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概率论是一门研究现实世界中随机现象的规律性的数学分支。本世纪以来,由于社会、生产和科学技术的飞速发展,概率论以及以它为基础的数理统计应用日益广泛,已渗透到整个社会生活的方方面面。本文中涉及了生活中几种典型的概率问题,并对其进行了分析、解决。
一、赌徒分钱币问题
情境1:甲、乙两名赌徒相约赌钱,约定每人拿出6枚金币,谁先获胜3次,谁得到所有金币。赌博进行3次,甲获胜2次,乙获胜1次。此时,由于特殊原因,赌博中断。在钱币的分配问题上,两人出现分歧。甲认为自己获胜次数多,应得到所有的12枚金币;而乙认为按每人获胜次数分配才公平,甲获胜2次,应得金币的三分之二,即8枚,乙获胜1次,应得金币的三分之一,即4枚。
问题:请您分析一下,如何分配对两个人都公平?
解析:赌博的胜负对两个人来说是机会均等的,这符合概率中的等可能事件类型。我们可以这样加以解决:
方案1:假设两人再赌1次,则情况有两种:甲获胜或乙获胜。如果甲获胜,则甲就先获胜了3次,即甲得到所有12枚金币;如果乙获胜,则两人均获胜2次,应平分金币,即每人6枚。但两种情况出现的可能性是相等的,方案2:假设两人再赌2次,则情况有4种:(甲全胜)、(甲胜,乙胜)、(乙胜,甲胜)、(乙全胜),它们出现的可能性是相等的。很明显,前三种情况下甲都先获胜3次,而乙只有在第四种情况下才能获胜3次。因此,甲应得金币的四分之三,乙得四分之一,即甲得9枚,乙得3枚。
二、抽签问题
情境2:在生活中,我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。例如在5张彩票中有1张奖票,5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到奖票。
问题:先抽还是后抽,对各人来说公平吗?即各人抽到奖票的概率相等吗?
解析:此时,有两种不同的情况:
情况1:后抽人不知道先抽人抽出的结果
票中先后抽出2张,可以看成从5个元素中抽出2个进行排列,排列种数是A25,而其中第2人抽到奖票的情况有总结:一般地,如果在n张彩票中有1张奖票,n个人依次从中各抽1张,且后抽人不知道先抽人抽出的结果,那么第i人抽到奖票的概率为
对各人来说都是公平的。
情况2:后抽人知道先抽人抽出的结果
为0或1。显然这种情况先抽还是后抽,对各人来说是不公平的。
三、街头摸奖问题
情境3:一位赌主在街头设摊摸奖,其手中有一布袋,内装有6个黑球与6个白球,除颜色不同外,球的形状、大小、质量等都相同,每次让顾客在袋中摸出6个球,规则如下:
6个黑球——得10元
5个黑球,1个白球——得5元
4个黑球,2个白球——得2元
3个黑球,3个白球——得-10元
2个黑球,4个白球——得2元
1个黑球,5个白球——得5元
6个白球——得10元
即如果顾客摸出3个黑球,3个白球,根据规则输给赌主10元,其他情况下可分文不花按规则得不同的奖金。假设顾客共计摸了1000次。
问题:试分析赌主是否会输钱?
解析:其中,基本事件总数为C612=924,摸到k个黑球,6-k个白球的基本事件数为Ck6·C6-k6(k=0,1,2,…,6),其概率分布如下:
表中7种情况的概率和为1,顾客连续摸1000次,将大约433次会输10元,2次赢10元,78次赢5元,486次赢2元,即顾客共计会输4330元,赢2×10+78×5+486×2=1382元。显然,赌主是不会干赔本买卖的,输钱的是顾客。
四、标记放回问题
情境4:生物学者在工作中,常常需要了解某种生物在一个区域的种群数量,他们通常选用标记放回的方法。例如,养殖场主需要知道自己鱼池内鱼群的大致数量,请您帮助解决。
解析:因为鱼群在池中的分布大致是均匀的,所以这是典型的标记放回问题,我们可以这样解决:
先从池中捕捞N条鱼,做好标记后,再放回池中。经过一段时间,带标记的鱼在池中分布大致均匀后,再捕捞M结果的平均数,会更接近实际数目。
五、约会问题
情境5:甲、乙两人相约7点到8点之间在某地见面,双方约定先到者只需等候对方15分钟,如果对方不到或超过8点,即可离开。
问题:双方可以见面的概率?
