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摘 要：桑代克试误学习理论指出：试误是人类认识世界的主要方法之一. 本文讨论了在实际教学中，通过“旁敲侧击”、“将错就错”、“巧妙暗示”、“幽默一则”、“巧用比喻”以及“延迟评价”等纠错方式，能够花较少的时间取得最佳的纠错效果，进而达到优化思维过程的目的.
关键词：错误；数学教学；纠错艺术
桑代克试误学习理论指出：试误是人类认识世界的主要方法之一， 没有大量错误做台阶就不能攀上正确结果的宝座，所以在教学中对学生进行纠错显得尤为重要. 事实上也是这样，让学生弄明错因，使其自觉地纠正错误，这几乎是每个数学教师的共同愿望. 但教与学的时间毕竟是有限的，我们不可能有过多的精力去指导学生辨错、纠错；同时，“提倡矫正性反馈也有可能会产生负作用，即会使学生一直依赖于教师的指正.” 因此摸索艺术的纠错方法，花较少的时间取得最佳的纠错效果，就成为我们思考的问题. 经过反复摸索和实践，笔者总结出如下几种常用的纠错方法.
通过“旁敲侧击”，学生建构正确知识
有些错误，是因为学生受到前、倒摄抑制的干扰形成的. 对待这些错误，我们往往习惯于正面引导，对比讲解. 这不但浪费了时间，而且给学生留下的印象也不深. 如果我们从侧面切入，抓住要害，巧设情境，引导学生自悟，效果就好多了. 例如，有一次，几位学生询问一道题目的解答为什么错了. 此题目与学生的求解过程摘抄如下：
题 计算－+i的值.
解：－+i=－+i=1=1.
当学生询问时，笔者不予解释，只在黑板上写出“判断正误：同垂直一条直线的两直线平行.” 学生都说在平面几何中它是正确的，但涉及的范围变为立体几何后，就不成立了. 然后笔者追问：“那么此题错在哪里？”这些学生经过讨论后，会心地笑了，消除了疑虑.原来他们受到了实数范围内的幂运算法则的抑制而导致出错.
顺势“将错就错”，学生修正错误知识
不直接指出其错误所在，而是顺着学生的思路，在其思维的缺陷处制造矛盾，激发认知冲突，使之自觉地纠正错误. 如在“向量”起始课的学习中，当有学生对共线向量的概念回答是“只有在同一条直线上的向量才是共线向量”时，笔者并不予马上纠正，而是在黑板上画出两条方向相反但不在同一条直线上的向量，问“这两个向量是不是共线向量呢？”该学生马上给予否认，笔者又问“那它们是不是平行向量呢？”学生思考了一会，给予肯定；然后笔者追问：“共线向量与平行向量是什么关系呢？”经过反复的比较、修正，学生不但学得主动，而且对共线向量及平行向量的关系和本质有了透彻的理解.
借助“巧妙暗示”，学生便能茅塞顿开
有些错误是由于学生思维线路的断裂而引起的. 解题时，他们往往在断裂处左右徘徊，“心求通而未能，口欲言而弗达”，这时，只要我们稍加暗示，定能收到事半功倍的效果. 如，在立体几何的“球”习题课教学时，学生们在思索“从球面上一点P引三条两两垂直的直线PA，PB，PC，分别交球面于点A，B，C，它们的长度分别是3，4，5，求此球的半径”一题时，由于知识系统把握得不全面，产生了各种错误的解法. 面对学生的错解，笔者先是摇了摇头，后又耐心等待了一会儿，发现有的学生一会儿皱眉，一会儿松开；一会儿抬头看看，一会儿又拿笔演算，从学生的面部表情看，明显“悱愤”状态到了. 于是笔者指了几下教室，开始学生都感到很奇怪，但是不一会儿，大多数学生都兴奋起来了.
