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浙江上虞丰惠中学 312361
摘要：数列既是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础. 高考对数列的考查比较全面，对等差数列、等比数列的考查每年都会涉及. 有关数列的试题多以综合题为主，经常把数列知识和指数函数、对数函数及不等式的知识综合起来，也常把等差数列、等比数列与极限和数学归纳法综合在一起.
关键词：等差数列；变式
从近几年看，数列在综合考查等差、等比数列性质及计算的同时，还加大了对递推数列的考查力度. 试题往往从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严密的逻辑推理，找出数列的通项公式.并且常常将数列与其他知识（函数、不等式、解析几何）结合起来，考查学生综合应用知识的能力. 而数列的通项公式又是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究性质等，而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等. 因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点. 等差数列的定义为an－an-1=d（n≥2），d是常数，如果再已知首项a1，就可以求出它的通项an=a1+（n－1）d. 这时不禁会想，当d不是常数时它的通项会怎样？我们可以对等差数列的定义作一“变脸”，如变为an－an-1=f（n），f（n）不是常数，而是关于n的一个变量，或改变an与an-1前的系数等.
变式1an+pan-1=d型（p，d都是常数，且p≠－1，p≠0）
例１（2007全国Ⅰ）已知数列｛an｝中a1=2，an+1=（－1）（an+2），n=1，2，3，…
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）若数列｛bn｝中b1=2，bn+1=，n=1，2，3，…，证明： 分析 题目中an+1前的系数与an的系数不一样，所以｛an｝不是等差数列，但可以通过设参数，使两者的系数相等，转化为等比数列.
解（Ⅰ）设an+1+t=（－1）（an+t），化简得an+1=（－1）an+（－2）t.
比较原式得（－2）t=2（－1），t=－， 即an+1－=（－1）·（an－）．
所以数列｛an－｝是首项为2－，公比为－1的等比数列，
即an－=（2－）（－1）n-1，所以an的通项公式为an=［（－1）n+1］.
（Ⅱ）解略.
例2（2004北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列｛an｝是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________________.
分析 这是新定义的数列，要求考生根据题意写出an满足的等式，进而求出数列的通项公式.
解由题意得an+an+1=5，设an+1+t=－（an+t）， 对照原式得t=－ ，
即an+1－=－an
－，所以数列an
－是首项为－，公比为－1的等比数列. 所以an－=－（－1）n-1，即an=（－1）n·+，所以a18=3.
当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=n－.
例3（2003江苏）设a>0，如图1，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0 [y][x][a1][a2][a3][Q3][Q2][Q1][O][P2][C][l][P3][P4]
图1
（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）当a=1，a1≤时，证明：（ak－ak+1）ak+2<；
（Ⅲ）当a=1时，证明：（ak－ak+1）ak+2<.
分析 通过点Qn与Pn+1的纵坐标关系、Pn+1与Qn+1的横坐标关系，建立an+1与an之间的关系.
解（Ⅰ）因为Qn（an，a），Pn+1
，a
，Qn+1
，
，
所以an+1=，两边取常用对数后，lgan+1=lg+2lgan. 设参数后得lgan+1+lg=2lgan+lg
，所以lgan+lg
是以lg为首项，2为公比的等比数列.
所以lgan+lg=lg·2n-1，所以an=a·
.
（Ⅱ）（Ⅲ）解略.
点评 对于an+pan-1=d（p，d都是常数，且p≠－1，p≠0）形式的递推数列，可以通过待定系数法将原递推数列转化为=－p的等比数列｛bn｝，其中bn=an-. 待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出等式或方程. 使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决. 要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.
变式2an+pan-1=f（n）型（p是常数，且p≠－1，p≠0）
例4（2007天津）在数列｛an｝中，a1=2，an+1=4an－3n+1，n∈N+．
（Ⅰ）证明：数列｛an-n｝是等比数列；
（Ⅱ）求数列｛an｝的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明：不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N+皆成立.
分析 当d不是常数时，可以通过其他方式求解，把条件变形为结构式相同的项.
解（Ⅰ）由题设an+1=4an－3n+1，变形得an+1－（n+1）=4（an－n），n∈N+．
又a1－1=1，所以数列｛an-n｝是首项为1，公比为4的等比数列.
