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摘 要：本文通过分析，说明了在数学分析中极限概念的重要性，从学习难点的角度重点阐明如何理解极限概念，并对理解极限定义作了几点说明。
关键词：无限；极限；极限概念
一、理解极限概念的重要性
在数学分析中，极限的概念贯穿始终，极限是该课程的最基本概念和研究问题的最基本工具。一方面，从本质上来讲，定积分就是积分和的极限，而导数则是函数变化率（即函数的增量与自变量增量之比）的极限。另一方面，纵观微积分的发展史，先有积分、微分、再有极限，只是有了极限这个工具，微分、积分才得以严格化。也就是说，极限是微积分的基础。因此，极限在数学分析中处于十分重要的地位。对于刚跨进高校大门的中学生来说，极限概念中的“E——N”定义及“E——D”定义，都是全新的，以前从未接触过。因此，大多数学生很难一下子理解、接受。这就给数学分析后继内容的学习带来很大的困难。更有甚者，对数学分析的学习产生一种惧怕心理，对书中的例题理解不了，习题更无法完成，尽管有些学生中学数学学得很好，但此时却束手无策。究其原因，可能是多方面的，首先是不了解高等数学与初等数学的差别，除了研究对象不同外，主要是研究方法上的不同。初等数学的方法是建立在有限观念上，而高等数学的方法是建立在无限观念上。如初等数学中要求一个数，通过有限步的代数运算，即可求出它的准确值。但在客观上存在着这样一种数，若只进行有限步代数运算，无法求得其准确值。例如求圆的面积和周长，用有限步代数运算就不能求得其准确值，必须通过无限步逼近，即极限的方法，才能求出它的准确值，这就是高等数学的方法。又如初等数学要确定数的性质（如是否是质数），通过有限步运算，就能断定它是否具有这一性质，而高等数学要确定函数性质，就要通过极限方法才能确定它是否具有此性质。因此理解极限概念，掌握极限方法，是能否学习好数学分析的关键。
函数的极限理论几乎与数列极限平行，有了数列极限作基础，就不难理解函数极限的理论。因此把数列极限讲深讲透，就能收到事半功倍的效果。因此理解极限的概念首先要做的就是分析并理解数列的极限。
二、学习理解极限的难点
如上所述，极限是初学数学分析的读者难于理解而且不易掌握的一个概念。极限为什么难学主要有以下三个方面的原因。
1、没有形成对无限概念的正确认识
极限概念是高等数学中最基本最重要的概念之一，但极限概念的产生中引进了“有限”与“无限”的辩证关系，增大了极限概念的抽象度，是高等数学入门的难点。初学者在以前的生活与学习中，没有遇到过无限的模型，更没有无限变化过程的实践，可是在收敛数列的描述性定义“随着n的无限增大，an无限趋近于常数a”中，恰巧有两个“无限”：一个是“自然数n无限增大”，另一个是“an无限趋近于a”，而这两个“无限”又是数列极限定义的核心。从字面来说，这两个“无限”似乎并不难理解，但是追究它们的实质又觉得很茫然。无限没有全面正确的认识是极限难学的原因之一。为此，教师在讲课时，可以通过无限的实例，使学生逐步对无限有个全面正确的认识，这是深刻理解数列极限定义的前提。形成准确概念的首要条件是要有丰富而实际的感觉材料。密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，找出本质加以抽象，便容易形成准确概念。例如圆的周长是无法用初等方法求出来的，因为圆的周长L是用该圆无限多个内接正多边形周长来逼近的，也就是说，随着内接正多边形边数n的无限增大，内接正多边形的周长Ln无限趋近于圆的周长L。因此，圆的周长L是该圆无限多个内接正多边形周长数列{Ln}的极限，设圆的半径为R，则有L3=33R，L4=42R，L5=5210-25R，L6=6R，……，Ln=2nRsinpn，……。
2、没有理解并掌握辩证的无限和有限的思维方法