凭借“幽默一则”，师生达到心灵相通
教育家斯维洛夫说:“教育家最主要也是第一位的助手是幽默.” 美国保罗韦地博士曾用问卷调查过9万名学生，发现有92%的学生喜欢幽默型的教师. 实践也表明，幽默风趣不仅对学生有直接的愉悦作用，同时还有一种特别的纠错效果. 又如：在学习排列组合一节时，有这样一道习题：“六个人排成一排照相，其中甲、乙二人必须站在一起，问共有多少种排法？”虽然学生们知道这是一道分步问题，应该用乘法原理，但在甲、乙二人必须站在一起这个问题上无从下手，于是很多学生犯了多算或少算的错误. 对此笔者“郑重”宣布：“甲、乙二人变成丙一个人，‘变’!（学生笑，并思考教师的用意），这时还有多少人照相?”学生答:“五个人!”“有多少种排法?”“有A种.” 由于教师诱导，顺利地完成了第一步.接着笔者又说:“现在丙这个人再变成甲、乙二人，‘变!’，那么甲、乙二人之间有多少种排法？”学生说：“有A种.” 这又巧妙地完成了第二步. 然后根据乘法原理，学生们很快地解决了这道实际问题.
适时“巧用比喻”，学生消除错误认识
比喻是一种修辞方式，说浅显一点即俗话中的“打比方”. 在数学中是指对较深奥的或较难理解的数学事实，用简单、通俗、易懂的生活现象，加以描述、表白，使人顿悟、领会. 在平时学习中，学生常对一些不易被理解的概念、性质、定理等知识，只有一种模糊认识，不会融会贯通、灵活运用，常导致错误的发生. 面对这种情况，教师如能适当利用比喻来启发、纠错，喻事明理，这样学生就会大彻大悟. 一个恰到好处的比喻，是非常有效的，远比教师反复解释要好得多. 例如对于充要条件的教学，一般来讲，充分条件的定义好理解，而对必要条件的定义，学生一接触常感迷惑. 他们觉得：若A则B，即A?圯B，B是A推出的结论，怎么能说B是A的条件呢?因此学生经常犯错误. 此时可利用比喻进行纠错:天上有云不一定下雨，但下雨必须天上有云，所以说“有云”是“下雨”的必要条件. 学生立刻心领神会，难点不攻自破.
提倡“延迟评价”，学生充分消化知识
美国著名创造心理学家奥斯本提出的延迟评价理论认为：一般情况下，学生想出正确的或比较独特的解题思路，大多数是在思维过程的后段时间里形成的. 因此，面对学生的错误，我们不要急于评价，要给予学生充裕的思考时间，并对学生加以积极鼓励和适当赞扬，在这种力量的感召下，学生一般都能迸发出较强的认知内驱力，取得较好的纠错效果.
如：有一次，一位学生拿来一道题目及解答给笔者看，并询问是否正确.
例 求经过点，2且与双曲线4x2－y2=1仅有一个公共点的直线方程.
解：设所求的直线方程为：y－2=kx－，代入双曲线方程，并整理得：（4－k2）x2－2k2－kx－k2－2k+5=0，令Δ=0，解得：k=. 故所求的直线方程为：y－2=x－，即y=x+.
当然此题的解法不完整，笔者并不直接点破，而说：“很好，但仍有缺陷，你能不能弥补一下”，该学生兴冲冲地去了. 过了一会儿，又拿着“补充好的”解题过程来了，热切地期盼着. 笔者看他虽然补充了x=这种斜率不存在的情况，但仍有漏洞. 于是激励他：“离正确解答只有一步之遥了，再努力一下，你肯定能行！”果然，没有多少时间，该学生兴奋地冲到笔者面前，我们都笑了起来.
在数学教学中，纠错是提高教学质量的一个重要环节. 教师既可针对学生的普遍错误组织学生分析讨论，消除某些困惑，纠正存在的问题；也可针对部分学生或个别学生的错误采取各种恰当的纠错艺术和教学形式，从而达到优化思维过程的目的，从而使学生系统掌握有关知识、技能和方法，培养学生的辨证思维能力和自我纠错能力.
