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摘 要：全文分两大部分，一是“数学方法论的数学教育方式”（MM方式）简介，包括基本观念与时代价值；二是推广应用MM方式，把提升中小学数学教师核心素养的培训工作落实在课堂。因为MM方式充分揭示了数学核心素养的深刻内涵与丰富外延，培养和造就一支既能胜任教学又能从事科研的数学教师队伍，是践行MM方式的一大目标，MM方式在中小学数学教学中大有用武之地。
关键词：MM方式；中小学数学教师培训；数学核心素养
中图分类号：G451. 文献标识码：A 文章编号：095-5995（018）04-0053-04
3.MM方式的社会评价与比较研究
江汉大学郑隆炘教授曾指出：“在我发表过的论文中，曾有不下于10次提到推广应用MM方式的问题”，他还指出：“MM方式重视科学与社会文化素养与数学品质，从某种程度上讲，比问题解决层次更高，也符合我国基础教育开展全面素质教育的要求。问题解决比起数学方法论来说，覆盖面要小一些，在这个意义上讲，实践MM方式更有普遍意义。”《数学教育学报》杂志原常务副主编张国杰教授在给其杂志“MM教育方式”专栏所撰写的按语中指出：“一个数学教育改革实验能够做到学生愿接受，老师可创新，家长不反对，领导也支持，无疑是它强大生命力的反映……人们当然要认真思索：这生命力究竟源于哪里？” 江西省初等数学研究会理事长、赣南师范学院数学系熊曾润教授指出：“MM方式既符合数学思维的规律，又符合数学教育的规律，必将显示出强大的生命力！此项实验的意义，无疑远远超过了国内以往进行的所有数学实验。”
王梓坤院士说：“MM数学研究和数学方法系国内首创，是数学界的重要创新。它不仅有充足的理论依据，而且在相当广泛的范围内取得了很好的实际效果。”
著名数学家、《数学通报》杂志原主编刘绍学教授也给予了高度评价：
我第一次接触MM方式是1997年在武汉召开的MM方式交流会上。这是我作为《数学通报》主编了解中学数学教学情况的一次活动。虽然是第一次接触，但MM方式的主张以及它的实践活动，却给了我很深的印象，可以说是“一见如故”。
MM教学法使笔者一下子就联想到我的老师傅种孙先生的教学。傅先生在笔者大三的时候（1949年）给我们班讲近世代数。
1997年笔者写过一篇小文，记叙了笔者对傅先生教学的两点印象：讲体会，并在某些关键处想出“醒耳”的语言，说出自己的体会。这是有时候力气也不容易做到的。钱学森在数十年后回忆他的中学生活时，仍记得傅先生在课堂上讲的一段话（大意）：“只要承认这些前提，这些几何定理就是对的。在地球上对，到了火星上仍然是对的。”这是傅先生对公理法的深入理解和热情赞赏，又很有想象力地采用绝妙语言去表达。真是言者无意，听者有心。借用别人的体会，借用别人的语言，在教学中也会有好的效果。但那最多是讲邻家小孩的故事的效果，绝没有讲自己亲生儿女的故事时那种亲切感人的效果。关于自己的教学，笔者也曾这樣写过：“应该承认，在课堂上有许多时候我是把数学作为‘神学’硬着头皮搬给同学们的，对此我心中是有歉意的。多亏我的科研经历，它在很多情形下帮助我理解或设计出书上的定理是如何在人们的手中试验、摸索和制作出来的。当学生听着这样的讲述而面露会心微笑时，我最认识到自己科研的价值和意义。”许多老师特别是MM方式的实践者，都会与笔者有同样的感受。笔者 认为MM方式的主张和傅先生的实际教学的作为是一致的：学习数学，理解数学，研究数学。要深入理解教学内容，要对教学内容有感受有体会，虽然不能对所有内容都做到这一点（这是很难做到的），但一定是努力去做了。这是教好课的首要条件。
中国社会科学研究院林夏水研究员指出：“MM方式为什么会推广应用到全国，并且适用于大、中、小学等各级各类学校的数学教学改革呢？这是因为它虽然是数学方法论与数学教育结合的产物，但它却蕴涵多种数学观，具有深刻的哲理根据；它体现出一种新的数学教育观。这就是它具有强大生命力的原因所在；这就是它能够由无锡传遍祖国大江南北、港澳台，甚至走上国际数学教育大会讲台的根本原因。MM方式起始于1989年5月无锡市高中阶段的MM实验，它具有原创性和前瞻性。这为尔后在我国展开的新课程改革的实施所证实。”