人们为了认识某些客观事物的本质，必须把它们放在无限的过程之中，才能完成这个认识。例如，人们为了认识圆的周长，必须把圆的周长放在该圆的无限多个内接正多边形的周长数列{Ln}之中，才能认识圆的周长。人们的客观实践永远也不可能完成无限的过程，但是人们的认识总要发展，总不能停留在有限过程上。与此相适应地存在着人们认识无限的思维方法，即辩证逻辑的飞跃式的思维方法，这种科学的思维方法不仅引导人们看到，无限过程是没完没了永无终结的，同时它又指导人们飞跃式地看到无限过程的“终结”。例如，圆的无限多个内接正多边形的周长数列{Ln}的变化是没完没了的，永无终结的。如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去，人们永远也不能认识圆的周长。但是，辩证逻辑的飞跃式的思维方法不仅使人们看到数列{Ln}的变化是没完没了的，永无终结的，同时它又使人们看到了无限变化过程飞跃式的“终结”，从而人们也就认识了圆的周长。读者不理解或不掌握认识无限的辩证逻辑的思维方法是极限的难学原因之二。为此，教师可以通过数列极限实例，使学生逐步掌握认识无限的辩证逻辑的思维方法，这是深刻理解数列极限定义的科学的思维方法。《庄子·天下篇》中有一句话“一尺之捶，日取其半，万世不歇”。例如，将一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去，把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位为尺）：第一天剩下12，第二天剩下122，第三天剩下123，……第n天剩下12n。这样就得到一个数列：12，122，123，……12n，……。不难看到，数列{12n}的通项12n随着n的无限增大而无限接近于0。这就是无限制变化过程飞跃式的“终结”。
3、没有学会用数学语言描述无限
无限不能脱离有限而存在，没有有限也就没有无限。因此，定量地描述无限，必须借助一系列无限多个定数来完成。例如，定量地描述“an无限趋近于a”，必须借助于一系列无限多个（每个都是实数）“任意小的E>0，总有an－a0，具有任意性，所以不等式an－a 数学中有些概念就其数学意义并不难理解，甚至是显而易见的，但是将这些概念用数学语言叙述出来，反而倒不容易为初学者所理解。极限定义就是如此。例如“当n无限增大时，数列{Ｌn}无限趋近于0”这句话所包含的数学意义并不难理解，但是将它用数学语言叙述出来，即：PE>0，v N∈N，P n>N，Ln－00，有不等式Ln－01）的极限为1，叙述：PE>0 v N∈N P n>N，na－1
三、关于理解极限定义的几点说明
1、掌握极限概念的关键在于对正数E的二重性的理解。一方面，E必须具有任意性。E的作用在于衡量an和a的接近程度，E愈小，表示接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制。这正说明an和a能够接近到任何程度。同时，E即可是任何正数，那么2E，3E或E2等同样也是任何正数，因此定义中不等式右边的E也可用2E，3E或E2来代替。另一方面，E必须具有相对固定性。在论证过程中，一旦给了E，就应暂时看作固定不变的，以便根据它来求n。极限概念中E的二重性，深刻反映了静与动，近似与精确，有限与无限的对立统一。
因此，极限方法是人们从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种数学方法。
2、N的相应性。一般地说，N是随着E的变小而变大，所以也可将N写作N（E），来强调N是依赖于E的。另外，从极限定义可以看出，如果当n>N时，不等式an－aN，当n>N1时，不等式也必须成立。其实，在许多场合下，最重要的是N的存在性，而不在于它的值有多大。因此，在实际使用中，N也不必限于自然数，只要是正数就行。而且把n>N，改写为n≥N也未尝不可。例如，数列｛3+（-1）nn｝，其极限为3。若E=110，要使an－3＝3+（-1）nn＜110，只要n>10，便可，即只要取N=10，若E=1100，要使an－3＝3+（-1）nn＜1100，只要n>100，即取N=100便可。一般地，PE>0，要使an－31E，即取N=［1E］便可。
3、极限定义的几何意义，定义中“使得当n>N时，都有an－a 凡是下标大于N的所有的an，都满足不等式an－a 由以上几点说明，可以给出与极限limn→∞an=a定义等价的几个常用叙述：
（1）limn→∞an=a，PE>0，vN∈N， P n>N，an－a≤E
（2） limn→∞an=a，PE>0，vk∈N， P E>0，an－a （3） limn→∞an=a，PE>0，vk∈N， P n≥N，an－a （4） limn→∞an=a，P k∈N，vN∈N， P n>N，an－a<1k
