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从统计中我们可以发现,圆锥曲线部分在山东省试卷中平均所占分值是16.8分,题型基本是1～2道客观题和一道解答题,难度上易、中、难都有,主要考查的内容是圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线与向量、数列等知识相结合的综合问题,尤其是与向量的结合是考查的热点.下面针对高考,举例分析一下圆锥曲线的复习要点和方向.
一、圆锥曲线的定义及几何性质
重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质,因为这是本章的基石,高考所考的题目都要涉及到这些内容.
1. 求曲线方程
求曲线方程的常用方法有求轨迹方程法、定义法、待定系数法等.
例1(2008山东10):设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为
A.x242-y232=1 B.x2132-y252=1
C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1
解析:根据双曲线的定义可判断曲线C2是焦点在x轴上,且实轴长2a=8的双曲线;再根据椭圆的长轴长为26,离心率为513,可得半焦距c=5,由于双曲线与椭圆的焦点相同,即可求出方程为x242-y232=1.
答案:A.
2.求椭圆、双曲线的离心率
求离心率关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系,然后把b用a、c代换,求出离心率.在双曲线中,由于e2=1+(ba)2,所以双曲线的渐近线与离心率密切相关.
例2(2007全国Ⅱ):设F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|.则双曲线的离心率为
A.52B.102C.152 D.5
解析:已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑用圆锥曲线的定义求解.设双曲线x2a2-y2b2=1的半焦距为c,依题意双曲线上存在点A,由定义可得|AF1|-|AF2|=2a.再根据∠F1AF2=90°,可得|AF1|2+|AF2|2=4c2,再与|AF1|=3|AF2|联立方程组解得e=ca=102.
答案:B.
例3(2009山东9):设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2只有一个公共点,则双曲线的离心率为
A.54B.5C.52D.5
解析:由题意双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线y=abx与抛物线y=x2+1只有一个公共点,可联立方程组得到一元二次方程x2-bax+1=0的判别式Δ=0,解得(ba)2=4,根据e2=1-(ba)2求的e=5.
答案:D
二、最值或定值问题
以圆锥曲线为载体的最值或定值问题也是高考考查的热点,多与函数、不等式等知识结合,以解答题的形式出现.
1.最值问题
最值问题涉及的知识面比较广,常用的有以下几种方法:
(1)利用不等式,尤其是均值不等式求最值;
(2)利用函数,尤其是二次函数求最值;
(3)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值.
例4(2007全国Ⅰ):已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P.
(1)设P点的坐标为(x0,y0),证明:x203+y202<1;
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
解析:(1)椭圆的半焦距c=3-2=1,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,所以x20+y20=1,故由放缩法可得x203+y202 (2)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2.
|BD|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=43(k2+1)3k2+2.
因为AC与BD相交于点P,且斜率为-1k,所以|AC|=43(1k2+1)31k2+2.
则四边形ABCD的面积
S=12|BD||AC|=24(k2+1)(3k2+2)(2k2+3)≥24(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)2
2=9625.
所以四边形ABCD的面积的最小值为9625.
2.定值问题
例5(2009辽宁):已知椭圆C过点A(1,32),两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
解析:(1)由题意,c=1,由待定系数法可设椭圆方程为x21+b2+y2b2=1,将A(1,32)代入得11+b2+94b2=1,解得b2=3,b2=-34(舍去).所以椭圆方程x24+y23=1.
(2)设直线AE方程为y=k(x-1)+32,代入x24+y23=1得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(32-k)2-12=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),因为点A(1,32)在椭圆上,
所以x1=4(32-k)2-123+4k2,y1=kx1+32-k.
又直线AF的斜率与直线AE的斜率互为相反数,
所以x2=4(32+k)2-123+4k2,y2=-kx2+32+k.
所以直线EF的斜率k=y2-y1x2-x1=-k(x2+x1)+2kx2-x1=12.
即直线EF的斜率为定值,定值为12.
三、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题,主要是直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线与向量、数列等知识相结合的题目,特别是圆锥曲线与向量相结合的综合题目是高考考查的热点.
1.直线与圆锥曲线相交问题
直线与圆锥曲线相交问题,关键就是将直线方程与圆锥曲线方程联立,化成关于x(或y)的一元二次方程,利用韦达定理求两交点横坐标(纵坐标)的和与积,再利用已知条件找到等量关系(如例4、例5).