（1）MM实验与新课标的性质意义比较
新课标指出：认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用……数学课程是学习物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。
这就是说，数学教学它不应该是理论数学也不是应用数学的教学，而应该是为此而奠定基础的教学；同时它也应该是促进学生的科学素养和文化修养提高的教学。
而MM实验则开宗明义地在实验假设中概括地指出，“在数学教学中，如能贯彻数学方法论的教育方式，必将有利于提高学生的一般科学素养，增进社会文化修养，形成和发展数学品质，从而全面提高学生素质”。
当时（1989年5月）在数学教学中，首次提出“全面提高学生素质”这样的口号，与尔后在我国掀起的素质教育的热潮是不谋而合的；与上述新课标的阐述相对照，至今也具有现实意义。
（）MM实验的基本理念、基本原则与数学新课标的基本理念比较
数学新课标的基本理念共10条。如果对它们进一步抽象概括，数学课程不外乎具有科学技术功能和文化教育功能两种功能。前者或可称之为数学的实用功能，主要是反映在提高学生使用数学方法解决实际问题的技巧与本领，形成和发展数学品质，使学生具备一般科学素养；后者主要是指学生从对数学的认识、在学习数学和运用数学的过程中，在数学思想方法的潜移默化与熏陶之下，提高社会文化修养方面的作用。而这正是MM实验的实验假设，也是MM方式的基本理念。 既教证明又教猜想的原则是MM实验最根本的原则，它在实验研究与教学中起着画龙点睛的作用。通过多年来的实践，我们体会到，应把它列为数学教学的一条重要原则。任何时候，教师背离了这条原则，数学教学就是不完整的教学。近年来，初中新课程标准的实施，就出现过忽视数学的形式和逻辑推理，而片面地强调所谓的实验、观察等非逻辑推理的倾向。因而遭到数学家和一线数学教师的一致反对。事实上在一线的数学教学中，教师从来就没有这样做。高中数学新课程标准一出台就注意到了这一点。高中新课程基本理念第7条“强调本质，注意适度形式化”中就有这样的诠释：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理。”我们认为如果把这句话改为“数学课程既要讲逻辑推理，又要讲合情推理”更妥当些。
（3）MM实验目标和评价方法与新课标的课程目标及其评价体系比较
义务教育数学新课程标准规定课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要，其具体目标有6条。
MM实验方案中的实验目标与之也是吻合的。比如，新课标第6条中的“科学价值”“应用价值”和“文化价值”分别与MM方式的一级指标“科学素养”“数学品质”和“社会文化修养”相对应。新课程目标尤其是其中的第3条，是西语系的一种表述。它是美国数学教师全国委员会（NCIM）于1989年发表的Curriculum and Evaluation for chool Mathematics中所提出的5个具体目标（学会认识数学的价值，对自己的数学能力具有信心，具有数学地解决问题的能力，学会数学地交流，学会数学地推理）的一个翻版。而我们用“合理地进行思考，清楚地表述思想，有条不紊地工作”作为学生应具有的一般科学素养的分指标，显得更贴近我们的生活，也更适合中国人的表达方式，而又充分体现了数学科学的教育功能。这是1989年5月在设计MM实验方案之初就明确的，当时我们也并没有NCIM的资料进行参考。把MM方式的实验目标进行分解，借助于现代实验心理学的术语“显示器”和“指导语”来对它们加以直观观察，又考虑到可以对它们进行模糊综合评判，我们综合构建了指标体系表。它既是指标体系，又是一种评价手段。[7]
二、MM方式落实
（一）MM方式充分揭示了数学核心素养的基本内涵和丰富外延
我们不妨先给出MM方式的基本操作表和指标体系表1。
MM方式经林夏水研究员修改后，其蕴涵的数学观被凸显出来了，充分体现了数学方法论、数学观与MM方式的一致性。这一基本操作表是实现数学方法论和数学观到MM方式的一个转换器。