（5） limn→∞an=a，P E>0，只有数列{an}的有限项落在a的E邻域（a－E，a＋E）之外。
为了加深对极限定义的理解，还可用正面语言叙述某数列极限不是常数a或某数列发散的定义，在这里就不再叙述了。
参考文献：
［1］同济大学数学教研室主编.《高等数学（上册）（第四版）》.高等教育出版社，1996年。
［2］华东师范大学数学系编.《数学分析（上册）（第二版）》.高等教育出版社，1991年。
［3］杜瑞芳等.《简明数学辞典.济南》.山东教育出版社，1992：392。
［4］房明全.《关于极限定义的教学》.数学教学研究，1995.4。
［5］徐自标等.《高中数、理、化教与学指导丛书》.教育科学出版社，1990.6。
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关键词：无限；极限；极限概念
一、理解极限概念的重要性
在数学分析中，极限的概念贯穿始终，极限是该课程的最基本概念和研究问题的最基本工具。一方面，从本质上来讲，定积分就是积分和的极限，而导数则是函数变化率（即函数的增量与自变量增量之比）的极限。另一方面，纵观微积分的发展史，先有积分、微分、再有极限，只是有了极限这个工具，微分、积分才得以严格化。也就是说，极限是微积分的基础。因此，极限在数学分析中处于十分重要的地位。对于刚跨进高校大门的中学生来说，极限概念中的“E——N”定义及“E——D”定义，都是全新的，以前从未接触过。因此，大多数学生很难一下子理解、接受。这就给数学分析后继内容的学习带来很大的困难。更有甚者，对数学分析的学习产生一种惧怕心理，对书中的例题理解不了，习题更无法完成，尽管有些学生中学数学学得很好，但此时却束手无策。究其原因，可能是多方面的，首先是不了解高等数学与初等数学的差别，除了研究对象不同外，主要是研究方法上的不同。初等数学的方法是建立在有限观念上，而高等数学的方法是建立在无限观念上。如初等数学中要求一个数，通过有限步的代数运算，即可求出它的准确值。但在客观上存在着这样一种数，若只进行有限步代数运算，无法求得其准确值。例如求圆的面积和周长，用有限步代数运算就不能求得其准确值，必须通过无限步逼近，即极限的方法，才能求出它的准确值，这就是高等数学的方法。又如初等数学要确定数的性质（如是否是质数），通过有限步运算，就能断定它是否具有这一性质，而高等数学要确定函数性质，就要通过极限方法才能确定它是否具有此性质。因此理解极限概念，掌握极限方法，是能否学习好数学分析的关键。
函数的极限理论几乎与数列极限平行，有了数列极限作基础，就不难理解函数极限的理论。因此把数列极限讲深讲透，就能收到事半功倍的效果。因此理解极限的概念首先要做的就是分析并理解数列的极限。
二、学习理解极限的难点
如上所述，极限是初学数学分析的读者难于理解而且不易掌握的一个概念。极限为什么难学主要有以下三个方面的原因。
1、没有形成对无限概念的正确认识
极限概念是高等数学中最基本最重要的概念之一，但极限概念的产生中引进了“有限”与“无限”的辩证关系，增大了极限概念的抽象度，是高等数学入门的难点。初学者在以前的生活与学习中，没有遇到过无限的模型，更没有无限变化过程的实践，可是在收敛数列的描述性定义“随着n的无限增大，an无限趋近于常数a”中，恰巧有两个“无限”：一个是“自然数n无限增大”，另一个是“an无限趋近于a”，而这两个“无限”又是数列极限定义的核心。从字面来说，这两个“无限”似乎并不难理解，但是追究它们的实质又觉得很茫然。无限没有全面正确的认识是极限难学的原因之一。为此，教师在讲课时，可以通过无限的实例，使学生逐步对无限有个全面正确的认识，这是深刻理解数列极限定义的前提。形成准确概念的首要条件是要有丰富而实际的感觉材料。密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，找出本质加以抽象，便容易形成准确概念。例如圆的周长是无法用初等方法求出来的，因为圆的周长L是用该圆无限多个内接正多边形周长来逼近的，也就是说，随着内接正多边形边数n的无限增大，内接正多边形的周长Ln无限趋近于圆的周长L。因此，圆的周长L是该圆无限多个内接正多边形周长数列{Ln}的极限，设圆的半径为R，则有L3=33R，L4=42R，L5=5210-25R，L6=6R，……，Ln=2nRsinpn，……。
2、没有理解并掌握辩证的无限和有限的思维方法
