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【摘要】《微积分》是高职院校理工科学生的一门很重要的基础课，它的内容源于生产、生活中，而且蕴含着丰富的人生哲理。其中，极限思想通过有限认识无限，以不变应万变，转化思想可以培养人的灵活思维，实现难以转换，复杂到简单的转换等。在课堂教学中，引入相关的趣味性哲理，可以激发学生学习的兴趣，对学生心理的成长、未来的发展，都起到润物细无声的效果。
【关键词】微积分 哲理 启发
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）17-0238-02
《高等數学》是高职院校所开设的一门公共基础必修课程，而微积分是该课程的核心内容。微积分中蕴含很多耐人寻味的哲理，课堂教学中给学生引入这些内容，对于激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛，有良好的效果。作为数学教师，应努力揭示潜藏在微积分内容背后的道理，让数学内容趣味化，不但给学生留下深刻的印象，而且达到育人的效果。笔者在教学中经常思考微积分内容后面隐藏的哲理，每次应用到教学中都取得不错的反响，在本文抛砖引玉，介绍以下八个哲理思想：
1.复合函数中的“嵌套”思想
如果函数y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域与y=f（u）的定义域有交集，则y=f[g（x）]就称为由y=f（u）与u=g（x）合成的一个复合函数。可见，复合函数蕴含着嵌套思想，如果问题中嵌套着问题，则运用此思想可以达到令人惊奇的效果。有这样一个有趣的事情：一次，美国滑稽大师马丁·戈登纳根据哈佛大学数学教授贝克先生告诉他的办法，成功地邀请了一位年轻姑娘一起吃晚饭。戈登纳对这姑娘说：“我有3个问题，请你对每个问题之用Yes或No回答，不必多做解释。第一个问题是：你愿意如实地回答我的下面两个问题吗？”姑娘答：“Yes！”“很好，”戈登纳继续说：“我的第二个问题是，如果我的第三个问题是‘你愿意和我一道吃晚饭吗’，那么，你对这后两个问题的答案是不是一致呢？”姑娘不知如何回答是好。因为，如果她回答“Yes”，这自然表明她同意与他一起共进晚餐;但是，如果她回答“No”，说明她对第三个问题的答案与此不同，那就是“Yes”，同样表明她同意这次约会。戈登纳问题的巧妙之处在于，他把第二和第三个问题嵌套在一起，犹如数学中的复合函数。
2.极限中的有限与无限的辩证关系
著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期极限思想的认识水平。该句话中由剩余木棒长度形成一个数列“1/2，1/22，1/23，……”，该数列的变化趋势是无限的趋近于0，从数列中有限的项来发现无限项的一般规律和变化方向，体现从有限发展到无限的思维，再例如《九章算术》中的割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣！”以此方法最终求得圆的面积和圆周率的近似数值。极限的这种思想在微积分的产生中起到基础作用，另外在经济中也具有广泛的应用。比如银行复利，复利计算次数频繁、计息周期越短，计算所得的本息和数额就越大，当计算次数无限增大时，利息会不会无限增大呢，利用极限的知识能知道这是不可能的，考虑到通货膨胀，通过在银行存款不能致富，甚至不能保值。
3.无穷小与无穷大中的无穷观
“无穷”又叫“无限”，无穷概念本属于哲学范畴，哲学把无穷归因于空间和时间，同时，无穷又是数学不可忽视的重要概念，微积分中的内容多与无穷为伍，如果没有无穷的概念，就没有微积分方法。无穷概念在微积分中伴随着连续、分割、极限、运动、时间、变化等问题而存在，无穷观念也伴随着人的一生而发展。其中，无穷小是极限为零的变量，无穷大是变化趋势为无限大的变量。无穷小与无穷大也蕴含着哲学道理。无知可以描述为：追赶无穷大;智慧概括为：关注无穷小;中庸解释为：无穷小与无穷大的曲直平衡过程。正所谓：细节决定成败，狂妄走向灭亡。我们人的生命虽然短暂，但是在有限的时间里可以做出来有无限意义的事情，名垂千秋;我们也不能狂妄自大，一个人在历史的长河中，在浩瀚无际的宇宙中，又是一个无穷小的形象，无论取得多大的成就，也要懂得谦虚，谦虚使人进步，能促使人取得更大的成就。
4.函数连续与间断的启发
函数y=f（x）在点x处的图像如果是连续不断开的，我们就说y=f（x）在点x处连续，否则是间断的。函数在一个点处如果是断开的，则不能满足该点处的极限值等于在该点处的函数值。正如我们在生活或学习、工作中确定一目标，努力了很久，才发现由于自己考虑不足，最终不得不放弃。人生的痛苦在于追求错误的东西，所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，才猛然发现，你和它是不连续的。
5.函数f（x）=ex的导数的启示