把MM方式的实验目标进行分解，就得到下面的指标体系表（见表）。
从纵向看，数学教学必须使学生具备一般科学素养，提高社会文化修养，形成和发展数学品质，这些我们称之为“纵向要求集”；从横向看，指导语栏内给出了每一类指标所要达到的三级水平，我们称之为“横向水平集”。
评价：我们把纵向要求集（一般科学素养、社会文化修养、数学品质）和横向水平集（合格水平、较高水平、高级水平）的“笛卡儿乘积集”的某些子集作為MM方式的综合评价研究。若一般科学素养符合指导语栏目中的全部内容，社会文化修养和数学品质符合相应的指导语栏目中的合格水平，我们称之为达到了数学教学的基本要求，并形象地说是达到了“”型评价（这可能对以后从事文科和社会科学工作的人们来说就已经够了，他们升入了高一级的学校以后，还需要进一步接受适合的数学教育）；若一般科学素养和社会文化修养达到相应指导语的全部内容，数学品质达到合格水平，我们就说达到了数学教学的较高要求，并形象地说达到了“F”型评价（这可能对以后从事工科工作的人们来说也已经够了）；若一般科学素养、社会文化修养和数学品质都达到其相应指导语的全部内容，我们就说达到了数学教学的高级要求，并形象地说是达到了“E”型评价（这是对以后可能从事理科和数学工作的人们来说需要达到的）。（如图，表的评价示意图）
在各个不同的历史时期，数学素养的内涵和外延以及社会对人们所要达到的数学素养的要求是不同的。在人类的农耕文明时代，熟悉欧氏几何与算术的人们就被认为是具备了较高的数学素养的人了；工业革命以后，只有掌握和使用了微积分的人，才有资格被认为是具备了一定的数学素养；在知识经济和信息革命时期，数学本身的内涵和外延已经发生了根本的变化。
我们知道，古代人是以博才取胜的（如诸葛亮，上知天文下知地理），近代人是以专才取胜的（如牛顿，堪称科学之父），而现代人则要在专才基础上加上博才，才能取胜。从事基础教育的数学教师应该具备较高的数学素养和境界。
然而，我们不应该用一杆标尺去要求获取基本知识的学生，不同个性和不同志向的学生需要达到的数学素养和数学的思想境界不同，MM方式蕴含了对他们各自所需要达到的数学核心素养的培养方法。
（二）发展学生的核心素养首先要提升教师素养
要发展和提高学生的数学核心素养，我们当然应该首先提升教师自身的数学核心素养。综观国内外自“新数运动”以来的较大规模的数学教育改革，总结其经验教训，尽管其成功和失败的因素很多，但都与广大师资力量的准备及其水平息息相关。
“教”是不进则退的，在职教师如果不注意在教学实践中不断提高自身的数学素养，一位大学毕业的数学教师在中小学教了三四年书后，就会把自己的数学水平下降到一个中学生的水平。而如果教师的数学素养欠缺，他（她）就不能正确认识与处理知识、能力与创新之间的关系。
数学追求的就是“简”与“易”，[DK1]“真”与“美”。掌握知识与具备创新能力是不矛盾的。当然，掌握了知识不会运用也是不可取的。要知道一个数学家（科学家），他（她）之所以成为数学家（科学家），并不取于他（她）所掌握的那些数学知识（科学知识），而取于他是如何使用这些知识的。这才是所谓的创新精神。数学教师素养的高低直接影响到数学教学，并最终直接影响到学生核心素养的培养。作为一个中小学数学教师，不仅应该通晓初等数学知识，而且也应该了解高等数学知识，从而掌握中小学数学教学的主动权。一个教师的数学素养越高，他（她）就越能够宽和平等地对待自己的学生，在课堂上深入浅出地把知识讲清楚。 因此，我们要培养和造就一支既能胜任教学又能从事科研的数学教师队伍。这是践行MM方式的关键。教师通过学习了解MM方式的成功经验，将是提高培训有效性和针对性的捷径。实践证明MM方式明显地具有既能提高学生又能提高教师的双重作用。在近30年的实践过程中，执教者发自内心地感受到教师自身的提高更大于学生的提高。这是因为这种教育方式较之其他一些教学方式更能紧密地结合和充分运用数学本身的特点。所以，它能更有效地唤起教师自身的教学经验，从而提高他们的教学积极性。