人们为了认识某些客观事物的本质，必须把它们放在无限的过程之中，才能完成这个认识。例如，人们为了认识圆的周长，必须把圆的周长放在该圆的无限多个内接正多边形的周长数列{Ln}之中，才能认识圆的周长。人们的客观实践永远也不可能完成无限的过程，但是人们的认识总要发展，总不能停留在有限过程上。与此相适应地存在着人们认识无限的思维方法，即辩证逻辑的飞跃式的思维方法，这种科学的思维方法不仅引导人们看到，无限过程是没完没了永无终结的，同时它又指导人们飞跃式地看到无限过程的“终结”。例如，圆的无限多个内接正多边形的周长数列{Ln}的变化是没完没了的，永无终结的。如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去，人们永远也不能认识圆的周长。但是，辩证逻辑的飞跃式的思维方法不仅使人们看到数列{Ln}的变化是没完没了的，永无终结的，同时它又使人们看到了无限变化过程飞跃式的“终结”，从而人们也就认识了圆的周长。读者不理解或不掌握认识无限的辩证逻辑的思维方法是极限的难学原因之二。为此，教师可以通过数列极限实例，使学生逐步掌握认识无限的辩证逻辑的思维方法，这是深刻理解数列极限定义的科学的思维方法。《庄子·天下篇》中有一句话“一尺之捶，日取其半，万世不歇”。例如，将一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去，把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位为尺）：第一天剩下12，第二天剩下122，第三天剩下123，……第n天剩下12n。这样就得到一个数列：12，122，123，……12n，……。不难看到，数列{12n}的通项12n随着n的无限增大而无限接近于0。这就是无限制变化过程飞跃式的“终结”。
3、没有学会用数学语言描述无限
无限不能脱离有限而存在，没有有限也就没有无限。因此，定量地描述无限，必须借助一系列无限多个定数来完成。例如，定量地描述“an无限趋近于a”，必须借助于一系列无限多个（每个都是实数）“任意小的E>0，总有an－a
三、关于理解极限定义的几点说明
1、掌握极限概念的关键在于对正数E的二重性的理解。一方面，E必须具有任意性。E的作用在于衡量an和a的接近程度，E愈小，表示接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制。这正说明an和a能够接近到任何程度。同时，E即可是任何正数，那么2E，3E或E2等同样也是任何正数，因此定义中不等式右边的E也可用2E，3E或E2来代替。另一方面，E必须具有相对固定性。在论证过程中，一旦给了E，就应暂时看作固定不变的，以便根据它来求n。极限概念中E的二重性，深刻反映了静与动，近似与精确，有限与无限的对立统一。
因此，极限方法是人们从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种数学方法。
2、N的相应性。一般地说，N是随着E的变小而变大，所以也可将N写作N（E），来强调N是依赖于E的。另外，从极限定义可以看出，如果当n>N时，不等式an－a
3、极限定义的几何意义，定义中“使得当n>N时，都有an－a
（1）limn→∞an=a，PE>0，vN∈N， P n>N，an－a≤E
（2） limn→∞an=a，PE>0，vk∈N， P E>0，an－a
（5） limn→∞an=a，P E>0，只有数列{an}的有限项落在a的E邻域（a－E，a＋E）之外。
为了加深对极限定义的理解，还可用正面语言叙述某数列极限不是常数a或某数列发散的定义，在这里就不再叙述了。
参考文献：
［1］同济大学数学教研室主编.《高等数学（上册）（第四版）》.高等教育出版社，1996年。
［2］华东师范大学数学系编.《数学分析（上册）（第二版）》.高等教育出版社，1991年。
［3］杜瑞芳等.《简明数学辞典.济南》.山东教育出版社，1992：392。
［4］房明全.《关于极限定义的教学》.数学教学研究，1995.4。
［5］徐自标等.《高中数、理、化教与学指导丛书》.教育科学出版社，1990.6。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文