函数f（x）=ex，该函数关于x的导数仍为ex，所以不论对其求几次导数，都保持不变，仍为ex。我们曾有多少的理想和承诺，在经历几次求导的考验之后就面目全非甚至荡然无存？有没有那么一个誓言，叫作f（x）=ex？在上课时，每次讲到这个内容，学生们都对ex产生一种敬佩之情，数学中的函数也变得可爱起来。
6.函数的单调性与极值的人生启迪
函数y=f（x）若在点x的附近取得最大值则称在该点处取得极大值，函数y=f（x）若在点x的附近取得最小值则称在该点处取得极小值。在极大值点处的左边，函数图像都是单调增加，极小值点的左边，函数图像都是单调减少的。所以，在学习或工作中我们要保持积极向上的态度，勇于进取，取得进步，才有可能取得人生的一个个小高峰。当然，如果处在人生的低谷时，也不要灰心丧气，只要努力争上游，人生也会有起色。当一个人取得成功时，也不要得意忘形，否则很容易下滑至较低的状态。正所谓“胜不骄，败不馁”，就是单调性和极值的启发。
7.函数凹凸性中的边际效用递减法则
微积分中常见到凸增的函数图像，函数虽然是递增的，但曲线在向上延伸时逐渐变得平缓。以大学学习生活为例：当一个人下定决心去做某事，他起初总是信心满满，劲头十足，会为每天的进步而欣喜，然而一段时间之后，缓慢的、微小的进步已不能使他感到振奋，以至于行动上也有所懈怠，甚至最终不了了之。许多人始终在这样的怪圈里打转，这是怎么回事呢？在经济学中为著名的边际效用递减法则。所以在遇到这种情况，只需坚持，虽然进步感降低，但是仍在前进。
8.微分、积分概念的“化整为零、积零为整”、“近似代替”的思想
微积分包括微分和积分，微是“细微”，微分就是无限细分，积是累积即求和，而不是乘积，积分就是无限求和。大的复杂的不规则的图形不好研究，就利用微分思想将其分割成若干个小的简单的近似规则的图形，分开研究，逐个击破，再利用积分思想将其整合成原始图形，以此达到研究大的不规则图形的目的。联系到生活中比较大的困难，可以分解成小步骤，逐个解决。这种近似代替的思想，在微分中的以直代曲中也有应用。
微积分不仅是一门知识体系，它还是一种思想文化。在教学中引领学生进行哲理性的思考，会使数学的价值从技术工具系统走向人文精神层面，进而能促进学生对数学理性的崇敬与追求。微积分数学知识的哲理性不仅有趣味性，而且还有数学所特有的思维方式，在课堂教学中融入哲理的思想，有助于培养其辩证思维的能力，将数学的精神内涵应用到实际问题中。
参考文献：
[1]张文俊.数学欣赏[M].北京：科学出版社，2013.
[2]周家全，张永胜，许超.人文素质培养融入高等数学教学的研究[J].高师理科学刊，2011（05）.
[3]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海教育出版社，2009.
作者简介：
王俊华（1984.5-），女，汉族，河南省项城市人，硕士研究生，高校讲师，研究方向：数学。
【关键词】微积分 哲理 启发
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）17-0238-02
《高等數学》是高职院校所开设的一门公共基础必修课程，而微积分是该课程的核心内容。微积分中蕴含很多耐人寻味的哲理，课堂教学中给学生引入这些内容，对于激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛，有良好的效果。作为数学教师，应努力揭示潜藏在微积分内容背后的道理，让数学内容趣味化，不但给学生留下深刻的印象，而且达到育人的效果。笔者在教学中经常思考微积分内容后面隐藏的哲理，每次应用到教学中都取得不错的反响，在本文抛砖引玉，介绍以下八个哲理思想：
1.复合函数中的“嵌套”思想
如果函数y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域与y=f（u）的定义域有交集，则y=f[g（x）]就称为由y=f（u）与u=g（x）合成的一个复合函数。可见，复合函数蕴含着嵌套思想，如果问题中嵌套着问题，则运用此思想可以达到令人惊奇的效果。有这样一个有趣的事情：一次，美国滑稽大师马丁·戈登纳根据哈佛大学数学教授贝克先生告诉他的办法，成功地邀请了一位年轻姑娘一起吃晚饭。戈登纳对这姑娘说：“我有3个问题，请你对每个问题之用Yes或No回答，不必多做解释。第一个问题是：你愿意如实地回答我的下面两个问题吗？”姑娘答：“Yes！”“很好，”戈登纳继续说：“我的第二个问题是，如果我的第三个问题是‘你愿意和我一道吃晚饭吗’，那么，你对这后两个问题的答案是不是一致呢？”姑娘不知如何回答是好。因为，如果她回答“Yes”，这自然表明她同意与他一起共进晚餐;但是，如果她回答“No”，说明她对第三个问题的答案与此不同，那就是“Yes”，同样表明她同意这次约会。戈登纳问题的巧妙之处在于，他把第二和第三个问题嵌套在一起，犹如数学中的复合函数。
2.极限中的有限与无限的辩证关系
