论文部分内容阅读
“兴趣是最好的老师。”只有学生对学习的内容感兴趣，才会产生强烈的求知欲望，自动地调动全部感官，积极主动地参与教与学的全过程。为此，教师在教学中要善于创设教学情境，且情景设计要新颖，要能吸引学生的注意力。根据学生的生活经验，创设学生感到亲切的情境。因此，在知识严谨数学的教学中，如何培养和激发学生的学习兴趣并将其渗透到每个教学环节，贯穿于数学教学的全过程是必要的，也是值得探讨的问题。下面就兴趣的激发和保持来谈谈我在教学中的体会。
课题：
三角形中位线定理的探索
案例来源：
北师大数学八年级下册 第六章 平行四边形 第3节 《三角形的中位线》
案例设计思想：
一个定理固然重要，但这个定理之所以产生，它们的发现、归纳或证明过程表现出来的思路和方法则更加重要，这种思路和方法对学生思维品质的培养以及对学生个性品质的培养比对定理本身的掌握意义更为重大，影响更为深远，所以更具有教育价值。由于课堂是教学的主阵地，因此应该思索数学课应该怎么上，什么是一节有价值的数学课。一节有价值的数学课给予学生的影响应该是多元的和立体的。有丰厚的知识、纯熟的技能，更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。事实上，数学的确拥有这一切，而且也可能传递这一切。
本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
案例的详细内容及教学反思：
三角形的中位线
一、教学任务分析
本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
【教学目标】
（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力。
【教学重点】
三角形中位线定理。
【教学难点】
证明三角形中位线性质定理时辅助线的做法和三角形中位线性质的灵活应用。
二、教学过程分析
（一）创设情景，导入课题
教师提出如下问题：你能否不过河就测出河宽？不上山测出山高？不接近敌人阵地而测出敌我之间的距离？
学生答：构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质测量。
师追问：除了这个方法以外还有没有其他方法呢？
從而让学生产生悬念，急于要了解问题的结果。使学生一开始就对新问题的学习产生浓厚的兴趣。这个问题还可以用我们今天的知识来解决。
1.课前让大家准备了一个任意三角形。
怎样将这张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
学生一般都会从中位线处剪切，把原三角形剪切成一个三角形和一个梯形。然后把三角形旋转180°与原来的梯形拼成一个平行四边形。
说明：本过程学生基本都会通过思考解决的，但教师要注重学生表达自己思路形成的过程，同时要求学生说明这样做的道理。这个过程既可以为中位线性质的证明做好思维准备，又可以让学生形象地接受中位线的定义，而不显得唐突。
示范操作：
（1）剪一个三角形，记为△ABC。
（2）分别取AB，AC中点D，E，连接DE。
（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°，得到四边形BCFD。
2.思考：四边形DBCF是平行四边形吗？
3.探索新结论：若四边形DBCF是平行四边形，那么三角形两边中点的连线DE与第三边BC有什么位置和数量关系呢？
意图：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：[DE∥BC，DE=12BC]。
由此引出课题。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
（二）教师讲授，传授新知
内容：引入三角形中位线的定义和性质
定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别。
（三）探究证明，展示智慧
师生共析，探索三角形中位线定理
说明：根据学生的实际情况采用以下四个探究活动。活动根据情况在课前或者课中进行，课上由每个小组展示自己的探索结果。
【探究活动一】度量
此法课堂上再用几何画板演示一遍，直观形象。
画图：画△ABC及△ABC的中位线DE。
度量：用量角器测角度，∠AEF=，∠B=；用直尺测长度EF=____，BC=____。
结论：DE与BC的位置关系，EF____BC；
DE与BC的数量关系，EF____BC。
猜想：三角形的中位线与第三边的关系。
目的：通过学生前期的猜测，测量，初步感知三角形中位线的定理和性质。 【探究活动二】
先对折得到AB的中点D，AC的中点E。过点D作DF⊥BC，把△BDF绕点D顺时针旋转180°，到△ADH；同样过点E作EG⊥BC，把△CGE绕点E逆时针旋转180°，到△AEM，形成矩形HFGM。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
【探究活动三】
先对折得到AB的中点D，AC的中点E。过点D作DF∥AC，把△BDF绕点D顺时针旋转180°到△ADG，形成平行四边形AGFC。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
【探究活动四】
先对折得到AB的中点D，AC的中点E。把△ADE绕点E顺时针旋转180°到△CFE，形成平行四边形DBCF。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
活动小结：各个小组结论一致：三角形的中位线与第三边的关系都是平行且等于第三边的一半。
学生已经从直观上接受了三角形中位线定理，接下來要进行理论上的证明。这一环节也恰恰体现了思维由感性到理性的过度。
三角形中位线定理的证明（证法：倍长中位线法）
已知：如图（1），DE是△ABC的中位线。
求证：[DE∥BC，DE=12BC]。
分析：
师：如何证明这个定理呢？刚才的操作过程有没有给你一点提示？
生：对哦，可以构造刚才的平行四边形来证明。学生立马对定理的证明产生了很大的兴趣。
证明思路：延长DE到F，使得DE=EF，连接CF。证△ADE≌△CFE，由对应边和对应角可得CF∥AB，BD=CF，从而得到四边形DBCF是平行四边形。由平行四边的性质可得[DE∥BC，DE=12BC]。
