分构成:第一部分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比;第二部分随销售时间T的增加而提高,随总销售量G的增加而降低;第三部分与初始成本q0 成正比并与成本q 随时间的增长率 成正比,以及随时间t的增加而提高。
四、模型求解
例1 设某商品的需求函数为f(p)=6- 。在整个过程中,该商品每件成本q=4,求该商品的最优销售价格。
解:因为在整个过程中每件商品的成本q=4是常数,所以该商品销售的最优价格是不变的。这属于模型1。由模型1得,a=6,b= 得p=+=2+6 =8。所以当P* =8时利润最大,此时价格为最优价格。
例2 一液化石油公司,生产煤气。每罐煤气在初始销售时的成本qo为43元,由于产品损耗等原因,每罐煤气的成本随时间增长,其增长率 为1.5。该公司为了确定合适的价格,作了如下调查:
某液化石油公司销售情况调查表
可将一年的销售量分为上半年和下半年两个时期,每半年的价格固定分别为P1 ,P2 。
(1)试求 P1 ,P2 ,使一年内的总利润最大;
(2)若一年内的总售量Q0为7100罐,求 P1 ,P2 的最优值。
解:此例属于模型4。(1)将上表数据代入
x=-bp(t)
可以得出=2560 , b=30,所以 x=2560-30p,再将=2560 , b=30,q0 =43, =1.5代入p1= a+b(q0+),p2=a+b(q0+) ,
得p1≈66.42元,p2≈70.92 元。
(2)把Q0=7100,代入=- -,= -+
得 p1≈63.36,p2≈67.86。
例3 某商品在60天售出180件,在整个供销过程中每件商品的成本q=4保持不变,市场需求函数为f(p)=6-。试求该商品的最优销售价格。
解:此例属于模型5,已知 =6,b= ,T=60,G=180,得 ,P*==-=12-6=6故该商品的最优价格为P* =6。
五、模型的评价及推广
本模型考虑到目标函数是与时间有关的连续函数,因此采用了积分法,在这我们是以月为单位的,如果要使答案更精确些,还可以以其他更小的时间段为单位。
本模型不但给出了实例的结果,而且还建立了普遍适用的最优价格的数学模型,只需针对具体的问题对模型稍加修改就可以从中得到你想要的答案了,可以推广到其他商品中。除了上述最优价格模型,经济学中的弹性理论,金融工程中的期货期权理论,最优化等都是经济和数学的完美结合,数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的道路,同时也使经济学从定性研究向定量研究转化,更加具有理性和发散思维,正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力,也为社会创造了很大的物质财富,相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。
参考文献:
[1]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,1993,92-94.
[2]毕建芝,段生贵.商品出售中最优价格的确定[J].经济论坛,2004.
[3]吴亚敏.最优价格的数学模型[J].商场现代化,2008.539(5):28.
[4]张有旭.最优价格模型的建立及其解法[J].现代情报,2004.4(4):206-207.