（Ⅱ）（Ⅲ）解略.
例5（2003辽宁）设a0为常数，且an=3n-1－2an-1（n∈N+）
（Ⅰ）证明：对任意n≥1，an=［3n+（－1）n-1·2n］+（－1）n·2n·a0；
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an-1，求a0的取值范围.
分析 当变形较难时可考虑设参，但设参的方式有所不同.
解（Ⅰ）设an－t·3n=－2（an-1－t·3n-1），用an=3n-1－2an-1代入，可解出t=.
所以an
-是公比为－2，首项为a1－的等比数列.
所以an-=1－2a0
－·（－2）n-1（n∈N+），即an=+（－1）n2n·a0 .
（Ⅱ）解略.
例6（2007天津）在数列｛an｝中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2－λ）2n（n∈N+），其中λ>0．
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列｛an｝的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明：存在k∈N+，使得≤对任意n∈N+均成立.
分析 题目中有两个参数n和λ，考生容易把λ也作为变量，且形式上试题较复杂，客观上增加了试题的难度.
解（Ⅰ）由an+1=λan+λn+1+（2－λ）2n（n∈N+），λ>0，两边同除以λn+1，
得=++1（n∈N+），变形为－
n+1=－
n+1.
所以
－
n为等差数列，其公差为1，首项为0，故－
n=n－1，故数列｛an｝的通项公式为an=（n－1）λn+2n．
（Ⅱ）（Ⅲ）解略.
点评 对an+pan-1=f（n）型（p都是常数，且p≠－1，p≠0）的数列可通过变形、设参数或两边同除某个数的方法来解答. 解题时可以通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，进而解决问题. 参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到了中学数学的各个分支.
例7 （2008广东）设p，q为实数，α，β是方程x2－px+q=0的两个实根，数列｛xn｝满足x1=p，x2=p2－q，xn=pxn-1－qxn-2（n=3，4，…）.
（Ⅰ）证明：α+β=p，αβ=q；
（Ⅱ）求数列｛xn｝的通项公式.
解（Ⅰ）略.
（Ⅱ）设xn－sxn-1=t（xn-1－sxn-2），则xn=（s+t）xn-1－stxn-2 . 由xn=pxn-1－qxn-2得s+t=p，
st=q.（*）消去t得s2－ps+q=0，所以s是方程x2－px+q=0的根. 所以s1=α，s2=β.
①当α≠β时，此时方程组（*）的解记为s1=α，
t1=β，或s2=β，
t2=α.于是有xn－βxn-1=α·（xn-1-βxn-2），xn－αxn-1=β（xn-1－αxn-2），即｛xn-t1xn-1｝和｛xn-t2xn-1｝分别是公比为s1=α，s2=β的等比数列. 所以xn-αxn-1=（x2－αx1）βn-2=β2·βn-2=βn，xn-βxn-1=（x2－βx1）αn-2=α2·αn-2=αn.
所以（β－α）xn-1=βn－αn，xn-1=，从而得到xn=.
②当α=β时，方程x2－px+q=0有重根， 所以p2－4q=0，即（s+t）2－4st=0.
所以s=t. 不妨设s=t=α，由①可知xn－αxn-1=（x2－αx1）βn-2. 因为α=β，所以xn－αxn-1=（x2－αx1）αn-2=αn，xn=αxn-1+αn. 等式两边同除以αn得=+1，所以数列
是公差为1的等差数列. 所以=n+1，即xn=nαn+αn.
综上所述，xn=
（α≠β），
nαn+αn（α=β）.
例8 已知数列｛an｝中，a1=0，且an+2an-1=3n-1（n≥2）， 求an .
分析 因为an-1的系数不是－1，所以想办法把an-1的系数变为－1，从而转化为上例. 等价转化是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法. 通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题. 历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练学生自觉的转化意识，强化解决数学问题中的应变能力，提高学生思维能力和解题技巧.
解在an+2an-1=3n-1两边同除以（－2）n，得－=
－·－
n-1.
令bn=，则b1=0，且bn－bn-1=
－·－
n-1（n≥2），转化为例7的形式，解得bn=，所以通项公式an=.
