论文部分内容阅读
摘 要：数学的最基本特征是抽象与推理。新课标将“运算能力和推理能力”作为十大核心概念之一，强调推理能力的发展应贯穿整个数学学习过程。在计算教学中教师不仅要注重知识与技能的理解和掌握，算理和算法的沟通与联系，还要重视运算能力和推理能力的落实与培养。如何在计算教学中发展学生的运算能力，培养推理能力，值得教师深思。文章结合一节数学思维游戏课——“有趣的倒序数减法计算”，从缘起、思考、践行、感悟四个方面阐述计算教学中发展学生推理能力，培养数学思维，提高数学核心素养。
关键词：推理能力;计算教学;思维游戏课
新课标指出：“运算能力主要指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。它有助于运算技能的逐步提高，有助于运算思维素质的提升和发展。”运算能力的培养和发展是一个长期的过程，伴随着数学知识的积累而深化，不能只注重计算方法，而应深入学生思维核心。在计算教学时，教师要尽可能组织有厚度、有深度、有趣味、有数学味的探究活动，让学生在观察中猜想，在计算中验证，在思考中发现，在交流中完善，并重点感受探究问题的方法，积累研究数学问题的经验，培养推理能力和逻辑思维能力。
一、缘起——分析缘由，彰显意义
在数学学习过程中，推理是最基本的思维方式，也是人们日常生活中常用的一种思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。小学数学中合情推理使用较为广泛，合情推理用于探索思路，发现结论。因此，在计算教学中，运用合情推理帮助学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题尤为重要。主要有以下两个方面。
第一，新课标注重培养学生的运算能力、逻辑思维能力、想象能力和推理能力。培養运算能力不仅在于提高学生的计算能力，还在于提高学生的推理能力发展，为学生的后续学习和整体的数学素养提高打好坚实的基础。
第二，通常的计算教学都比较注重知识的理解、技能的掌握、算理的沟通、算法的多样化……这些都是计算教学中重要的主要任务。教师一般会通过直观操作帮助学生理解计算的原理，借助算理来帮助学生掌握算法。整个计算教学过程，还需要注重寻求合理简洁的运算途径解决问题的能力和推理能力的落实。因此，笔者摈弃以往的计算教学模式，从培养学生运算能力和推理能力的视角下设计教学，立足学生实际，发展学生能力，提升学生素养。
二、思考——研读文本，确定目标
《有趣的倒序数减法计算》是一节由二年级上册两位数减两位数的内容中拓展开放的一堂新思维课，而且笔者第一次接触，比较陌生，挑战性非常大。这需要笔者认真解读新思维教材，理清几个关键性的问题，才能把握本节课的教学目标和重难点。
通过分析和思考，笔者明确了本节课的教学策略，那就是让学生经历倒序数发现规律、归纳规律的过程，也就是类分析的过程，帮助学生积累研究数学的历程。学生先通过写一写、说一说等数学活动，在不断思考答案的过程中，体会学习数学的乐趣和价值;接着，学生在分一分、想一想中发现规律、探究规律、验证规律、概括规律、应用规律。最后，学生在不断思考、启发、再思考，再感悟中自发提出数学问题，激发学习热情和欲望，从而进一步发展学生的数学思维和推理能力。
三、践行——回归课堂，培养能力
推理能力的形成不是学生“懂”了、“会”了就可以了，而是让学生自己“悟”出道理、规律和思考方法。这种“悟”只有在数学活动中才得以进行。因此，在理清教学的本质特征和目标后，在教学过程中，教师设计了比较多的探索环节，给予学生更多的交流空间和时间，组织引导学生经历观察、猜想、验证、归纳等数学活动，让学生在注重探索规律的过程中积累经验，感悟数学知识的应用，凸显探索规律的学习价值，使得整个教学和数学学习有厚度、有深度、有趣味、有数学味。笔者绘制了思维导图（如下图），循序渐进地设计了教学流程，以构建相对完整的推理过程，培养运算能力和推理能力。
（一）分类整理，观察规律，提供推理的基础，使教学有厚度