小结：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
目的：通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明，由感性到理性，使学生经历定理的探究过程，积累数学活动的经验。中位线定理的证法有30种之多，此处只给出经典的证法，不过多展示。
巩固练习：
1.A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？
意图：解决刚开始提出的问题，数学的知识运用到实际生活中，学生也感受到数学的魅力。
（四）灵活运用，深化认识
师：拿出刚才剪过的图形，问：我们还能否画出三角形的其他中位线？
生：能。
示范操作：
（1）取BC的中点G，连接DG，GE。
（2）沿DG，GE把△ABC剩下的部分剪成三部分，并把四个小三角形叠放一起比较。
此时，学生发现四个小三角形完全重合。
师：我们得到的这四个小三角形是怎样的关系？
生：全等。
师：证明过程建议有兴趣的同学课后去做。
巩固练习：
2.任意画一个四边形，顺次连结这个四边形各边的中点，所得的新四边形有什么特点？
学生很惊讶的发现：所有的新四边形EFGH都是平行四边形，又引起了很大的兴趣。师：趁热打铁，接下来我们来验证自己的发现。
已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图。求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：
已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系。而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形。
三、反思设计，体会精髓
本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线，开展教学活动。在三角形中位线定理探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量猜想出三角形中位线的性质，然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明。通过知识的形成过程，使学生体会探究数学问题的基本方法。通过定理的探究与证明，明确这个定理产生、发展、形成、完善的脉络与方法，努力培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生数学的思维品质。
同时，问题是创造性思维的起点，是兴趣的激发点。好的问题情境，可以调动学生主动积极的探究。本课采用问题驱动，从概念的产生，到概念的辨析、再到定理的发现及证明，设计了一个个问题，层层递进，激活了学生的思维，促使学生不断的深入思考，保持了学生的兴趣。
学生学习数学兴趣的培养与激发，还有赖于数学教师的精心培养和细心呵护，只要我们每堂数学课都能精心创设一些引人入胜的教学情景，挖掘出一些数学趣味因素，就能使数学课堂高潮迭起，妙趣横生。我们也能从根本上改善数学学科的繁难、枯燥乏味的负面特点，使学生在学习数学的过程中能感受到其乐融融，从而达到“有趣的数学”，“快乐的学”的最佳境界。
课题：
三角形中位线定理的探索
案例来源：
北师大数学八年级下册 第六章 平行四边形 第3节 《三角形的中位线》
案例设计思想：
一个定理固然重要，但这个定理之所以产生，它们的发现、归纳或证明过程表现出来的思路和方法则更加重要，这种思路和方法对学生思维品质的培养以及对学生个性品质的培养比对定理本身的掌握意义更为重大，影响更为深远，所以更具有教育价值。由于课堂是教学的主阵地，因此应该思索数学课应该怎么上，什么是一节有价值的数学课。一节有价值的数学课给予学生的影响应该是多元的和立体的。有丰厚的知识、纯熟的技能，更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。事实上，数学的确拥有这一切，而且也可能传递这一切。
本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
案例的详细内容及教学反思：
三角形的中位线
一、教学任务分析
本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
【教学目标】
（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力。
【教学重点】
三角形中位线定理。
【教学难点】
证明三角形中位线性质定理时辅助线的做法和三角形中位线性质的灵活应用。
二、教学过程分析
（一）创设情景，导入课题
教师提出如下问题：你能否不过河就测出河宽？不上山测出山高？不接近敌人阵地而测出敌我之间的距离？
学生答：构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质测量。
师追问：除了这个方法以外还有没有其他方法呢？
從而让学生产生悬念，急于要了解问题的结果。使学生一开始就对新问题的学习产生浓厚的兴趣。这个问题还可以用我们今天的知识来解决。
1.课前让大家准备了一个任意三角形。
怎样将这张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
学生一般都会从中位线处剪切，把原三角形剪切成一个三角形和一个梯形。然后把三角形旋转180°与原来的梯形拼成一个平行四边形。
说明：本过程学生基本都会通过思考解决的，但教师要注重学生表达自己思路形成的过程，同时要求学生说明这样做的道理。这个过程既可以为中位线性质的证明做好思维准备，又可以让学生形象地接受中位线的定义，而不显得唐突。
示范操作：
（1）剪一个三角形，记为△ABC。
（2）分别取AB，AC中点D，E，连接DE。
（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°，得到四边形BCFD。
2.思考：四边形DBCF是平行四边形吗？
3.探索新结论：若四边形DBCF是平行四边形，那么三角形两边中点的连线DE与第三边BC有什么位置和数量关系呢？