此题也可以对等式an+2an-1=3n-1两边同除以3n，得=－·+. 令bn=，
有bn=－bn-1+，bn－=－·bn-1－
，b1－=-. 所以bn－
是首项为-，公比为－的等比数列. 通项公式bn－=-
－n-1，即an=.
点评 一般地，对于求解给定初始值a1，且an+pan-1=f（n）（常数p≠0）的递推数列通项时，可以在an+pan-1=f（n）两边同除以（－p）n得-=. 令bn=，则b1=且bn－bn-1=，叠加后bn=b1+. 所以｛an｝数列的通项公式an=（－p）n-1a1+（－p）n·. 当p=－1时采用叠加法比较简捷；当p=－1且f（n）为常数d时an=a1+（n－1）d，即是等差数列通项公式.
数列题常见的还有以下几种“变脸”形式.
1. an+2= pan+1+qan（p，q为二阶常数）.
用特征根方法求解，具体步骤为：
（1）写出特征方程x2=px+q（x2对应an+2，x对应an+1），并设其二根为x1，x2；
（2）若x1≠x2，可设an=c1x+c2x，若x1=x2，可设an=（c1+c2）x；
（3）由初始值a1，a2确定c1，c2 .
（4）由叠代法推导结果：c1=，c2=a1+，an=c2pn-1+c1=a1
+pn-1+.
2. an=pan-1+r（p，r为常数）.
解题方法如下.
（1）转化等差、等比：an+1+x=p（an+x）⇒an+1=pan+px－x⇒x=.
（2）叠代法：an=pan-1+r=p（pan-2+r）+r=…⇒an=pn-1a1+pn-2·r+…+pr+r.
（3）用特征方程求解，an+1=pan+r
an=pan-1+r相减⇒an+1.
高考中数列试题常以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 要么给出新定义、新运算进行问题研究；要么在常规问题上给出新情景、新的陈述方式. 试题设计精巧，独具匠心，在新情景下设问，在能力上给予考生展示才华的广阔空间，有力地考查学生的创新思维能力. 高考试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用. 它着眼于知识点新颖、巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难. 试题还着眼于对数学思想方法、数学能力的考查. 高考试题的这种积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系. 只有加强数学思想方法的教学，优化学生的思维，全面提高数学能力，才能提高学生的解题水平和应试能力.
摘要：数列既是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础. 高考对数列的考查比较全面，对等差数列、等比数列的考查每年都会涉及. 有关数列的试题多以综合题为主，经常把数列知识和指数函数、对数函数及不等式的知识综合起来，也常把等差数列、等比数列与极限和数学归纳法综合在一起.
关键词：等差数列；变式
从近几年看，数列在综合考查等差、等比数列性质及计算的同时，还加大了对递推数列的考查力度. 试题往往从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严密的逻辑推理，找出数列的通项公式.并且常常将数列与其他知识（函数、不等式、解析几何）结合起来，考查学生综合应用知识的能力. 而数列的通项公式又是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究性质等，而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等. 因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点. 等差数列的定义为an－an-1=d（n≥2），d是常数，如果再已知首项a1，就可以求出它的通项an=a1+（n－1）d. 这时不禁会想，当d不是常数时它的通项会怎样？我们可以对等差数列的定义作一“变脸”，如变为an－an-1=f（n），f（n）不是常数，而是关于n的一个变量，或改变an与an-1前的系数等.
变式1an+pan-1=d型（p，d都是常数，且p≠－1，p≠0）
例１（2007全国Ⅰ）已知数列｛an｝中a1=2，an+1=（－1）（an+2），n=1，2，3，…
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）若数列｛bn｝中b1=2，bn+1=，n=1，2，3，…，证明：
解（Ⅰ）设an+1+t=（－1）（an+t），化简得an+1=（－1）an+（－2）t.
比较原式得（－2）t=2（－1），t=－， 即an+1－=（－1）·（an－）．
所以数列｛an－｝是首项为2－，公比为－1的等比数列，
即an－=（2－）（－1）n-1，所以an的通项公式为an=［（－1）n+1］.
（Ⅱ）解略.
例2（2004北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列｛an｝是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________________.
分析 这是新定义的数列，要求考生根据题意写出an满足的等式，进而求出数列的通项公式.
