摘 要 本文探讨了数运算，集合运算，向量运算，矩阵运算和变换运算的特殊元和运算律。
　　关键词 运算；运算律
　　一、初等数学中的运算
　　运算是中学数学中的一条主线，其中有
　　数运算：+：R R R，?-：R R R， ：R R R， ：R R，指数运算，幂运算，对数运算；
　　集合运算：交集（ ），并集（ ），补集（ ），差集（-）；
　　向量运算：+：V V V，-：V V V，数乘：R V V，数量积：V V R，向量积：V V V；
　　矩阵运算：+：A A A，-：A A A， ：A A A，数乘：R A A；
　　变换运算： ：A A A。
　　说明：这里的R，V，A，I均指集合.
　　二、初等数学中的特殊元及运算律
　　1.单位元：（1）左单位元： e A， a A， e a=a，
　　（2）右单位元： e A， a A，a e=a；
　　2.逆元： （1）左逆元： a A， b A，b a=e，
　　（2）右逆元： a A， b A，a b=e；
　　3.吸收元：（1）左吸收元： w A， a A，w a=w，
　　（2）右吸收元： w A， a A，a w=w；
　　4.结合律： a，b，c A，a （b c）=（a b） c；
　　5.交换律： a，b A，a b=b a；
　　6.分配律：（有左右之分） a，b，c A，a （b+c）=（a b）+（a c）；
　　7.幂等律： a A，a a=a；
　　8.消取律： a，b，c A，若a b=a c，且a 0，则b=c.
　　三、运算律的验证
　　1.数运算的运算律
　　本处只考虑实数范围内的数运算及其运算律.
　　（1）加法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：0+a=a+0=a，单位元为0；
　　逆元：a+（-a）=（-a）+a=0，逆元为-a；
　　吸收元：无吸收元；
　　结合律成立：（a+b）+c=a+（b+c）；
　　交换律成立：a+b=b+a；
　　消取律成立：a+b=a+c b=c.
　　（2）减法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：存在右单位元0，a-0=a，不存在左单位元：0-a a；
　　逆元： a，a-a=0，逆元为本身；
　　吸收元：无吸收元， a，不存在w使w-a=w；
　　结合律不成立：（a-b）-c a-（b-c），反例：（1-2）-3=-4 1-（2-3）=2；
　　交换律不成立：a-b=-（b-a）。反例：1-2=-1 2-1=1；
　　消取律成立：b-a=c-a b=c.
　　（3）乘法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：1 a=a 1=a ，单位元为1；
　　逆元：a 0时有逆元a =1，逆元为 ；
　　吸收元：0 a=a 0=0，吸收元为0；
　　结合律成立：（a b） c=a （b c）；
　　交换律成立：a b=b a；
　　消取律成立：a 0，a b=a c b=c.
　　（4）除法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：a 1=a，但1 a a。存在右单位元1；
　　逆元：a a=1（a 0），逆元为本身；
　　吸收元：0 a=0，存在左吸收元0；
　　结合律不成立，反例：（4 2） 2=1 4 （2 2）；
　　交换律不成立，反例：4 2 2 4；
　　消取律成立：a b=a c b=c（a，b，c均不为0）.
　　各种运算间的分配律表
　　加法 减法 乘法 除法
　　加法 ○ ○ ○ ○
　　减法 ○ ○ ○ ○
　　乘法 成立a*（b+c）=a*b+a*c 成立a*（b-c）=a*b-a*c ○ ○
　　除法 ○ ○ ○ ○
　　注：表中○代表着不成立.
　　（5）指数运算的运算律
　　指数运算是单元运算，它的运算形式是ax，其中x是指数，它具有如下性质：
　　， ， ；
　　（6）对数运算的运算律
　　对数运算是单元运算，它的运算形式是 ，其运算意义为求以a为底x的对数，它具有如下性质：
　　， ， ；
　　（7）幂运算的运算律
　　幂运算是单元运算，它的运算形式是 ，其中x为底数，它具有如下性质：
　　， .
　　2.集合运算的运算律
　　（1）交集
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：A I=I A=A，存在单位元I；
　　逆元：不存在元B，使A B=I；
　　吸收元：A = A=A，吸收元为 ；
　　结合律成立：（A B） C=A （B C）；
　　交换律成立：A B= B A；
　　幂等律成立：A A=A；
　　消取律不成立，反例：A= ，B= ，C= ，A-B=A-C，但B C.
　　（2）并集
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：A = A=A， 存在单位元 ； 　　逆元：不存在元B，使A B= ；
　　吸收元：A I=I A=I， 吸收元为I；
　　结合律成立：（A B） C=A （B C）；
　　交换律成立：A B=B A；
　　幂等律成立：A A=A；
　　消取律不成立，反例：A= ，B= ，C= ，A B= A C，但B C.
　　（3）补集
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元： =A， 存在右单位元 ；
　　逆元：存在逆元A，使 ；
　　吸收元：没有吸收元；
　　结合律不成立；
　　交换律不成立；
　　幂等律不成立；
　　消取律成立： ；
　　分配律：（ ， ），（ ，-）均成立，A （B C）=（A B） （A C），A （ B-C）=（A B）-（A C）.