意图：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：[DE∥BC，DE=12BC]。
由此引出课题。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
（二）教师讲授，传授新知
内容：引入三角形中位线的定义和性质
定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别。
（三）探究证明，展示智慧
师生共析，探索三角形中位线定理
说明：根据学生的实际情况采用以下四个探究活动。活动根据情况在课前或者课中进行，课上由每个小组展示自己的探索结果。
【探究活动一】度量
此法课堂上再用几何画板演示一遍，直观形象。
画图：画△ABC及△ABC的中位线DE。
度量：用量角器测角度，∠AEF=，∠B=；用直尺测长度EF=____，BC=____。
结论：DE与BC的位置关系，EF____BC；
DE与BC的数量关系，EF____BC。
猜想：三角形的中位线与第三边的关系。
目的：通过学生前期的猜测，测量，初步感知三角形中位线的定理和性质。 【探究活动二】
先对折得到AB的中点D，AC的中点E。过点D作DF⊥BC，把△BDF绕点D顺时针旋转180°，到△ADH；同样过点E作EG⊥BC，把△CGE绕点E逆时针旋转180°，到△AEM，形成矩形HFGM。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
【探究活动三】
先对折得到AB的中点D，AC的中点E。过点D作DF∥AC，把△BDF绕点D顺时针旋转180°到△ADG，形成平行四边形AGFC。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
【探究活动四】
先对折得到AB的中点D，AC的中点E。把△ADE绕点E顺时针旋转180°到△CFE，形成平行四边形DBCF。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
活动小结：各个小组结论一致：三角形的中位线与第三边的关系都是平行且等于第三边的一半。
学生已经从直观上接受了三角形中位线定理，接下來要进行理论上的证明。这一环节也恰恰体现了思维由感性到理性的过度。
三角形中位线定理的证明（证法：倍长中位线法）
已知：如图（1），DE是△ABC的中位线。
求证：[DE∥BC，DE=12BC]。
分析：
师：如何证明这个定理呢？刚才的操作过程有没有给你一点提示？
生：对哦，可以构造刚才的平行四边形来证明。学生立马对定理的证明产生了很大的兴趣。
证明思路：延长DE到F，使得DE=EF，连接CF。证△ADE≌△CFE，由对应边和对应角可得CF∥AB，BD=CF，从而得到四边形DBCF是平行四边形。由平行四边的性质可得[DE∥BC，DE=12BC]。
小结：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
目的：通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明，由感性到理性，使学生经历定理的探究过程，积累数学活动的经验。中位线定理的证法有30种之多，此处只给出经典的证法，不过多展示。
巩固练习：
1.A、B两点被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？
意图：解决刚开始提出的问题，数学的知识运用到实际生活中，学生也感受到数学的魅力。
（四）灵活运用，深化认识
师：拿出刚才剪过的图形，问：我们还能否画出三角形的其他中位线？
生：能。
示范操作：
（1）取BC的中点G，连接DG，GE。
（2）沿DG，GE把△ABC剩下的部分剪成三部分，并把四个小三角形叠放一起比较。
此时，学生发现四个小三角形完全重合。
师：我们得到的这四个小三角形是怎样的关系？
生：全等。
师：证明过程建议有兴趣的同学课后去做。
巩固练习：
2.任意画一个四边形，顺次连结这个四边形各边的中点，所得的新四边形有什么特点？
学生很惊讶的发现：所有的新四边形EFGH都是平行四边形，又引起了很大的兴趣。师：趁热打铁，接下来我们来验证自己的发现。
已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图。求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：
已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系。而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形。
三、反思设计，体会精髓
本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线，开展教学活动。在三角形中位线定理探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量猜想出三角形中位线的性质，然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明。通过知识的形成过程，使学生体会探究数学问题的基本方法。通过定理的探究与证明，明确这个定理产生、发展、形成、完善的脉络与方法，努力培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生数学的思维品质。
同时，问题是创造性思维的起点，是兴趣的激发点。好的问题情境，可以调动学生主动积极的探究。本课采用问题驱动，从概念的产生，到概念的辨析、再到定理的发现及证明，设计了一个个问题，层层递进，激活了学生的思维，促使学生不断的深入思考，保持了学生的兴趣。
学生学习数学兴趣的培养与激发，还有赖于数学教师的精心培养和细心呵护，只要我们每堂数学课都能精心创设一些引人入胜的教学情景，挖掘出一些数学趣味因素，就能使数学课堂高潮迭起，妙趣横生。我们也能从根本上改善数学学科的繁难、枯燥乏味的负面特点，使学生在学习数学的过程中能感受到其乐融融，从而达到“有趣的数学”，“快乐的学”的最佳境界。