解由题意得an+an+1=5，设an+1+t=－（an+t）， 对照原式得t=－ ，
即an+1－=－an
－，所以数列an
－是首项为－，公比为－1的等比数列. 所以an－=－（－1）n-1，即an=（－1）n·+，所以a18=3.
当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=n－.
例3（2003江苏）设a>0，如图1，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0
图1
（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）当a=1，a1≤时，证明：（ak－ak+1）ak+2<；
（Ⅲ）当a=1时，证明：（ak－ak+1）ak+2<.
分析 通过点Qn与Pn+1的纵坐标关系、Pn+1与Qn+1的横坐标关系，建立an+1与an之间的关系.
解（Ⅰ）因为Qn（an，a），Pn+1
，a
，Qn+1
，
，
所以an+1=，两边取常用对数后，lgan+1=lg+2lgan. 设参数后得lgan+1+lg=2lgan+lg
，所以lgan+lg
是以lg为首项，2为公比的等比数列.
所以lgan+lg=lg·2n-1，所以an=a·
.
（Ⅱ）（Ⅲ）解略.
点评 对于an+pan-1=d（p，d都是常数，且p≠－1，p≠0）形式的递推数列，可以通过待定系数法将原递推数列转化为=－p的等比数列｛bn｝，其中bn=an-. 待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出等式或方程. 使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决. 要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.
变式2an+pan-1=f（n）型（p是常数，且p≠－1，p≠0）
例4（2007天津）在数列｛an｝中，a1=2，an+1=4an－3n+1，n∈N+．
（Ⅰ）证明：数列｛an-n｝是等比数列；
（Ⅱ）求数列｛an｝的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明：不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N+皆成立.
分析 当d不是常数时，可以通过其他方式求解，把条件变形为结构式相同的项.
解（Ⅰ）由题设an+1=4an－3n+1，变形得an+1－（n+1）=4（an－n），n∈N+．
又a1－1=1，所以数列｛an-n｝是首项为1，公比为4的等比数列.
（Ⅱ）（Ⅲ）解略.
例5（2003辽宁）设a0为常数，且an=3n-1－2an-1（n∈N+）
（Ⅰ）证明：对任意n≥1，an=［3n+（－1）n-1·2n］+（－1）n·2n·a0；
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an-1，求a0的取值范围.
分析 当变形较难时可考虑设参，但设参的方式有所不同.
解（Ⅰ）设an－t·3n=－2（an-1－t·3n-1），用an=3n-1－2an-1代入，可解出t=.
所以an
-是公比为－2，首项为a1－的等比数列.
所以an-=1－2a0
－·（－2）n-1（n∈N+），即an=+（－1）n2n·a0 .
（Ⅱ）解略.
例6（2007天津）在数列｛an｝中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2－λ）2n（n∈N+），其中λ>0．
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列｛an｝的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明：存在k∈N+，使得≤对任意n∈N+均成立.
分析 题目中有两个参数n和λ，考生容易把λ也作为变量，且形式上试题较复杂，客观上增加了试题的难度.
解（Ⅰ）由an+1=λan+λn+1+（2－λ）2n（n∈N+），λ>0，两边同除以λn+1，
得=++1（n∈N+），变形为－
n+1=－
n+1.
所以
－
n为等差数列，其公差为1，首项为0，故－
n=n－1，故数列｛an｝的通项公式为an=（n－1）λn+2n．
（Ⅱ）（Ⅲ）解略.
点评 对an+pan-1=f（n）型（p都是常数，且p≠－1，p≠0）的数列可通过变形、设参数或两边同除某个数的方法来解答. 解题时可以通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，进而解决问题. 参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到了中学数学的各个分支.
例7 （2008广东）设p，q为实数，α，β是方程x2－px+q=0的两个实根，数列｛xn｝满足x1=p，x2=p2－q，xn=pxn-1－qxn-2（n=3，4，…）.
（Ⅰ）证明：α+β=p，αβ=q；
（Ⅱ）求数列｛xn｝的通项公式.
解（Ⅰ）略.
（Ⅱ）设xn－sxn-1=t（xn-1－sxn-2），则xn=（s+t）xn-1－stxn-2 . 由xn=pxn-1－qxn-2得s+t=p，
st=q.（*）消去t得s2－ps+q=0，所以s是方程x2－px+q=0的根. 所以s1=α，s2=β.
