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[摘 要]在回接乒乓球时，通过计算球接触球拍时的能量损失及模拟将球击出后球的运动轨迹可以得出击球时所需要的力。
[关键词]乒乓球；运动轨迹；能量损失；力
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）08-0392-03
一、目录
（1）引言。（2）进行实验并粗略计算出乒乓球击打球时球前后速度的关系。（3）模拟击出乒乓球后乒乓球运动的轨迹。（4）结语。（5）感谢。
二、正文
（一）引言
乒乓球是我国的国球，在我国十分普及，作为乒乓球爱好者。为了提高自己的乒乓球接球能力，我们决定计算出对于从任意方向以任意速度飞来的不带旋的乒乓球的接球解决方案，这也可以进行推广。正好在一年前，我们曾经就这一问题进行过粗略的研究。这一次，我们引入了速度传感器，力争将结果做得更为精确。为此，我们保留了上一次的结果，通过对比，找出更精确的结果。
（二）进行试验并粗略计算出乒乓球击打球拍时的能量损失
为了能更清楚地说明问题，我先创设一个情景：在一张标准乒乓球台上，有一颗乒乓球朝着接球人的球拍飞了过来，这一时刻球恰好未与球拍接触。为了得出符合逻辑的结论，我们下面分步进行计算。
为了方便研究，我们先建立一个如图所示的空间直角坐标系：
假设乒乓球击中球拍时，乒乓球速度为V，设V（x0，y0，z0），乒乓球所在位置为（x1，y1，z1）
首先研究开始时刻与球恰好离开球拍的时刻之间的这段时间球的运动。在这一段时间中，击打乒乓球时乒乓球动能的损失不能忽略，不考虑乒乓球的旋转。为了研究乒乓球的动能损失，并且为了对比实验结果，我们做了如下两组实验：
第一组：
取一个红双喜4星4002球拍。用两根笔将拍子垫起，将一把长尺竖直放置，球拍面放平，分别从不同高度将球无处速度释放，记录释放高度，粗略记录弹起高度，重复十次，再移走球拍，让乒乓球弹地（可认为进行弹性碰撞），粗略记录弹起高度，重复十次，求平均值。再将其做差，比较所得数据如下表所示：
依据表格，可以画出散点图，利用MATLAB拟合出曲线。
根据此趋势，进行分析，可以认为当速度逐渐变大时，动能损失有一定值，即该函数的最大值h 。可以认为在一般比赛和练习中，球速均不低 于动能损失取到最大值时的速度值。经计算得。ymax约等于0.338，设乒乓球质量为m，取重力加速度为9.801m/s2，则△mghmax≈3.313m。
假设用球拍击球时施加的力为F（x2，y2，z2），挥拍速度为v1与F同向，击球时v1几乎不变。可以认为，击球后球的速度与F同向，力F垂直于乒乓球拍面。忽略乒乓球的旋转，由于接触时间很短，乒乓球质量较小，忽略重力的影响。击球后乒乓球的动能约等于力F做的功加上乒乓球在不施加力F时弹拍子之后的动能。力F做的功等于F×v×△t。经计算得，此时乒乓球动能为 ，乒乓球速度为
（其中△t的数值可以在球拍参数中获得，这里取0.1秒，FV1未知，是需要求的量），此时速度方向与力F方向相同。
第二组：
实验目的：鉴于前一组实验空气阻力的影响，以及读数的不精确，我引入了速度传感器和斜面，加上乒乓球的旋转，更好的模拟出乒乓球实际的运动状态。
实验用具：红双喜4002乒乓球拍一副、双鱼乒乓球一个、斜面（倾角不大）、速度传感器、电脑
实验步骤：1、按如图所示固定器材，保证速度传感器正对乒乓球，与球拍面垂直。
2、将乒乓球从某一高度由静止释放，记录触拍前后乒乓球的速度V，记录在表格中
3、改变乒乓球高度，重复2七次
接下来，利用MATLAB将数据绘成散点图，并求出线性回归方程：（经检验，更高次的曲线与实际情况吻合度较低）。
比较两种实验方法，可以看出，两实验的结果有一定的差距，带入数据进行检验可以发现，后者虽然拟合的精确度远低于前者，但由于前者不能忽略空气阻力，并且需要从能量推回速度的关系，使得后者的可信度更高，并且，后者直接给出了前后速度的关系，极大地方便了计算。