著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期极限思想的认识水平。该句话中由剩余木棒长度形成一个数列“1/2，1/22，1/23，……”，该数列的变化趋势是无限的趋近于0，从数列中有限的项来发现无限项的一般规律和变化方向，体现从有限发展到无限的思维，再例如《九章算术》中的割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣！”以此方法最终求得圆的面积和圆周率的近似数值。极限的这种思想在微积分的产生中起到基础作用，另外在经济中也具有广泛的应用。比如银行复利，复利计算次数频繁、计息周期越短，计算所得的本息和数额就越大，当计算次数无限增大时，利息会不会无限增大呢，利用极限的知识能知道这是不可能的，考虑到通货膨胀，通过在银行存款不能致富，甚至不能保值。
3.无穷小与无穷大中的无穷观
“无穷”又叫“无限”，无穷概念本属于哲学范畴，哲学把无穷归因于空间和时间，同时，无穷又是数学不可忽视的重要概念，微积分中的内容多与无穷为伍，如果没有无穷的概念，就没有微积分方法。无穷概念在微积分中伴随着连续、分割、极限、运动、时间、变化等问题而存在，无穷观念也伴随着人的一生而发展。其中，无穷小是极限为零的变量，无穷大是变化趋势为无限大的变量。无穷小与无穷大也蕴含着哲学道理。无知可以描述为：追赶无穷大;智慧概括为：关注无穷小;中庸解释为：无穷小与无穷大的曲直平衡过程。正所谓：细节决定成败，狂妄走向灭亡。我们人的生命虽然短暂，但是在有限的时间里可以做出来有无限意义的事情，名垂千秋;我们也不能狂妄自大，一个人在历史的长河中，在浩瀚无际的宇宙中，又是一个无穷小的形象，无论取得多大的成就，也要懂得谦虚，谦虚使人进步，能促使人取得更大的成就。
4.函数连续与间断的启发
函数y=f（x）在点x处的图像如果是连续不断开的，我们就说y=f（x）在点x处连续，否则是间断的。函数在一个点处如果是断开的，则不能满足该点处的极限值等于在该点处的函数值。正如我们在生活或学习、工作中确定一目标，努力了很久，才发现由于自己考虑不足，最终不得不放弃。人生的痛苦在于追求错误的东西，所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，才猛然发现，你和它是不连续的。
5.函数f（x）=ex的导数的启示
函数f（x）=ex，该函数关于x的导数仍为ex，所以不论对其求几次导数，都保持不变，仍为ex。我们曾有多少的理想和承诺，在经历几次求导的考验之后就面目全非甚至荡然无存？有没有那么一个誓言，叫作f（x）=ex？在上课时，每次讲到这个内容，学生们都对ex产生一种敬佩之情，数学中的函数也变得可爱起来。
6.函数的单调性与极值的人生启迪
函数y=f（x）若在点x的附近取得最大值则称在该点处取得极大值，函数y=f（x）若在点x的附近取得最小值则称在该点处取得极小值。在极大值点处的左边，函数图像都是单调增加，极小值点的左边，函数图像都是单调减少的。所以，在学习或工作中我们要保持积极向上的态度，勇于进取，取得进步，才有可能取得人生的一个个小高峰。当然，如果处在人生的低谷时，也不要灰心丧气，只要努力争上游，人生也会有起色。当一个人取得成功时，也不要得意忘形，否则很容易下滑至较低的状态。正所谓“胜不骄，败不馁”，就是单调性和极值的启发。
7.函数凹凸性中的边际效用递减法则
微积分中常见到凸增的函数图像，函数虽然是递增的，但曲线在向上延伸时逐渐变得平缓。以大学学习生活为例：当一个人下定决心去做某事，他起初总是信心满满，劲头十足，会为每天的进步而欣喜，然而一段时间之后，缓慢的、微小的进步已不能使他感到振奋，以至于行动上也有所懈怠，甚至最终不了了之。许多人始终在这样的怪圈里打转，这是怎么回事呢？在经济学中为著名的边际效用递减法则。所以在遇到这种情况，只需坚持，虽然进步感降低，但是仍在前进。
8.微分、积分概念的“化整为零、积零为整”、“近似代替”的思想
微积分包括微分和积分，微是“细微”，微分就是无限细分，积是累积即求和，而不是乘积，积分就是无限求和。大的复杂的不规则的图形不好研究，就利用微分思想将其分割成若干个小的简单的近似规则的图形，分开研究，逐个击破，再利用积分思想将其整合成原始图形，以此达到研究大的不规则图形的目的。联系到生活中比较大的困难，可以分解成小步骤，逐个解决。这种近似代替的思想，在微分中的以直代曲中也有应用。
微积分不仅是一门知识体系，它还是一种思想文化。在教学中引领学生进行哲理性的思考，会使数学的价值从技术工具系统走向人文精神层面，进而能促进学生对数学理性的崇敬与追求。微积分数学知识的哲理性不仅有趣味性，而且还有数学所特有的思维方式，在课堂教学中融入哲理的思想，有助于培养其辩证思维的能力，将数学的精神内涵应用到实际问题中。
参考文献：
[1]张文俊.数学欣赏[M].北京：科学出版社，2013.
[2]周家全，张永胜，许超.人文素质培养融入高等数学教学的研究[J].高师理科学刊，2011（05）.
[3]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海教育出版社，2009.
作者简介：
王俊华（1984.5-），女，汉族，河南省项城市人，硕士研究生，高校讲师，研究方向：数学。