2.圆锥曲线与向量、数列等知识相结合的问题
例6(2008山东22) :如图,设抛物线方程x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过点M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(1) 求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=410.求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中,
点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点).若存在,
求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,
请说明理由.
解析:(1)证明:由题意设A(x1,x212p),b(x2,x222p),x1 由x2=2py,得y=x22p,则y′=xp,所以kMA=x1p,kMB=x2p.
可得直线MA的方程为y+2p=x1p(x-x0),
直线MB的方程为y+2p=x2p(x-x0).
因为点A,B分别在两条直线上,所以x212p+2p=x1p(x1-x0), ①
x222p+2p=x2p(x2-x0).②
由①-②可得2x0=x1+x2,则可证得A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)解:因为M点的坐标为(2,-2p),即x0=2,代入①②并整理得x21-4x1-4p2=0
,x22-4x2-4p2=0.
即x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根.
因此x1+x2=4,x1x2=-4p2.
又有kAB=x222p-x212px2-x1=x1+x22p=x0p=2p.
由弦长公式可得
|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2
=1+4p216+16p2=410.
可得p=1或p=2,所以所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
(3)解:设D(x3,y3),由点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点)可得C(x1+x2,y1+y2),且(x1+x22,y1+y22)在直线AB上.
因为C、D关于直线AB对称,
所以CD的中点坐标Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32)也在直线AB上.
代入直线AB:y-y1=x0p(x-x1),可得y3=x0px3.
若D(x3,y3)在抛物线上,则x23=2py3=2x0x3.
解得x3=0或x3=2x0,即D(0,0)或D(2x0,2x20p).
当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时点M(0,-2p)适合题意.
当x0≠0时,对于D(0,0),C(2x0,x21+x222p),kCD=x21+x222p2x0=x21+x224px0.
又因为kAB=x0p,AB⊥CD,所以kABkCD=x0px21+x224px0=-1.
即x21+x22=-4p2,矛盾.
对于D(2x0,2x20p),因为C(2x0,x21+x222p),此时直线CD平行于y轴,
又因为kAB=x0p,AB⊥CD,所以x0=0,这与x0≠0矛盾.
所以,当x0≠0时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在点M(0,-2p)适合题意.
一、圆锥曲线的定义及几何性质
重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质,因为这是本章的基石,高考所考的题目都要涉及到这些内容.
1. 求曲线方程
求曲线方程的常用方法有求轨迹方程法、定义法、待定系数法等.
例1(2008山东10):设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为
A.x242-y232=1 B.x2132-y252=1
C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1
解析:根据双曲线的定义可判断曲线C2是焦点在x轴上,且实轴长2a=8的双曲线;再根据椭圆的长轴长为26,离心率为513,可得半焦距c=5,由于双曲线与椭圆的焦点相同,即可求出方程为x242-y232=1.
答案:A.
2.求椭圆、双曲线的离心率
求离心率关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系,然后把b用a、c代换,求出离心率.在双曲线中,由于e2=1+(ba)2,所以双曲线的渐近线与离心率密切相关.
例2(2007全国Ⅱ):设F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|.则双曲线的离心率为
A.52B.102C.152 D.5
解析:已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑用圆锥曲线的定义求解.设双曲线x2a2-y2b2=1的半焦距为c,依题意双曲线上存在点A,由定义可得|AF1|-|AF2|=2a.再根据∠F1AF2=90°,可得|AF1|2+|AF2|2=4c2,再与|AF1|=3|AF2|联立方程组解得e=ca=102.
答案:B.
例3(2009山东9):设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2只有一个公共点,则双曲线的离心率为
A.54B.5C.52D.5
解析:由题意双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线y=abx与抛物线y=x2+1只有一个公共点,可联立方程组得到一元二次方程x2-bax+1=0的判别式Δ=0,解得(ba)2=4,根据e2=1-(ba)2求的e=5.
答案:D
二、最值或定值问题
以圆锥曲线为载体的最值或定值问题也是高考考查的热点,多与函数、不等式等知识结合,以解答题的形式出现.