（三）模拟击出乒乓球后乒乓球运动的轨迹
我们分析在乒乓球以初速度v0的速度抛出时，其速度与位移的关系
乒乓球在运动员出手后，主要受三個力：
1、重力G=mg，在整个的飞行过程中将始终受到重力的影响，重力的方向竖直向下；
2、空气阻力FR，乒乓球的直径为D，空气密度为ρ，乒乓球向前平动的速度为γ，
在空气中物体受到的阻力与许多因素有关，包括运动物体速度、形状、大小、自转、及环境因素，其过程非常复杂，我们在这里只研究在无风速、无自转（即无角速度）的运动过程，所以在此过程中，物体仅受一个与运动方向相反的空气阻力。
但我们经查阅资料得知物体的运动速度，物体的形状和大小是决定空 气阻力大小的主要因素.在静止的空气中，作用在球形物体上的空气阻力与球体的质量无 关，而仅与物体的速度和半径的乘积vr有关，并存在如下关系F=A vr+5vr^2
该式成立的条件为vr<15m2/s，若vr更大，空气阻力的形式更为复杂.如果我们采用层 流模型，即开始时在物体前面的空气分子被物体推向一边，在物体通过以后，空气分子在 物体后恢复它们原来的位置.这种模型在工程设计中有许多重要的应用，如汽车、飞机、子 弹等物体的外型被设计成流线形，就是为了減小空气的阻力，对于球形物体，若满足vr< 10-5m2/s，也可以按层流模型处理，与式中第二项相联系的模型是湍流模型，这种模型认 为：当物体通过时产生一个尾流，在物体通过以后，在物体后面尾流区域中的空气分子就会形成一个个的小旋涡，资料表明，对于球形物体，若满足10-2m2/s 来近似处理。
经我们实验发现，在研究乒乓球问题时，采用层流模型虽然是近似处理，更具普遍意义的情况是应考虑二次项空气阻力的作用，此时，抛体运动的水平分量和竖直分量可计算：
空气的浮力FU，方向竖直向上，由动力学，易得：
所以，在物体做无旋转的平抛运动是，其过程中，受重力和浮力在竖直上的力，其加速大小为（mg-1/6 πρgD^3）/m=9.78685
即竖直方向加速度大小=9.78685m/v^2
在上一目中我们已经求得了速度和发射角度，所以将其解微分方程即可得到位移公式，再根据球网高度15.25cm，球台长度2.74m为范围，即可求出所需力的大小。
下面是运用计算机软件将不同初速度和入射角情况的模拟：
（四）结语
1、误差分析
我们认为，本模型的误差主要出在以下方面：首先是数字学计算中小数点位数的保留带来的数值误差，其次是因为有一些实验使我们自己做的，所以精确度不高，最后是其他因素带来的影响我们没有考虑进去，比如乒乓球与地面碰撞的能量损失、风速的影响、乒乓球旋转的影响等。
2、改进和继续研究
根据误差分析中提到的我们会做出相应的改进，一个是将乒乓球的旋转和乒乓球拍的击球角度考虑在内，此时乒乓球会受马格努斯力，需要流体力学的分析，其次是将乒乓球在过网后与乒乓球台的碰撞考虑在内，使其形成一个完整的运动过程，完善此类运动模型。
3、用途和发展方向
首先，虽然这种精细地运算无法运用于平时的乒乓球运动中，但可以在研究某些乒乓球技巧时运用这个模型。其次，随着现在自动化的发展，此模型可作为发球机、乒乓球机器人的一个基础，对后续编程起到帮助。最后，像此种高速运动的抛体运动模型可有很多的应用，在相似物体的运动过程中都可以用此模型来类比，使其不再需要忽略很多因素而失去了準确性。
4、反思
在这篇论文的写作过程中，我们学习到了如何将物理模型数学化，在对于一些本来需要忽略的物理因素，我们可以通过数学方法解决，这也是我们对导数、微积分、统计等知识有了更深层次的了解，同时在对于matlab软件的使用我们也有所进步。
（五）感谢
感谢北京景山学校杨宁宁、吴鹏老师的指导。
参考文献
[1]1999年9月—聊城师院学报（自然科学版）第12卷第3期—空气中的抛体运动——肖效光、阮树仁、肖曙光.