　　（4）差集
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：A- =A， 存在右单位元 ；
　　右逆元：A-A= ，右逆元A；
　　吸收元： -A= ，存在左吸收元 ；
　　结合律不成立，反例：A= ，B= ，C= ，（A-B）-C= A-（B-C）= ；
　　交换律不成立，反例：A= ，B= ，A-B= B-A= ；
　　幂等律不成立：A-A A；
　　消取律不成立，例：A= ，B= ，C= ，A-B= =A-C，但B C；
　　分配律：（-， ），（-， ）不成立，反例：A= ，B= ，C= ，A-（B C）= （A-B） （A-C）= .
　　各种运算间的分配律
　　交集 并集 补集 差集
　　交集 ○ A （B C）
　　=（A B） （A C） ○ A （B-C）
　　=（A B）-（A C）
　　并集 A （B C）
　　=（A B） （A C） ○ ○ A （B-C）
　　=（A B）-（A C）
　　补集 ○ ○ ○ ○
　　差集 ○ ○ ○ ○
　　注：表中○代表着不成立.
　　3.向量运算的运算律
　　（1）加法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元： ，存在单位元 ；
　　逆元： ，存在逆元 ；
　　吸收元：无吸收元；
　　结合律成立： = ；
　　交换律成立： ；
　　消取律成立： .
　　（2）减法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元： ，存在右单位元 ；
　　逆元： ，存在逆元 ；
　　吸收元：无吸收元
　　结合律不成立： ≠ ；
　　交换律不成立： ，即两者方向相反；
　　消取律成立： .
　　（3）数乘
　　运算类型：BA=A，不满足封闭性；
　　单位元： ，存在单位元1；
　　逆元：不存在逆元（因为1是数，不是向量）；
　　吸收元： ，存在右吸收元 ， ，存在左吸收元0；
　　结合律成立： ；
　　交换律成立： ；
　　消取律成立： .
　　（4）数量积（点乘）
　　运算类型：AA=B，不满足封闭性；
　　单位元不存在（两个向量的点乘是数，不是向量）；
　　逆元不存在；
　　吸收元不存在（两个向量的点乘是数，不是向量）；
　　结合律不成立：反例： =（1，0）， ， ， ；
　　交换律成立： ；
　　消取律不成立，反例：如图设 与 的夹角
　　是β， 与 的夹角是-β， 与 的长度相同，
　　则 β，而 ≠ （方向不同）.
　　（5）向量积（差乘）
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元不存在，两个向量的向量积之后方向改变，不可能与原来的向量方向相同；
　　逆元不存在；
　　吸收元： = ，吸收元为 ；
　　结合律不成立：（ ；
　　交换律不成立： ；
　　消取律不成立：反例：如图设 与 的夹角是β， 与 的夹角是 β， 与 的长度相同，则 β，并且方向相同，而 ≠ （方向不同）.
　　各种运算间的分配律
　　加法 减法 数乘 数量积
　　（点乘） 向量积
　　（差乘）
　　加法 ○ ○ 成立
　　○ ○
　　减法 ○ ○ 成立
　　○ ○
　　数乘 成立
　　成立
　　（同左） ○ ○ ○
　　数量积
　　（点乘） 成立
　　○ ○ ○ ○
　　向量积
　　（差乘） 成立
　　○ ○ ○ ○
　　注：表中○代表着不成立.
　　4.矩阵运算的运算律
　　（1）加法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：A+0=0+A=A，存在单位元0；
　　逆元：A+（-A）=（-A）+A=0，存在逆元-A；
　　吸收元不存在；
　　结合律成立：（A+B）+C=A+（B+C）；
　　交换律成立：A+B=B+A；
　　消取律成立：A+B=A+C B=C.
　　（2）减法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：A-0=A，存在右单位元0；
　　逆元：A-A=0，逆元为本身；
　　吸收元不存在；
　　结合律不成立：类似于数的减法；
　　交换律不成立：类似于数的减法；
　　幂等律不成立：A-A=0；
　　消取律成立：A-B=A-C B=C.
　　（3）乘法
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元：AI=IA=A，存在单位元I；
　　逆元不存在（有些矩阵没有逆矩阵）；
　　吸收元：0A=A0=0，存在吸收元矩阵0；
　　结合律成立：（A ） C=A B C）；
　　交换律不成立：反例：A= ，B= ，AB= ，BA= ；
　　消取律不成立：反例：A= ，B= ，C= ，AB=0，CB=0.
　　（4）数乘
　　运算类型：BA=A，满足封闭性；
　　单位元：1 ，存在左单位元1；
　　逆元不存在（数与矩阵的乘积是矩阵不是数）；
　　吸收元：a0=0，存在右吸收元矩阵0；
　　结合律成立：a（bA）=（ab）A，（mA）B=m（AB）；
　　交换律成立：mA=Am ；
　　消取律成立：mA=mB A=B.
　　各种运算间的分配律
　　加法 减法 乘法 数乘
　　加法 ○ ○ （m+n）A = mA+nA成立 ○
　　减法 ○ ○ （m-n）A = mA-nA成立 ○
　　乘法 （A+B）C = AC+BC成立 ○ ○ ○
　　数乘 m（A+B） = mA+mB成立 ○ ○ ○
　　注：表中○代表着不成立.
　　5.变换运算的运算律
　　运算类型：AA=A，满足封闭性；
　　单位元： ，存在单位元 ， 为恒等变换；
　　逆元不存在；
　　吸收元不存在；
　　结合律成立： ；
　　交换律不成立，反例： ， ， ；
　　消取律成立： .