另外，教师的“教”和学生的“学”总是紧密地联系在一起的（它们处于同一教学系统中），由于MM方式能够充分调动学生学习数学的积极性，因而解除了教师由于学生的厌学而带来的烦恼，师生都从研究科学方法论和数学方法论，尤其是一般解题方法即解题方法论中获益，摆脱了题海的羁绊，从而为教师的业务进修和教育科学理论的学习创造了条件，促使教学进入良性循环。因此，MM方式是培训高层次数学教师的有效途径。
（三） MM方式在中小学数学教学中大有用武之地
MM方式有6条数学教学的狭义原则，包括数学教学中的德育原则、数学教学中的美育原则、充分暴露数学思维活动过程的原则、数学家学习机制激励原则、既教证明又教猜想原则、一般解题方法教学的原则。其中最能体现MM实验特色的两条基本原则是：教学·研究·发现——同步协调原则，既教证明又教猜想的原则。
MM方式的出现一改过去学生学习的被动局面，使他们对既教证明又教猜想的探索规律产生浓厚兴趣，整个教学过程也就融入发明发现的主旋律之中。
综上所述，一方面，MM方式彻底改变了学生学习的被动局面，为他们提供了正确的思想方法和学习方法；另一方面在方法论的意义上，中小学数学不再局限于初等数学这一小块弹丸之地，而与整个数学领域连成一片。这就为学生吸取数学科学中的现代思想，自我增进现代科学技术的文化素养开辟了一块良好的运动场。
MM方式已经在全国许多地区进行了推广，并取得了丰硕的成果。特别是在新课程改革背景下，更显示出其对全面提高学生素质的显著作用。[8]长期实践证明，在中小学数学教师培训中，通过推广应用MM方式，学员普遍加深了对数学和数学教育本质的理解，掌握了提高学生数学学习兴趣的方法，形成了塑造学生良好数学学习习惯的课堂教学技能，学会了如何启发学生进一步探索数学奥秘以及在课堂落实提升学生数学核心素养，特别是有部分学员受MM方式的启发，已逐渐开始尝试研究在数学学科培养学生创新能力和实践能力方面的途径和方法，这是一项十分具有现实意义的创举，也是MM方式的生命力所在。在中小学数学教师培训中推广应用MM方式，能够真正提高中小学数学师资的培训质量，最终促进中小学数学教学质量和中小学生数学核心素养的全面提升。
（唐志華，南京晓庄学院教师发展学院，南京 10017）
参考文献：
[7] 徐沥泉.教学·研究·发现——MM方式演绎[M].北京：科学出版社，003（3）：4.
[8] 唐志华.数学方法论应用传播丛书[M].大连：大连理工大学出版社，009：9.
（责任编辑：彭 慧）
关键词：MM方式；中小学数学教师培训；数学核心素养
中图分类号：G451. 文献标识码：A 文章编号：095-5995（018）04-0053-04
3.MM方式的社会评价与比较研究
江汉大学郑隆炘教授曾指出：“在我发表过的论文中，曾有不下于10次提到推广应用MM方式的问题”，他还指出：“MM方式重视科学与社会文化素养与数学品质，从某种程度上讲，比问题解决层次更高，也符合我国基础教育开展全面素质教育的要求。问题解决比起数学方法论来说，覆盖面要小一些，在这个意义上讲，实践MM方式更有普遍意义。”《数学教育学报》杂志原常务副主编张国杰教授在给其杂志“MM教育方式”专栏所撰写的按语中指出：“一个数学教育改革实验能够做到学生愿接受，老师可创新，家长不反对，领导也支持，无疑是它强大生命力的反映……人们当然要认真思索：这生命力究竟源于哪里？” 江西省初等数学研究会理事长、赣南师范学院数学系熊曾润教授指出：“MM方式既符合数学思维的规律，又符合数学教育的规律，必将显示出强大的生命力！此项实验的意义，无疑远远超过了国内以往进行的所有数学实验。”
王梓坤院士说：“MM数学研究和数学方法系国内首创，是数学界的重要创新。它不仅有充足的理论依据，而且在相当广泛的范围内取得了很好的实际效果。”
著名数学家、《数学通报》杂志原主编刘绍学教授也给予了高度评价：
我第一次接触MM方式是1997年在武汉召开的MM方式交流会上。这是我作为《数学通报》主编了解中学数学教学情况的一次活动。虽然是第一次接触，但MM方式的主张以及它的实践活动，却给了我很深的印象，可以说是“一见如故”。
MM教学法使笔者一下子就联想到我的老师傅种孙先生的教学。傅先生在笔者大三的时候（1949年）给我们班讲近世代数。