[5]赖金花,欧杰泉,柯文峰.商品最优价格的数学模型[J].韶关学院学生数学建模论文集,2002,10.=
关键词:数学模型;最优价格;总利润;极值;敏感系数
中图分类号:F0 文献标识码:A文章编号:1009-0118(2010)-06-0167-02
一、问题的提出
对任一商品,其利润总与销售量和价格有关,而销售量又受价格的影响。价格太高,销售量会下降;如果要促进销售量,就必须下调价格,这两种情况都将影响到商品的获利。所以要使商品获利最大,就应该给商品确定一个最优的价格。
二、模型假设
(一)假设商品在产销平衡的状态下销售。(商品的产量等于市场上的销售量)
(二)假设销售量与价格是线性递减函数,商品的成本与产量也是相关联的。
(三)以月为单位。
三、模型的建立
利润是销售收入与支出之差。设某商品的售价为p,成本为q,售量为x(与产量相等),则总收入与总支出分别为I=px,C=qx 。又,x=f(p),称为需求函数,它是p的减函数。当成本q是常数的情况下,总收入I和总支出C都是价格p的函数: I(p)=pf(p)、C(p)=qf(p),根据利润=销售量 价格—总成本,因此利润U可以表示为
U(p)=I(p)-C(p)=(p-q)f(P)(1)
由一元函数取得极值的必要条件得,使利润U(p)达到最大的最优价格p*可以由=0
得,即=(2)
其中 称为边际收入, 称为边际支出。(2)式表明最大利润在边际收入等于边际支出时取得。
(一)若需求函数是线性函数,即
f(p)=a-bp,(a,b>0)(3)
且每件商品的成本q与产量x无关,把总收入函数、总支出函数、需求函数和(3)式代入(1)式得
U(p)=(p-q)(a-bp)
用微分法求得最优价格p*为
p*= +(4)
在(3)式中a可以理解为这种商品免费供应时(p = 0)社会的需求量,称为“绝对需求量”b= -。 表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度。在实际工作中a,b可以由价格p和售量x的统计数据用最小二乘法来确定。(4)式表明最优价格是两部分之和,一部分是成本q的一半,另一部分与“绝对需求量”成正比,与市场需求对价格的敏感系数成反比。
(二)若考虑到成本q随着产量x的增加而降低,试做出合理的假设,重新求解。
不妨设 q(x)=q0-kx,k是产量增加一个单位时降低的成本。
U(p)=I(p)-C(p)=(p-q0+kx)x=[p-q0+k(a-bp)](a-dp)
令U'(p)=0,得最优价格
p*= +
(三)假如销售量x不是价格p的线性函数,成本q与产量x无关,则最优价格p*由U'(p)=f(p)+(p-q)f'(p)=0确定。
(四)设销售期为T,由于商品消耗,成本q随时间增长,设q=q0+βt ,β为相对增长率,又设单位时间的销售量为 x=a-bp( p为价格),现将销售期分为0< t
={(a-bp1)-b[p1-(q0+)]+(a-bp2)-b[p2-(q0+)]}
由=0,=0,可得最优价格
p1=[a+b(q0+)],p2=[a+b(q0+)]
设总销量为Q0,
Q0=(a-bp1)dt+(a-bp2)dt=aT-(p1+p2)
在此约束条件下U(p1,p2)的最大值点为
=---,=-+
(五)设整个销售过程中每件商品的成本q不变,总销售时间为T,且在时间T内销售量为G件,仍设需求函数是线性函数,f(p)=a-bp ,(a,b>0 )。此时,最优价格p* =p(t) ,时间定在[0,T]内,总利润为
L(p(t))= [P(t)-q][a-ap(t)]dt (5)
使p(t) 满足 [a-bp(t)]dt=G(6)
(5)式为 的泛函,利用Lagrange乘子法把上述条件极值转化为无条件极值。J(p(t))={[p(t)-q][a-abp(t)]+λ[a-bp(t)]}dt令 。解得
p*=(7)
(7)式表明最优价格为常数,将(7)式代入(6)得
[a- ]dt=G
经计算得,λ=-+q ( 8)
将(8)式代入(7)式得p*==- (9)
由(9)式得,最优价格由两部分构成:一部分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比;另一部分随销售时间T的增加而提高,随总销售量G的增加而降低。
(六)若销售时间为T,销售的商品数量为G件,且需求函数仍是线性函数,f(p)=a-bp,(a,b>0 )。但是,在销售过程中由于受存贮费和变质损失费等诸因素的影响,每件商品的成本q是可变的。设它随时间的相对增长率为β (β >0),且初始成本为q0 ,即q(t)｝t=0=q0 ,商品销售最优价格p*=p(t)。在时间T内获取的总利润为