解析:由条件可知,双方到达的时间必须在7点至8点之间的一小时内,并且双方到达的时间之差小于等于1刻钟,才可以见面。
我们不妨设甲到达的时间为x,乙到达的时间为y,则x,y应满足0≤x≤4,0≤y≤4,|x-y|≤1, (其中1代表15分钟)
由|x-y|≤1得x-y-1≤0或x-y+1≥0,
利用线形规划知识,如图:
当x,y位于图中阴影部分时,甲、乙二人可以见面,其概率可用图形面积之比求得。故双方可以见面的概率为P=六、独立重复问题
情境6:若干门同一种大炮同时对某一目标射击一次。已知每门大炮射击一次击中目标的概率为0.3,那么要用多少门这样的大炮同时射击一次,才能使目标被击中的概率超过95%?
解析:设要用n门大炮。因为每门大炮射击一次击中目标的概率为0.3,那么每门大炮击不中目标的概率为0.7。则n门大炮击都不中目标的概率为0.7n,因此至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n。
根据题意,应有1-0.7n>0.95,即0.7n<0.05,
计算可得n>8.4,
因此,至少要9门这样的大炮同时射击一次,才能使目标被击中的概率超过95%。
情境7:假设飞机的每台发动机在飞行中的故障率都是1-P,且各发动机互不影响。如果要求至少50%的发动机能正常运行,飞机就可以顺利的飞行。
问题:对于多大的P而言,四发动机飞机比二发動机飞机更安全?
解析:四发动机飞机成功飞行的概率为
C24·P2·(1-P)2+C34·P3·(1-P)+C44·P4
=6P2·(1-P)2+4P3(1-P)+P4
二发动机飞机成功飞行的概率为
C12·P·(1-P)+C22·P2
=2P(1-P)+P2
要使四发动机飞机比二发动机飞机更安全,只要
6P2·(1-P)2+4P3(1-P)+P4>2P(1-P)+P2即可。
化简整理,得3P3-8P2+7P-2>0,
该不等式可变形为:(1-P)2·(3P-2)>0,
通过上面几个实例,我们可以发现概率问题源于生活,又应用于生活,指导人们正确地处理生活中的随机事件。如何将它的作用充分发挥,是我们值得深入思考、研究的。
一、赌徒分钱币问题
情境1:甲、乙两名赌徒相约赌钱,约定每人拿出6枚金币,谁先获胜3次,谁得到所有金币。赌博进行3次,甲获胜2次,乙获胜1次。此时,由于特殊原因,赌博中断。在钱币的分配问题上,两人出现分歧。甲认为自己获胜次数多,应得到所有的12枚金币;而乙认为按每人获胜次数分配才公平,甲获胜2次,应得金币的三分之二,即8枚,乙获胜1次,应得金币的三分之一,即4枚。
问题:请您分析一下,如何分配对两个人都公平?
解析:赌博的胜负对两个人来说是机会均等的,这符合概率中的等可能事件类型。我们可以这样加以解决:
方案1:假设两人再赌1次,则情况有两种:甲获胜或乙获胜。如果甲获胜,则甲就先获胜了3次,即甲得到所有12枚金币;如果乙获胜,则两人均获胜2次,应平分金币,即每人6枚。但两种情况出现的可能性是相等的,方案2:假设两人再赌2次,则情况有4种:(甲全胜)、(甲胜,乙胜)、(乙胜,甲胜)、(乙全胜),它们出现的可能性是相等的。很明显,前三种情况下甲都先获胜3次,而乙只有在第四种情况下才能获胜3次。因此,甲应得金币的四分之三,乙得四分之一,即甲得9枚,乙得3枚。
二、抽签问题
情境2:在生活中,我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。例如在5张彩票中有1张奖票,5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到奖票。
问题:先抽还是后抽,对各人来说公平吗?即各人抽到奖票的概率相等吗?
