在人教版数学选修4＼|5《不等式选讲》中，我们学习了不等式|f（x）|>g（x）的两种解法，掌握了解絕对值不等式的关键是去“||”符号，去绝对值的依据是“||”的定义，解绝对值不等式的常用方法是分类讨论。
　　解法一：根据绝对值的定义，将不等式|f（x）|>g（x）去绝对值，则|f（x）|>g（x）f（x）≥0，f（x）>g（x），①或f（x）<0，f（x）<-g（x）②。然后将不等式组①②的解集求并集，即得|f（x）|>g（x）的解集。
　　解法二：按照g（x）的取值进行分类讨论，将不等式|f（x）|>g（x）变形，则|f（x）|>g（x）g（x）<0③或g（x）≥0，f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）④，将不等式组③④的解集求并集，即得|f（x）|>g（x）的解集。
　　然而，我在具体解题中发现解法二可以简化成|f（x）|>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x），不妨称之为解法三。
　　解法三：|f（x）|>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）。
　　分别解出两个不等式的解集，然后求并集。
　　虽然这种解法的计算简洁明了，但是在教材中未能发现其理论依据，因此其正确与否需要证明，下面我用集合的知识对解法三加以证明。
　　证明：设集合A1={x|f（x）≥0}，集合A2={x|f（x）<0}，集合B1={x|f（x）>g（x）}，集合B2={x|f（x）<-g（x）}，其中A1∪A2=R，A1∩A2=。根据解法一可得|f（x）|>g（x）的解集是（A1∩B1）∪（A2∩B2）。根据解法三可得|f（x）|>g（x）的解集是B1∪B2。因此在解法一正确的前提下，欲证解法三正确，只需要证明（A1∩B1）∪（A2∩B2）=B1∪B2。
　　1.求证（A1∩B1）∪（A2∩B2）B1∪B2。
　　证明：设x∈（A1∩B1）∪（A2∩B2），则有x∈A1∩B1或x∈A2∩B2。若x∈A1∩B1，则x∈B1，所以x∈B1∪B2。若x∈A2∩B2，则x∈B2，所以x∈B1∪B2。
　　因此，对任意x∈（A1∩B1）∪（A2∩B2），都有x∈B1∪B2。所以（A1∩B1）∪（A2∩B2）B1∪B2。
　　2.求证B1∪B2（A1∩B1）∪（A2∩B2）。
　　证明：对任意x∈B1∪B2，有三种情形，即x∈B1∩B2，x∈B1且xB2，x∈B2且xB1。
　　（1）x∈B1∩B2，而B1∩B2A1∪A2=R，所以x∈A1∪A2。由x∈B1∩B2得x∈B1且x∈B2；由x∈A1∪A2可知x的所属集合分下列两种情况：①x∈A1且xA2；②x∈A2且xA1（因为A1∩A2=，所以排除x∈A1且x∈A2）。对于①x∈A1且xA2，又因为x∈B1，则有x∈A1∩B1，所以x∈（A1∩B1）∪（A2∩B2）。对于②x∈A2且xA1，又因为x∈B2，则有x∈A2∩B2，所以x∈（A1∩B1）∪（A2∩B2）。
　　（2）若x∈B1且xB2，则x∈B1且x∈
　　瘙 綂 RB2。即x满足f（x）>g（x），f（x）≥-g（x），即f（x）>|g（x）|≥0，得x∈A1。又因为x∈B1，所以x∈A1∩B1，所以x∈（A1∩B1）∪（A2∩B2）。
　　（3）同理可证x∈B2且xB1成立。
　　综上可知，（A1∩B1）∪（A2∩B2）=B1∪B2，因此解法三正确。
　　我们在解某一类问题时，总是要寻找解决它们的通法，而通法的正确性是需要理论支持和严格证明的。我们在平时的学习中需要经历观察、归纳、猜想和证明的过程，才能够获得真正的理解，而这一学习过程，也正是数学学习中很重要的一种过程，它往往给我们带来意想不到的发现。
　　作者单位：河北省石家庄市第一中学高二（8）班