①当α≠β时，此时方程组（*）的解记为s1=α，
t1=β，或s2=β，
t2=α.于是有xn－βxn-1=α·（xn-1-βxn-2），xn－αxn-1=β（xn-1－αxn-2），即｛xn-t1xn-1｝和｛xn-t2xn-1｝分别是公比为s1=α，s2=β的等比数列. 所以xn-αxn-1=（x2－αx1）βn-2=β2·βn-2=βn，xn-βxn-1=（x2－βx1）αn-2=α2·αn-2=αn.
所以（β－α）xn-1=βn－αn，xn-1=，从而得到xn=.
②当α=β时，方程x2－px+q=0有重根， 所以p2－4q=0，即（s+t）2－4st=0.
所以s=t. 不妨设s=t=α，由①可知xn－αxn-1=（x2－αx1）βn-2. 因为α=β，所以xn－αxn-1=（x2－αx1）αn-2=αn，xn=αxn-1+αn. 等式两边同除以αn得=+1，所以数列
是公差为1的等差数列. 所以=n+1，即xn=nαn+αn.
综上所述，xn=
（α≠β），
nαn+αn（α=β）.
例8 已知数列｛an｝中，a1=0，且an+2an-1=3n-1（n≥2）， 求an .
分析 因为an-1的系数不是－1，所以想办法把an-1的系数变为－1，从而转化为上例. 等价转化是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法. 通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单化的问题. 历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练学生自觉的转化意识，强化解决数学问题中的应变能力，提高学生思维能力和解题技巧.
解在an+2an-1=3n-1两边同除以（－2）n，得－=
－·－
n-1.
令bn=，则b1=0，且bn－bn-1=
－·－
n-1（n≥2），转化为例7的形式，解得bn=，所以通项公式an=.
此题也可以对等式an+2an-1=3n-1两边同除以3n，得=－·+. 令bn=，
有bn=－bn-1+，bn－=－·bn-1－
，b1－=-. 所以bn－
是首项为-，公比为－的等比数列. 通项公式bn－=-
－n-1，即an=.
点评 一般地，对于求解给定初始值a1，且an+pan-1=f（n）（常数p≠0）的递推数列通项时，可以在an+pan-1=f（n）两边同除以（－p）n得-=. 令bn=，则b1=且bn－bn-1=，叠加后bn=b1+. 所以｛an｝数列的通项公式an=（－p）n-1a1+（－p）n·. 当p=－1时采用叠加法比较简捷；当p=－1且f（n）为常数d时an=a1+（n－1）d，即是等差数列通项公式.
数列题常见的还有以下几种“变脸”形式.
1. an+2= pan+1+qan（p，q为二阶常数）.
用特征根方法求解，具体步骤为：
（1）写出特征方程x2=px+q（x2对应an+2，x对应an+1），并设其二根为x1，x2；
（2）若x1≠x2，可设an=c1x+c2x，若x1=x2，可设an=（c1+c2）x；
（3）由初始值a1，a2确定c1，c2 .
（4）由叠代法推导结果：c1=，c2=a1+，an=c2pn-1+c1=a1
+pn-1+.
2. an=pan-1+r（p，r为常数）.
解题方法如下.
（1）转化等差、等比：an+1+x=p（an+x）⇒an+1=pan+px－x⇒x=.
（2）叠代法：an=pan-1+r=p（pan-2+r）+r=…⇒an=pn-1a1+pn-2·r+…+pr+r.
（3）用特征方程求解，an+1=pan+r
an=pan-1+r相减⇒an+1.
高考中数列试题常以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 要么给出新定义、新运算进行问题研究；要么在常规问题上给出新情景、新的陈述方式. 试题设计精巧，独具匠心，在新情景下设问，在能力上给予考生展示才华的广阔空间，有力地考查学生的创新思维能力. 高考试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用. 它着眼于知识点新颖、巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难. 试题还着眼于对数学思想方法、数学能力的考查. 高考试题的这种积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系. 只有加强数学思想方法的教学，优化学生的思维，全面提高数学能力，才能提高学生的解题水平和应试能力.