[2]乒乓球运动轨迹分析——百度文库（未署名）.
[关键词]乒乓球；运动轨迹；能量损失；力
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）08-0392-03
一、目录
（1）引言。（2）进行实验并粗略计算出乒乓球击打球时球前后速度的关系。（3）模拟击出乒乓球后乒乓球运动的轨迹。（4）结语。（5）感谢。
二、正文
（一）引言
乒乓球是我国的国球，在我国十分普及，作为乒乓球爱好者。为了提高自己的乒乓球接球能力，我们决定计算出对于从任意方向以任意速度飞来的不带旋的乒乓球的接球解决方案，这也可以进行推广。正好在一年前，我们曾经就这一问题进行过粗略的研究。这一次，我们引入了速度传感器，力争将结果做得更为精确。为此，我们保留了上一次的结果，通过对比，找出更精确的结果。
（二）进行试验并粗略计算出乒乓球击打球拍时的能量损失
为了能更清楚地说明问题，我先创设一个情景：在一张标准乒乓球台上，有一颗乒乓球朝着接球人的球拍飞了过来，这一时刻球恰好未与球拍接触。为了得出符合逻辑的结论，我们下面分步进行计算。
为了方便研究，我们先建立一个如图所示的空间直角坐标系：
假设乒乓球击中球拍时，乒乓球速度为V，设V（x0，y0，z0），乒乓球所在位置为（x1，y1，z1）
首先研究开始时刻与球恰好离开球拍的时刻之间的这段时间球的运动。在这一段时间中，击打乒乓球时乒乓球动能的损失不能忽略，不考虑乒乓球的旋转。为了研究乒乓球的动能损失，并且为了对比实验结果，我们做了如下两组实验：
第一组：
取一个红双喜4星4002球拍。用两根笔将拍子垫起，将一把长尺竖直放置，球拍面放平，分别从不同高度将球无处速度释放，记录释放高度，粗略记录弹起高度，重复十次，再移走球拍，让乒乓球弹地（可认为进行弹性碰撞），粗略记录弹起高度，重复十次，求平均值。再将其做差，比较所得数据如下表所示：
依据表格，可以画出散点图，利用MATLAB拟合出曲线。
根据此趋势，进行分析，可以认为当速度逐渐变大时，动能损失有一定值，即该函数的最大值h 。可以认为在一般比赛和练习中，球速均不低 于动能损失取到最大值时的速度值。经计算得。ymax约等于0.338，设乒乓球质量为m，取重力加速度为9.801m/s2，则△mghmax≈3.313m。
假设用球拍击球时施加的力为F（x2，y2，z2），挥拍速度为v1与F同向，击球时v1几乎不变。可以认为，击球后球的速度与F同向，力F垂直于乒乓球拍面。忽略乒乓球的旋转，由于接触时间很短，乒乓球质量较小，忽略重力的影响。击球后乒乓球的动能约等于力F做的功加上乒乓球在不施加力F时弹拍子之后的动能。力F做的功等于F×v×△t。经计算得，此时乒乓球动能为 ，乒乓球速度为
（其中△t的数值可以在球拍参数中获得，这里取0.1秒，FV1未知，是需要求的量），此时速度方向与力F方向相同。
第二组：
实验目的：鉴于前一组实验空气阻力的影响，以及读数的不精确，我引入了速度传感器和斜面，加上乒乓球的旋转，更好的模拟出乒乓球实际的运动状态。
实验用具：红双喜4002乒乓球拍一副、双鱼乒乓球一个、斜面（倾角不大）、速度传感器、电脑
实验步骤：1、按如图所示固定器材，保证速度传感器正对乒乓球，与球拍面垂直。
2、将乒乓球从某一高度由静止释放，记录触拍前后乒乓球的速度V，记录在表格中
3、改变乒乓球高度，重复2七次
接下来，利用MATLAB将数据绘成散点图，并求出线性回归方程：（经检验，更高次的曲线与实际情况吻合度较低）。
比较两种实验方法，可以看出，两实验的结果有一定的差距，带入数据进行检验可以发现，后者虽然拟合的精确度远低于前者，但由于前者不能忽略空气阻力，并且需要从能量推回速度的关系，使得后者的可信度更高，并且，后者直接给出了前后速度的关系，极大地方便了计算。