1.最值问题
最值问题涉及的知识面比较广,常用的有以下几种方法:
(1)利用不等式,尤其是均值不等式求最值;
(2)利用函数,尤其是二次函数求最值;
(3)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最值.
例4(2007全国Ⅰ):已知椭圆x23+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P.
(1)设P点的坐标为(x0,y0),证明:x203+y202<1;
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
解析:(1)椭圆的半焦距c=3-2=1,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,所以x20+y20=1,故由放缩法可得x203+y202
设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2.
|BD|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=43(k2+1)3k2+2.
因为AC与BD相交于点P,且斜率为-1k,所以|AC|=43(1k2+1)31k2+2.
则四边形ABCD的面积
S=12|BD||AC|=24(k2+1)(3k2+2)(2k2+3)≥24(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)2
2=9625.
所以四边形ABCD的面积的最小值为9625.
2.定值问题
例5(2009辽宁):已知椭圆C过点A(1,32),两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
解析:(1)由题意,c=1,由待定系数法可设椭圆方程为x21+b2+y2b2=1,将A(1,32)代入得11+b2+94b2=1,解得b2=3,b2=-34(舍去).所以椭圆方程x24+y23=1.
(2)设直线AE方程为y=k(x-1)+32,代入x24+y23=1得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(32-k)2-12=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),因为点A(1,32)在椭圆上,
所以x1=4(32-k)2-123+4k2,y1=kx1+32-k.
又直线AF的斜率与直线AE的斜率互为相反数,
所以x2=4(32+k)2-123+4k2,y2=-kx2+32+k.
所以直线EF的斜率k=y2-y1x2-x1=-k(x2+x1)+2kx2-x1=12.
即直线EF的斜率为定值,定值为12.
三、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题,主要是直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线与向量、数列等知识相结合的题目,特别是圆锥曲线与向量相结合的综合题目是高考考查的热点.
1.直线与圆锥曲线相交问题
直线与圆锥曲线相交问题,关键就是将直线方程与圆锥曲线方程联立,化成关于x(或y)的一元二次方程,利用韦达定理求两交点横坐标(纵坐标)的和与积,再利用已知条件找到等量关系(如例4、例5).
2.圆锥曲线与向量、数列等知识相结合的问题
例6(2008山东22) :如图,设抛物线方程x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过点M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(1) 求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=410.求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中,
点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点).若存在,
求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,
请说明理由.
解析:(1)证明:由题意设A(x1,x212p),b(x2,x222p),x1
可得直线MA的方程为y+2p=x1p(x-x0),
直线MB的方程为y+2p=x2p(x-x0).
因为点A,B分别在两条直线上,所以x212p+2p=x1p(x1-x0), ①
x222p+2p=x2p(x2-x0).②
由①-②可得2x0=x1+x2,则可证得A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)解:因为M点的坐标为(2,-2p),即x0=2,代入①②并整理得x21-4x1-4p2=0
,x22-4x2-4p2=0.
即x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根.
因此x1+x2=4,x1x2=-4p2.
又有kAB=x222p-x212px2-x1=x1+x22p=x0p=2p.
由弦长公式可得
|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2
=1+4p216+16p2=410.
可得p=1或p=2,所以所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
(3)解:设D(x3,y3),由点C满足OC=OA+OB(O为坐标原点)可得C(x1+x2,y1+y2),且(x1+x22,y1+y22)在直线AB上.
因为C、D关于直线AB对称,
所以CD的中点坐标Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32)也在直线AB上.
代入直线AB:y-y1=x0p(x-x1),可得y3=x0px3.
若D(x3,y3)在抛物线上,则x23=2py3=2x0x3.
解得x3=0或x3=2x0,即D(0,0)或D(2x0,2x20p).
当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时点M(0,-2p)适合题意.
当x0≠0时,对于D(0,0),C(2x0,x21+x222p),kCD=x21+x222p2x0=x21+x224px0.
又因为kAB=x0p,AB⊥CD,所以kABkCD=x0px21+x224px0=-1.
即x21+x22=-4p2,矛盾.
对于D(2x0,2x20p),因为C(2x0,x21+x222p),此时直线CD平行于y轴,
又因为kAB=x0p,AB⊥CD,所以x0=0,这与x0≠0矛盾.
所以,当x0≠0时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在点M(0,-2p)适合题意.