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【摘 要】数形结合思想就是对一一对应关系的主观反映或表述，以及通过这种思想对数学问题的理解与解决的思想方法。数形结合思想实现了抽象思维与形象思维的结合，可以把复杂、抽象的问题简单化、具体化。本文通过实例论证了数形结合在数学教学中有着十分重要的作用。
【关键词】数形结合 抽象 直观 数学教学
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）09-0167-02
一、数形结合的理论依据
建构主义认为，学习者在进行主动建构的过程中，必须要借助一定的操作对象。教师应充分利用多种方式调动学生的感觉器官，通过鼓励学生动口、动手、动脑等多种方式，把图形和文字结合在一起，对学生的脑、眼等进行多种方式刺激，将更有利于学生的学习。
二、数形结合的必要性
“数”指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人左脑思维的产物。“形”主要是指几何图形，属于形象思维范畴，是人右脑思维的产物。数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力。数形结合思想就是把问题的数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法。根据解决问题的需要，可把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究。
数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图像性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简洁明快，把复杂、抽象的问题简单化、具体化；同时还可以开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径。
三、数形结合在数学教学中的应用
数形结合思想被广泛应用于数学教学中，注重数形结合思想的培养是提高学生数学素质的一个重要途径。下面从几个方面举例说明数形结合法的应用。
1.运用数形结合思想解决函数问题
借助于图像研究函数的性质，是一种常用的方法，函数图像的集合特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。运用这种数形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果。
例1：已知奇函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在（0，+∞）上单调递增，若f（1）=0，满足x·f（x）<0的范围是_____。
分析：函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自变量与函数值异号，故可作出f（x）的图像加以解决。
解：作出符合条件的一个函数图像，如图1。由图可知：x·f（x）<0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）。可见，对于较抽象的函数问题，只需按题设作出最简单的函数图像即可。
2.运用数形结合思想解决三角问题
三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般先将函数化成基本的三角函数的形式，借助于单位圆或三角函数的图像来处理，数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要方法。
例2：若sina>tana>cota（ A、 ， B、 ，0 C、0， D、 ，
分析：画出三角函数线进行观察。
解：划出单位圆和三角函数线，如图2所示。
图1 图2
当a∈（ ，0）时，由于|MP|<|AT|<|BS|，所以得|sina|<|tana|
<|cota|；由于sina<0，tana<0，cota<0，得-sina<-tana<-cota，
sina>tana>cota；最终得到范围为（ ，0），选B；可见用三角
函数线研究三角函数的大小、范围问题，十分直观。
3.运用数形结合思想处理不等式问题
数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，从图形上找出解题思路。运用数形结合解题主要有两个途径：①转化：即将代数式转化为几何式。②构造：即构造图形或函数。
例3：设奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-1，则不等式f（x-1）<0的解集是______。
解：常规方法是分x-1>0，x-1<0讨论，分别得到不等式，并解之。如果能根据已知条件作出y=f（x）的图像（奇函数关于原点对称），则可以直观的得到f（x）<0的解为x<-1或0 從而f（x-1）<0的解集为x-1<-1或0 评注：利用数形结合来考察取值范围的方式非常直观，不需要进行计算。
4.运用数形结合思想研究数列问题
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式及前n项和公式可以看做是关于正整函数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题就是借助函数图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
例4：已知Sn是等差数列{an}的前n项和且Sp=Sq（p≠q），
求Sp+q。
解：由于Sn=na2+ d= n2+（a2- ）n，
由题设知，d≠0，所以Sn是关于n的缺常项的二次函数，其图像是由过原点的抛物线上的点构成的，如图4所示。又因为
抛物线对称轴方程为x= ，故Sp+q=0。
图3 图4
评注：数列的通项公式及前n项和公式可以看做是关于正整数n的函数，因此有关数列问题常可以转化为相应的函数问题来解决。
5.运用数形结合思想研究复数问题
复数的几何意义及向量表示，把复数与平面几何解析几何有机的联系在一起，复数的几何意义充分体现了数形结合的思想方法。
例5：若|Z1|=|Z2|=1且|Z1+Z2|= ，求|Z1-Z2|。
解：由题设条件不难联想到本题所隐含的“形”是|Z1|=|Z2|=1和|Z1+Z2|= 是以oz2和oz2为两邻边的平行四边形的两条对角线的长。
如图5，由|Z1|=|Z2|=1且|Z1+Z2|= ，知四边形为正方形。
所以，另一条对角线长Z1-Z2|= 。
这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。
四、结束语
数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。巧妙应用数形结合的思想方法，不仅能直观地发现解题的途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题的过程。正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”
参考文献
1 伍庆成.数形结合的意义[J].黑龙江科技信息，2007（15）：162
2 顾亚萍.数形结合思想方法之教学研究[D].南京师范大学，2004
3 卢炼.数形结合解题浅探[J].上海中学数学，2005（9）：44～45
4 罗新兵.数形结合的解题研究：表征的视角[D].华东师范大学，2005
5 韦朝聚.数形结合在解题中的应用[J].大众科技，2008（5）：32～34