关键词：错误；数学教学；纠错艺术
桑代克试误学习理论指出：试误是人类认识世界的主要方法之一， 没有大量错误做台阶就不能攀上正确结果的宝座，所以在教学中对学生进行纠错显得尤为重要. 事实上也是这样，让学生弄明错因，使其自觉地纠正错误，这几乎是每个数学教师的共同愿望. 但教与学的时间毕竟是有限的，我们不可能有过多的精力去指导学生辨错、纠错；同时，“提倡矫正性反馈也有可能会产生负作用，即会使学生一直依赖于教师的指正.” 因此摸索艺术的纠错方法，花较少的时间取得最佳的纠错效果，就成为我们思考的问题. 经过反复摸索和实践，笔者总结出如下几种常用的纠错方法.
通过“旁敲侧击”，学生建构正确知识
有些错误，是因为学生受到前、倒摄抑制的干扰形成的. 对待这些错误，我们往往习惯于正面引导，对比讲解. 这不但浪费了时间，而且给学生留下的印象也不深. 如果我们从侧面切入，抓住要害，巧设情境，引导学生自悟，效果就好多了. 例如，有一次，几位学生询问一道题目的解答为什么错了. 此题目与学生的求解过程摘抄如下：
题 计算－+i的值.
解：－+i=－+i=1=1.
当学生询问时，笔者不予解释，只在黑板上写出“判断正误：同垂直一条直线的两直线平行.” 学生都说在平面几何中它是正确的，但涉及的范围变为立体几何后，就不成立了. 然后笔者追问：“那么此题错在哪里？”这些学生经过讨论后，会心地笑了，消除了疑虑.原来他们受到了实数范围内的幂运算法则的抑制而导致出错.
顺势“将错就错”，学生修正错误知识
不直接指出其错误所在，而是顺着学生的思路，在其思维的缺陷处制造矛盾，激发认知冲突，使之自觉地纠正错误. 如在“向量”起始课的学习中，当有学生对共线向量的概念回答是“只有在同一条直线上的向量才是共线向量”时，笔者并不予马上纠正，而是在黑板上画出两条方向相反但不在同一条直线上的向量，问“这两个向量是不是共线向量呢？”该学生马上给予否认，笔者又问“那它们是不是平行向量呢？”学生思考了一会，给予肯定；然后笔者追问：“共线向量与平行向量是什么关系呢？”经过反复的比较、修正，学生不但学得主动，而且对共线向量及平行向量的关系和本质有了透彻的理解.
借助“巧妙暗示”，学生便能茅塞顿开
有些错误是由于学生思维线路的断裂而引起的. 解题时，他们往往在断裂处左右徘徊，“心求通而未能，口欲言而弗达”，这时，只要我们稍加暗示，定能收到事半功倍的效果. 如，在立体几何的“球”习题课教学时，学生们在思索“从球面上一点P引三条两两垂直的直线PA，PB，PC，分别交球面于点A，B，C，它们的长度分别是3，4，5，求此球的半径”一题时，由于知识系统把握得不全面，产生了各种错误的解法. 面对学生的错解，笔者先是摇了摇头，后又耐心等待了一会儿，发现有的学生一会儿皱眉，一会儿松开；一会儿抬头看看，一会儿又拿笔演算，从学生的面部表情看，明显“悱愤”状态到了. 于是笔者指了几下教室，开始学生都感到很奇怪，但是不一会儿，大多数学生都兴奋起来了.