解析:此时,有两种不同的情况:
情况1:后抽人不知道先抽人抽出的结果
票中先后抽出2张,可以看成从5个元素中抽出2个进行排列,排列种数是A25,而其中第2人抽到奖票的情况有总结:一般地,如果在n张彩票中有1张奖票,n个人依次从中各抽1张,且后抽人不知道先抽人抽出的结果,那么第i人抽到奖票的概率为
对各人来说都是公平的。
情况2:后抽人知道先抽人抽出的结果
为0或1。显然这种情况先抽还是后抽,对各人来说是不公平的。
三、街头摸奖问题
情境3:一位赌主在街头设摊摸奖,其手中有一布袋,内装有6个黑球与6个白球,除颜色不同外,球的形状、大小、质量等都相同,每次让顾客在袋中摸出6个球,规则如下:
6个黑球——得10元
5个黑球,1个白球——得5元
4个黑球,2个白球——得2元
3个黑球,3个白球——得-10元
2个黑球,4个白球——得2元
1个黑球,5个白球——得5元
6个白球——得10元
即如果顾客摸出3个黑球,3个白球,根据规则输给赌主10元,其他情况下可分文不花按规则得不同的奖金。假设顾客共计摸了1000次。
问题:试分析赌主是否会输钱?
解析:其中,基本事件总数为C612=924,摸到k个黑球,6-k个白球的基本事件数为Ck6·C6-k6(k=0,1,2,…,6),其概率分布如下:
表中7种情况的概率和为1,顾客连续摸1000次,将大约433次会输10元,2次赢10元,78次赢5元,486次赢2元,即顾客共计会输4330元,赢2×10+78×5+486×2=1382元。显然,赌主是不会干赔本买卖的,输钱的是顾客。
四、标记放回问题
情境4:生物学者在工作中,常常需要了解某种生物在一个区域的种群数量,他们通常选用标记放回的方法。例如,养殖场主需要知道自己鱼池内鱼群的大致数量,请您帮助解决。
解析:因为鱼群在池中的分布大致是均匀的,所以这是典型的标记放回问题,我们可以这样解决:
先从池中捕捞N条鱼,做好标记后,再放回池中。经过一段时间,带标记的鱼在池中分布大致均匀后,再捕捞M结果的平均数,会更接近实际数目。
五、约会问题
情境5:甲、乙两人相约7点到8点之间在某地见面,双方约定先到者只需等候对方15分钟,如果对方不到或超过8点,即可离开。
问题:双方可以见面的概率?
解析:由条件可知,双方到达的时间必须在7点至8点之间的一小时内,并且双方到达的时间之差小于等于1刻钟,才可以见面。
我们不妨设甲到达的时间为x,乙到达的时间为y,则x,y应满足0≤x≤4,0≤y≤4,|x-y|≤1, (其中1代表15分钟)
由|x-y|≤1得x-y-1≤0或x-y+1≥0,
利用线形规划知识,如图:
当x,y位于图中阴影部分时,甲、乙二人可以见面,其概率可用图形面积之比求得。故双方可以见面的概率为P=六、独立重复问题
情境6:若干门同一种大炮同时对某一目标射击一次。已知每门大炮射击一次击中目标的概率为0.3,那么要用多少门这样的大炮同时射击一次,才能使目标被击中的概率超过95%?
解析:设要用n门大炮。因为每门大炮射击一次击中目标的概率为0.3,那么每门大炮击不中目标的概率为0.7。则n门大炮击都不中目标的概率为0.7n,因此至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n。
根据题意,应有1-0.7n>0.95,即0.7n<0.05,
计算可得n>8.4,
因此,至少要9门这样的大炮同时射击一次,才能使目标被击中的概率超过95%。
情境7:假设飞机的每台发动机在飞行中的故障率都是1-P,且各发动机互不影响。如果要求至少50%的发动机能正常运行,飞机就可以顺利的飞行。
问题:对于多大的P而言,四发动机飞机比二发動机飞机更安全?
解析:四发动机飞机成功飞行的概率为
C24·P2·(1-P)2+C34·P3·(1-P)+C44·P4
=6P2·(1-P)2+4P3(1-P)+P4
二发动机飞机成功飞行的概率为
C12·P·(1-P)+C22·P2
=2P(1-P)+P2
要使四发动机飞机比二发动机飞机更安全,只要
6P2·(1-P)2+4P3(1-P)+P4>2P(1-P)+P2即可。
化简整理,得3P3-8P2+7P-2>0,
该不等式可变形为:(1-P)2·(3P-2)>0,
通过上面几个实例,我们可以发现概率问题源于生活,又应用于生活,指导人们正确地处理生活中的随机事件。如何将它的作用充分发挥,是我们值得深入思考、研究的。