1997年笔者写过一篇小文，记叙了笔者对傅先生教学的两点印象：讲体会，并在某些关键处想出“醒耳”的语言，说出自己的体会。这是有时候力气也不容易做到的。钱学森在数十年后回忆他的中学生活时，仍记得傅先生在课堂上讲的一段话（大意）：“只要承认这些前提，这些几何定理就是对的。在地球上对，到了火星上仍然是对的。”这是傅先生对公理法的深入理解和热情赞赏，又很有想象力地采用绝妙语言去表达。真是言者无意，听者有心。借用别人的体会，借用别人的语言，在教学中也会有好的效果。但那最多是讲邻家小孩的故事的效果，绝没有讲自己亲生儿女的故事时那种亲切感人的效果。关于自己的教学，笔者也曾这樣写过：“应该承认，在课堂上有许多时候我是把数学作为‘神学’硬着头皮搬给同学们的，对此我心中是有歉意的。多亏我的科研经历，它在很多情形下帮助我理解或设计出书上的定理是如何在人们的手中试验、摸索和制作出来的。当学生听着这样的讲述而面露会心微笑时，我最认识到自己科研的价值和意义。”许多老师特别是MM方式的实践者，都会与笔者有同样的感受。笔者 认为MM方式的主张和傅先生的实际教学的作为是一致的：学习数学，理解数学，研究数学。要深入理解教学内容，要对教学内容有感受有体会，虽然不能对所有内容都做到这一点（这是很难做到的），但一定是努力去做了。这是教好课的首要条件。
中国社会科学研究院林夏水研究员指出：“MM方式为什么会推广应用到全国，并且适用于大、中、小学等各级各类学校的数学教学改革呢？这是因为它虽然是数学方法论与数学教育结合的产物，但它却蕴涵多种数学观，具有深刻的哲理根据；它体现出一种新的数学教育观。这就是它具有强大生命力的原因所在；这就是它能够由无锡传遍祖国大江南北、港澳台，甚至走上国际数学教育大会讲台的根本原因。MM方式起始于1989年5月无锡市高中阶段的MM实验，它具有原创性和前瞻性。这为尔后在我国展开的新课程改革的实施所证实。”
（1）MM实验与新课标的性质意义比较
新课标指出：认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用……数学课程是学习物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。
这就是说，数学教学它不应该是理论数学也不是应用数学的教学，而应该是为此而奠定基础的教学；同时它也应该是促进学生的科学素养和文化修养提高的教学。
而MM实验则开宗明义地在实验假设中概括地指出，“在数学教学中，如能贯彻数学方法论的教育方式，必将有利于提高学生的一般科学素养，增进社会文化修养，形成和发展数学品质，从而全面提高学生素质”。
当时（1989年5月）在数学教学中，首次提出“全面提高学生素质”这样的口号，与尔后在我国掀起的素质教育的热潮是不谋而合的；与上述新课标的阐述相对照，至今也具有现实意义。
（）MM实验的基本理念、基本原则与数学新课标的基本理念比较
数学新课标的基本理念共10条。如果对它们进一步抽象概括，数学课程不外乎具有科学技术功能和文化教育功能两种功能。前者或可称之为数学的实用功能，主要是反映在提高学生使用数学方法解决实际问题的技巧与本领，形成和发展数学品质，使学生具备一般科学素养；后者主要是指学生从对数学的认识、在学习数学和运用数学的过程中，在数学思想方法的潜移默化与熏陶之下，提高社会文化修养方面的作用。而这正是MM实验的实验假设，也是MM方式的基本理念。 既教证明又教猜想的原则是MM实验最根本的原则，它在实验研究与教学中起着画龙点睛的作用。通过多年来的实践，我们体会到，应把它列为数学教学的一条重要原则。任何时候，教师背离了这条原则，数学教学就是不完整的教学。近年来，初中新课程标准的实施，就出现过忽视数学的形式和逻辑推理，而片面地强调所谓的实验、观察等非逻辑推理的倾向。因而遭到数学家和一线数学教师的一致反对。事实上在一线的数学教学中，教师从来就没有这样做。高中数学新课程标准一出台就注意到了这一点。高中新课程基本理念第7条“强调本质，注意适度形式化”中就有这样的诠释：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理。”我们认为如果把这句话改为“数学课程既要讲逻辑推理，又要讲合情推理”更妥当些。