6 虞涛.数形结合思想的应用[J].数学通讯，2000（11）：30～34
7 吕江涛.数学教学中应加强数形结合能力的培养[J].教育革新，2007（12）：50～51
8 王俊平.数形结合的原则与途径[J].高中数学教与学，2006（2）：13～16
【关键词】数形结合 抽象 直观 数学教学
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）09-0167-02
一、数形结合的理论依据
建构主义认为，学习者在进行主动建构的过程中，必须要借助一定的操作对象。教师应充分利用多种方式调动学生的感觉器官，通过鼓励学生动口、动手、动脑等多种方式，把图形和文字结合在一起，对学生的脑、眼等进行多种方式刺激，将更有利于学生的学习。
二、数形结合的必要性
“数”指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人左脑思维的产物。“形”主要是指几何图形，属于形象思维范畴，是人右脑思维的产物。数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力。数形结合思想就是把问题的数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法。根据解决问题的需要，可把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究。
数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图像性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简洁明快，把复杂、抽象的问题简单化、具体化；同时还可以开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径。
三、数形结合在数学教学中的应用
数形结合思想被广泛应用于数学教学中，注重数形结合思想的培养是提高学生数学素质的一个重要途径。下面从几个方面举例说明数形结合法的应用。
1.运用数形结合思想解决函数问题
借助于图像研究函数的性质，是一种常用的方法，函数图像的集合特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。运用这种数形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果。
例1：已知奇函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在（0，+∞）上单调递增，若f（1）=0，满足x·f（x）<0的范围是_____。
分析：函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自变量与函数值异号，故可作出f（x）的图像加以解决。
解：作出符合条件的一个函数图像，如图1。由图可知：x·f（x）<0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）。可见，对于较抽象的函数问题，只需按题设作出最简单的函数图像即可。
2.运用数形结合思想解决三角问题
三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般先将函数化成基本的三角函数的形式，借助于单位圆或三角函数的图像来处理，数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要方法。
例2：若sina>tana>cota（
分析：画出三角函数线进行观察。
解：划出单位圆和三角函数线，如图2所示。
图1 图2
当a∈（ ，0）时，由于|MP|<|AT|<|BS|，所以得|sina|<|tana|
<|cota|；由于sina<0，tana<0，cota<0，得-sina<-tana<-cota，
sina>tana>cota；最终得到范围为（ ，0），选B；可见用三角
函数线研究三角函数的大小、范围问题，十分直观。
3.运用数形结合思想处理不等式问题
数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，从图形上找出解题思路。运用数形结合解题主要有两个途径：①转化：即将代数式转化为几何式。②构造：即构造图形或函数。
例3：设奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x-1，则不等式f（x-1）<0的解集是______。
解：常规方法是分x-1>0，x-1<0讨论，分别得到不等式，并解之。如果能根据已知条件作出y=f（x）的图像（奇函数关于原点对称），则可以直观的得到f（x）<0的解为x<-1或0
4.运用数形结合思想研究数列问题
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式及前n项和公式可以看做是关于正整函数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题就是借助函数图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
例4：已知Sn是等差数列{an}的前n项和且Sp=Sq（p≠q），
求Sp+q。
解：由于Sn=na2+ d= n2+（a2- ）n，
由题设知，d≠0，所以Sn是关于n的缺常项的二次函数，其图像是由过原点的抛物线上的点构成的，如图4所示。又因为
抛物线对称轴方程为x= ，故Sp+q=0。
图3 图4
评注：数列的通项公式及前n项和公式可以看做是关于正整数n的函数，因此有关数列问题常可以转化为相应的函数问题来解决。
5.运用数形结合思想研究复数问题
复数的几何意义及向量表示，把复数与平面几何解析几何有机的联系在一起，复数的几何意义充分体现了数形结合的思想方法。
例5：若|Z1|=|Z2|=1且|Z1+Z2|= ，求|Z1-Z2|。
解：由题设条件不难联想到本题所隐含的“形”是|Z1|=|Z2|=1和|Z1+Z2|= 是以oz2和oz2为两邻边的平行四边形的两条对角线的长。
如图5，由|Z1|=|Z2|=1且|Z1+Z2|= ，知四边形为正方形。
所以，另一条对角线长Z1-Z2|= 。
这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。
四、结束语
数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。巧妙应用数形结合的思想方法，不仅能直观地发现解题的途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题的过程。正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”
参考文献
1 伍庆成.数形结合的意义[J].黑龙江科技信息，2007（15）：162
2 顾亚萍.数形结合思想方法之教学研究[D].南京师范大学，2004
3 卢炼.数形结合解题浅探[J].上海中学数学，2005（9）：44～45
4 罗新兵.数形结合的解题研究：表征的视角[D].华东师范大学，2005
5 韦朝聚.数形结合在解题中的应用[J].大众科技，2008（5）：32～34
6 虞涛.数形结合思想的应用[J].数学通讯，2000（11）：30～34
7 吕江涛.数学教学中应加强数形结合能力的培养[J].教育革新，2007（12）：50～51
8 王俊平.数形结合的原则与途径[J].高中数学教与学，2006（2）：13～16