凭借“幽默一则”，师生达到心灵相通
教育家斯维洛夫说:“教育家最主要也是第一位的助手是幽默.” 美国保罗韦地博士曾用问卷调查过9万名学生，发现有92%的学生喜欢幽默型的教师. 实践也表明，幽默风趣不仅对学生有直接的愉悦作用，同时还有一种特别的纠错效果. 又如：在学习排列组合一节时，有这样一道习题：“六个人排成一排照相，其中甲、乙二人必须站在一起，问共有多少种排法？”虽然学生们知道这是一道分步问题，应该用乘法原理，但在甲、乙二人必须站在一起这个问题上无从下手，于是很多学生犯了多算或少算的错误. 对此笔者“郑重”宣布：“甲、乙二人变成丙一个人，‘变’!（学生笑，并思考教师的用意），这时还有多少人照相?”学生答:“五个人!”“有多少种排法?”“有A种.” 由于教师诱导，顺利地完成了第一步.接着笔者又说:“现在丙这个人再变成甲、乙二人，‘变!’，那么甲、乙二人之间有多少种排法？”学生说：“有A种.” 这又巧妙地完成了第二步. 然后根据乘法原理，学生们很快地解决了这道实际问题.
适时“巧用比喻”，学生消除错误认识
比喻是一种修辞方式，说浅显一点即俗话中的“打比方”. 在数学中是指对较深奥的或较难理解的数学事实，用简单、通俗、易懂的生活现象，加以描述、表白，使人顿悟、领会. 在平时学习中，学生常对一些不易被理解的概念、性质、定理等知识，只有一种模糊认识，不会融会贯通、灵活运用，常导致错误的发生. 面对这种情况，教师如能适当利用比喻来启发、纠错，喻事明理，这样学生就会大彻大悟. 一个恰到好处的比喻，是非常有效的，远比教师反复解释要好得多. 例如对于充要条件的教学，一般来讲，充分条件的定义好理解，而对必要条件的定义，学生一接触常感迷惑. 他们觉得：若A则B，即A?圯B，B是A推出的结论，怎么能说B是A的条件呢?因此学生经常犯错误. 此时可利用比喻进行纠错:天上有云不一定下雨，但下雨必须天上有云，所以说“有云”是“下雨”的必要条件. 学生立刻心领神会，难点不攻自破.
提倡“延迟评价”，学生充分消化知识
美国著名创造心理学家奥斯本提出的延迟评价理论认为：一般情况下，学生想出正确的或比较独特的解题思路，大多数是在思维过程的后段时间里形成的. 因此，面对学生的错误，我们不要急于评价，要给予学生充裕的思考时间，并对学生加以积极鼓励和适当赞扬，在这种力量的感召下，学生一般都能迸发出较强的认知内驱力，取得较好的纠错效果.
如：有一次，一位学生拿来一道题目及解答给笔者看，并询问是否正确.
例 求经过点，2且与双曲线4x2－y2=1仅有一个公共点的直线方程.
解：设所求的直线方程为：y－2=kx－，代入双曲线方程，并整理得：（4－k2）x2－2k2－kx－k2－2k+5=0，令Δ=0，解得：k=. 故所求的直线方程为：y－2=x－，即y=x+.
当然此题的解法不完整，笔者并不直接点破，而说：“很好，但仍有缺陷，你能不能弥补一下”，该学生兴冲冲地去了. 过了一会儿，又拿着“补充好的”解题过程来了，热切地期盼着. 笔者看他虽然补充了x=这种斜率不存在的情况，但仍有漏洞. 于是激励他：“离正确解答只有一步之遥了，再努力一下，你肯定能行！”果然，没有多少时间，该学生兴奋地冲到笔者面前，我们都笑了起来.
在数学教学中，纠错是提高教学质量的一个重要环节. 教师既可针对学生的普遍错误组织学生分析讨论，消除某些困惑，纠正存在的问题；也可针对部分学生或个别学生的错误采取各种恰当的纠错艺术和教学形式，从而达到优化思维过程的目的，从而使学生系统掌握有关知识、技能和方法，培养学生的辨证思维能力和自我纠错能力.