（3）MM实验目标和评价方法与新课标的课程目标及其评价体系比较
义务教育数学新课程标准规定课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要，其具体目标有6条。
MM实验方案中的实验目标与之也是吻合的。比如，新课标第6条中的“科学价值”“应用价值”和“文化价值”分别与MM方式的一级指标“科学素养”“数学品质”和“社会文化修养”相对应。新课程目标尤其是其中的第3条，是西语系的一种表述。它是美国数学教师全国委员会（NCIM）于1989年发表的Curriculum and Evaluation for chool Mathematics中所提出的5个具体目标（学会认识数学的价值，对自己的数学能力具有信心，具有数学地解决问题的能力，学会数学地交流，学会数学地推理）的一个翻版。而我们用“合理地进行思考，清楚地表述思想，有条不紊地工作”作为学生应具有的一般科学素养的分指标，显得更贴近我们的生活，也更适合中国人的表达方式，而又充分体现了数学科学的教育功能。这是1989年5月在设计MM实验方案之初就明确的，当时我们也并没有NCIM的资料进行参考。把MM方式的实验目标进行分解，借助于现代实验心理学的术语“显示器”和“指导语”来对它们加以直观观察，又考虑到可以对它们进行模糊综合评判，我们综合构建了指标体系表。它既是指标体系，又是一种评价手段。[7]
二、MM方式落实
（一）MM方式充分揭示了数学核心素养的基本内涵和丰富外延
我们不妨先给出MM方式的基本操作表和指标体系表1。
MM方式经林夏水研究员修改后，其蕴涵的数学观被凸显出来了，充分体现了数学方法论、数学观与MM方式的一致性。这一基本操作表是实现数学方法论和数学观到MM方式的一个转换器。
把MM方式的实验目标进行分解，就得到下面的指标体系表（见表）。
从纵向看，数学教学必须使学生具备一般科学素养，提高社会文化修养，形成和发展数学品质，这些我们称之为“纵向要求集”；从横向看，指导语栏内给出了每一类指标所要达到的三级水平，我们称之为“横向水平集”。
评价：我们把纵向要求集（一般科学素养、社会文化修养、数学品质）和横向水平集（合格水平、较高水平、高级水平）的“笛卡儿乘积集”的某些子集作為MM方式的综合评价研究。若一般科学素养符合指导语栏目中的全部内容，社会文化修养和数学品质符合相应的指导语栏目中的合格水平，我们称之为达到了数学教学的基本要求，并形象地说是达到了“”型评价（这可能对以后从事文科和社会科学工作的人们来说就已经够了，他们升入了高一级的学校以后，还需要进一步接受适合的数学教育）；若一般科学素养和社会文化修养达到相应指导语的全部内容，数学品质达到合格水平，我们就说达到了数学教学的较高要求，并形象地说达到了“F”型评价（这可能对以后从事工科工作的人们来说也已经够了）；若一般科学素养、社会文化修养和数学品质都达到其相应指导语的全部内容，我们就说达到了数学教学的高级要求，并形象地说是达到了“E”型评价（这是对以后可能从事理科和数学工作的人们来说需要达到的）。（如图，表的评价示意图）
在各个不同的历史时期，数学素养的内涵和外延以及社会对人们所要达到的数学素养的要求是不同的。在人类的农耕文明时代，熟悉欧氏几何与算术的人们就被认为是具备了较高的数学素养的人了；工业革命以后，只有掌握和使用了微积分的人，才有资格被认为是具备了一定的数学素养；在知识经济和信息革命时期，数学本身的内涵和外延已经发生了根本的变化。
我们知道，古代人是以博才取胜的（如诸葛亮，上知天文下知地理），近代人是以专才取胜的（如牛顿，堪称科学之父），而现代人则要在专才基础上加上博才，才能取胜。从事基础教育的数学教师应该具备较高的数学素养和境界。
然而，我们不应该用一杆标尺去要求获取基本知识的学生，不同个性和不同志向的学生需要达到的数学素养和数学的思想境界不同，MM方式蕴含了对他们各自所需要达到的数学核心素养的培养方法。
（二）发展学生的核心素养首先要提升教师素养