（三）模拟击出乒乓球后乒乓球运动的轨迹
我们分析在乒乓球以初速度v0的速度抛出时，其速度与位移的关系
乒乓球在运动员出手后，主要受三個力：
1、重力G=mg，在整个的飞行过程中将始终受到重力的影响，重力的方向竖直向下；
2、空气阻力FR，乒乓球的直径为D，空气密度为ρ，乒乓球向前平动的速度为γ，
在空气中物体受到的阻力与许多因素有关，包括运动物体速度、形状、大小、自转、及环境因素，其过程非常复杂，我们在这里只研究在无风速、无自转（即无角速度）的运动过程，所以在此过程中，物体仅受一个与运动方向相反的空气阻力。
但我们经查阅资料得知物体的运动速度，物体的形状和大小是决定空 气阻力大小的主要因素.在静止的空气中，作用在球形物体上的空气阻力与球体的质量无 关，而仅与物体的速度和半径的乘积vr有关，并存在如下关系F=A vr+5vr^2
该式成立的条件为vr<15m2/s，若vr更大，空气阻力的形式更为复杂.如果我们采用层 流模型，即开始时在物体前面的空气分子被物体推向一边，在物体通过以后，空气分子在 物体后恢复它们原来的位置.这种模型在工程设计中有许多重要的应用，如汽车、飞机、子 弹等物体的外型被设计成流线形，就是为了減小空气的阻力，对于球形物体，若满足vr< 10-5m2/s，也可以按层流模型处理，与式中第二项相联系的模型是湍流模型，这种模型认 为：当物体通过时产生一个尾流，在物体通过以后，在物体后面尾流区域中的空气分子就会形成一个个的小旋涡，资料表明，对于球形物体，若满足10-2m2/s
经我们实验发现，在研究乒乓球问题时，采用层流模型虽然是近似处理，更具普遍意义的情况是应考虑二次项空气阻力的作用，此时，抛体运动的水平分量和竖直分量可计算：
空气的浮力FU，方向竖直向上，由动力学，易得：
所以，在物体做无旋转的平抛运动是，其过程中，受重力和浮力在竖直上的力，其加速大小为（mg-1/6 πρgD^3）/m=9.78685
即竖直方向加速度大小=9.78685m/v^2
在上一目中我们已经求得了速度和发射角度，所以将其解微分方程即可得到位移公式，再根据球网高度15.25cm，球台长度2.74m为范围，即可求出所需力的大小。
下面是运用计算机软件将不同初速度和入射角情况的模拟：
（四）结语
1、误差分析
我们认为，本模型的误差主要出在以下方面：首先是数字学计算中小数点位数的保留带来的数值误差，其次是因为有一些实验使我们自己做的，所以精确度不高，最后是其他因素带来的影响我们没有考虑进去，比如乒乓球与地面碰撞的能量损失、风速的影响、乒乓球旋转的影响等。
2、改进和继续研究
根据误差分析中提到的我们会做出相应的改进，一个是将乒乓球的旋转和乒乓球拍的击球角度考虑在内，此时乒乓球会受马格努斯力，需要流体力学的分析，其次是将乒乓球在过网后与乒乓球台的碰撞考虑在内，使其形成一个完整的运动过程，完善此类运动模型。
3、用途和发展方向
首先，虽然这种精细地运算无法运用于平时的乒乓球运动中，但可以在研究某些乒乓球技巧时运用这个模型。其次，随着现在自动化的发展，此模型可作为发球机、乒乓球机器人的一个基础，对后续编程起到帮助。最后，像此种高速运动的抛体运动模型可有很多的应用，在相似物体的运动过程中都可以用此模型来类比，使其不再需要忽略很多因素而失去了準确性。
4、反思
在这篇论文的写作过程中，我们学习到了如何将物理模型数学化，在对于一些本来需要忽略的物理因素，我们可以通过数学方法解决，这也是我们对导数、微积分、统计等知识有了更深层次的了解，同时在对于matlab软件的使用我们也有所进步。
（五）感谢
感谢北京景山学校杨宁宁、吴鹏老师的指导。
参考文献
[1]1999年9月—聊城师院学报（自然科学版）第12卷第3期—空气中的抛体运动——肖效光、阮树仁、肖曙光.
[2]乒乓球运动轨迹分析——百度文库（未署名）.