l(p(t)) = [p(t)-q(t)][a-bp(t)]dt(10)
并且要求p(t) 满足[a-bp(t)]dt=G(11)
由假定q(t) 随t的相对增长率为β 知
=q(12)
q(t) 满足q(t)[t=0=q0。(12)式为变量分离型一阶常微分方程,满足 q(t)[t=0=q0的解为
q=q0 et(13)
将(13)式代入(10)得
L=(P(t))=[p(t)-m0 et ][a-bp(t)]dt
利用Lagrange乘子法将上述泛函的条件极值转化为无条件极值。令J(P(t))= [p(t)-q0 et ][a-bp(t)]+λ[a-bp(t)]dt解得P*= (14)
将(14)式代入(11)得
λ= + - (15)
将(15)式代入(14)式得P*= - +
上式表明每件商品的成本q=q0 et 随时间延续不断提高,最优价格P* 也随时间延续不断提高。由于et≈1+t ,因此上式可近似表为:
P*=- +=-+
从上式看出,商品销售最优价格近似由3部分构成:第一部分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比;第二部分随销售时间T的增加而提高,随总销售量G的增加而降低;第三部分与初始成本q0 成正比并与成本q 随时间的增长率 成正比,以及随时间t的增加而提高。
四、模型求解
例1 设某商品的需求函数为f(p)=6- 。在整个过程中,该商品每件成本q=4,求该商品的最优销售价格。
解:因为在整个过程中每件商品的成本q=4是常数,所以该商品销售的最优价格是不变的。这属于模型1。由模型1得,a=6,b= 得p=+=2+6 =8。所以当P* =8时利润最大,此时价格为最优价格。
例2 一液化石油公司,生产煤气。每罐煤气在初始销售时的成本qo为43元,由于产品损耗等原因,每罐煤气的成本随时间增长,其增长率 为1.5。该公司为了确定合适的价格,作了如下调查:
某液化石油公司销售情况调查表
可将一年的销售量分为上半年和下半年两个时期,每半年的价格固定分别为P1 ,P2 。
(1)试求 P1 ,P2 ,使一年内的总利润最大;
(2)若一年内的总售量Q0为7100罐,求 P1 ,P2 的最优值。
解:此例属于模型4。(1)将上表数据代入
x=-bp(t)
可以得出=2560 , b=30,所以 x=2560-30p,再将=2560 , b=30,q0 =43, =1.5代入p1= a+b(q0+),p2=a+b(q0+) ,
得p1≈66.42元,p2≈70.92 元。
(2)把Q0=7100,代入=- -,= -+
得 p1≈63.36,p2≈67.86。
例3 某商品在60天售出180件,在整个供销过程中每件商品的成本q=4保持不变,市场需求函数为f(p)=6-。试求该商品的最优销售价格。
解:此例属于模型5,已知 =6,b= ,T=60,G=180,得 ,P*==-=12-6=6故该商品的最优价格为P* =6。
五、模型的评价及推广
本模型考虑到目标函数是与时间有关的连续函数,因此采用了积分法,在这我们是以月为单位的,如果要使答案更精确些,还可以以其他更小的时间段为单位。
本模型不但给出了实例的结果,而且还建立了普遍适用的最优价格的数学模型,只需针对具体的问题对模型稍加修改就可以从中得到你想要的答案了,可以推广到其他商品中。除了上述最优价格模型,经济学中的弹性理论,金融工程中的期货期权理论,最优化等都是经济和数学的完美结合,数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的道路,同时也使经济学从定性研究向定量研究转化,更加具有理性和发散思维,正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力,也为社会创造了很大的物质财富,相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。
参考文献:
[1]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,1993,92-94.
[2]毕建芝,段生贵.商品出售中最优价格的确定[J].经济论坛,2004.
[3]吴亚敏.最优价格的数学模型[J].商场现代化,2008.539(5):28.
[4]张有旭.最优价格模型的建立及其解法[J].现代情报,2004.4(4):206-207.
[5]赖金花,欧杰泉,柯文峰.商品最优价格的数学模型[J].韶关学院学生数学建模论文集,2002,10.=