要发展和提高学生的数学核心素养，我们当然应该首先提升教师自身的数学核心素养。综观国内外自“新数运动”以来的较大规模的数学教育改革，总结其经验教训，尽管其成功和失败的因素很多，但都与广大师资力量的准备及其水平息息相关。
“教”是不进则退的，在职教师如果不注意在教学实践中不断提高自身的数学素养，一位大学毕业的数学教师在中小学教了三四年书后，就会把自己的数学水平下降到一个中学生的水平。而如果教师的数学素养欠缺，他（她）就不能正确认识与处理知识、能力与创新之间的关系。
数学追求的就是“简”与“易”，[DK1]“真”与“美”。掌握知识与具备创新能力是不矛盾的。当然，掌握了知识不会运用也是不可取的。要知道一个数学家（科学家），他（她）之所以成为数学家（科学家），并不取于他（她）所掌握的那些数学知识（科学知识），而取于他是如何使用这些知识的。这才是所谓的创新精神。数学教师素养的高低直接影响到数学教学，并最终直接影响到学生核心素养的培养。作为一个中小学数学教师，不仅应该通晓初等数学知识，而且也应该了解高等数学知识，从而掌握中小学数学教学的主动权。一个教师的数学素养越高，他（她）就越能够宽和平等地对待自己的学生，在课堂上深入浅出地把知识讲清楚。 因此，我们要培养和造就一支既能胜任教学又能从事科研的数学教师队伍。这是践行MM方式的关键。教师通过学习了解MM方式的成功经验，将是提高培训有效性和针对性的捷径。实践证明MM方式明显地具有既能提高学生又能提高教师的双重作用。在近30年的实践过程中，执教者发自内心地感受到教师自身的提高更大于学生的提高。这是因为这种教育方式较之其他一些教学方式更能紧密地结合和充分运用数学本身的特点。所以，它能更有效地唤起教师自身的教学经验，从而提高他们的教学积极性。
另外，教师的“教”和学生的“学”总是紧密地联系在一起的（它们处于同一教学系统中），由于MM方式能够充分调动学生学习数学的积极性，因而解除了教师由于学生的厌学而带来的烦恼，师生都从研究科学方法论和数学方法论，尤其是一般解题方法即解题方法论中获益，摆脱了题海的羁绊，从而为教师的业务进修和教育科学理论的学习创造了条件，促使教学进入良性循环。因此，MM方式是培训高层次数学教师的有效途径。
（三） MM方式在中小学数学教学中大有用武之地
MM方式有6条数学教学的狭义原则，包括数学教学中的德育原则、数学教学中的美育原则、充分暴露数学思维活动过程的原则、数学家学习机制激励原则、既教证明又教猜想原则、一般解题方法教学的原则。其中最能体现MM实验特色的两条基本原则是：教学·研究·发现——同步协调原则，既教证明又教猜想的原则。
MM方式的出现一改过去学生学习的被动局面，使他们对既教证明又教猜想的探索规律产生浓厚兴趣，整个教学过程也就融入发明发现的主旋律之中。
综上所述，一方面，MM方式彻底改变了学生学习的被动局面，为他们提供了正确的思想方法和学习方法；另一方面在方法论的意义上，中小学数学不再局限于初等数学这一小块弹丸之地，而与整个数学领域连成一片。这就为学生吸取数学科学中的现代思想，自我增进现代科学技术的文化素养开辟了一块良好的运动场。
MM方式已经在全国许多地区进行了推广，并取得了丰硕的成果。特别是在新课程改革背景下，更显示出其对全面提高学生素质的显著作用。[8]长期实践证明，在中小学数学教师培训中，通过推广应用MM方式，学员普遍加深了对数学和数学教育本质的理解，掌握了提高学生数学学习兴趣的方法，形成了塑造学生良好数学学习习惯的课堂教学技能，学会了如何启发学生进一步探索数学奥秘以及在课堂落实提升学生数学核心素养，特别是有部分学员受MM方式的启发，已逐渐开始尝试研究在数学学科培养学生创新能力和实践能力方面的途径和方法，这是一项十分具有现实意义的创举，也是MM方式的生命力所在。在中小学数学教师培训中推广应用MM方式，能够真正提高中小学数学师资的培训质量，最终促进中小学数学教学质量和中小学生数学核心素养的全面提升。
（唐志華，南京晓庄学院教师发展学院，南京 10017）
参考文献：
[7] 徐沥泉.教学·研究·发现——MM方式演绎[M].北京：科学出版社，003（3）：4.
[8] 唐志华.数学方法论应用传播丛书[M].大连：大连理工大学出版社，009：9.
（责任编辑：彭 慧）