整理可以帮助学生更好地观察数学、学习数学;分类又是数学学习很重要的思想方法。分类与整理在教学中有着重要的作用，它为观察规律提供推理基础，使教学更有厚度。本节课教师先从观察数字——体会算式特点——思考数学问题——解决数学问题入手，激发学生的学习兴趣，唤醒学生的原有认知，让学生有了初步观察的方向：得数存在一定的规律。然后让学生自主探究从数字1到6中选两个数字组成倒序数的减法算式，计算结果。接着，让学生根据算式的特点自主分类，给予学生独立思考、合作交流的时间和空间;最后将不完整的算式补充、整理，这样既便于学生观察、比较，又给学生提供自主学习的机会，并再次突出观察的方向：得数与倒序数有什么联系？
（二）观察与猜想，发现规律，积累推理的经验，使学习有趣味
推理是从观察和体验出发。观察与猜想的过程，旨在培养学生解决问题的意识和责任，让学生从数学思维的角度思考问题，寻求简洁合理的运算途径解决问题，发展学生的运算能力和推理能力。本节课的“趣”主要体现在探索规律的过程中。教师给予学生充分的时间和空间进行讨论和交流，让学生3次观察、3次猜测，并尽情表达自己的想法和观点，积累个性化、有用的经验，凭借学生的直觉思维和间接地推理猜想，发现规律，提高推理能力，教学也因此而变得有趣。
【教学片段】
第一次：整体观察，猜测规律
师：上面这些算式你有什么发现？
生1：我发现得数都跟九的乘法口诀有关。一九得九，二九十八……
师：是啊！得数还真的是1个9，2个9……（随机板书：1个9，2个9……）
师：你还有其他的发现吗？（让学生自由表达，多引导和鼓励学生） 设计意图：教师最好能让学生主动说出发现两个数字与得数的关系，如果发现不了，也没关系，逐步观察、猜测和推理的过程才是本节课的核心，也是培养学生能力的过程。
第二次：局部观察，再探规律
师：请仔细观察得数是9的这一列算式，有什么规律？先独立思考10秒钟，再与同桌说一说。
师：继续观察其他算式，还有没有这样的规律：倒序数的两个数字相差1，得数是9？
师：那么得数是18的算式，有没有这样的规律：倒序数的两个数字相差2，得数是18？
设计意图：在观察与猜想时，教师始终让学生自主学习，合作交流，教师只起引导、点拨的作用，让学生从运算本身的实质去培养推理能力。
第三次：合作观察，深入规律
师：剩下的3个9，4个9，5个9算式中也藏着这样类似的规律吗？请和同桌选择其中一列算式进行观察，说一说算式和得数存在怎样的规律。
設计意图：从整体观察——局部观察——合作观察的过程，循序渐进，让学生的学习能力得到提升，逐渐体会到学习成功的乐趣和快乐。
（三）验证与归纳，总结规律，丰富推理的空间，使教学有深度
归纳是一种从特殊到一般的推理方法。推理一般有两个阶段：（1）特例—猜想，即特殊到一般的过程;（2）验证—归纳，即检验猜想正确性的过程。在探索规律的活动中，不仅要让学生猜想，更要引导学生验证，这样才有利于学生深刻理解知识，形成科学严谨的学习态度和良好的思维习惯。在本节课的教学中，教师让学生经历了完整地不完全归纳的过程：先引导学生观察得数与倒序数数字的联系，再举例验证规律。最后，在大量举例验证中，利用不完全归纳法，自主探索、总结规律，为学生发展运算能力，运用推理的方式发现问题、提出问题、解决问题提供抓手，更为今后具有一定的自学能力而奠定基础。
【教学片段】
师：像得数是9的算式的例子还有吗？（学生举例验证）
师质疑：得数是9的算式到底是怎么样的？
生：得数是9的算式，倒序数的两个数字相差1。
师：得数是18，也就是2个9的算式有没有这样的规律？（再次突破得数是18的规律，这样学生就能自己寻找剩下的规律）
生：倒序数31-13=18数字相差2，得数就是2个9。（板书补充：2个9）
师：看着这些算式，你有什么问题要提吗？
生1：得数是18的算式都有这样的特点吗？
生2：为什么得数是18的算式，倒序数的两个数字相差2？
师：得数是18的算式，你还能举出哪些例子吗？
生：86-68=18
97-79=18
……
师：剩下的这些算式，请你选择其中一个得数，像刚才这样举一个算式的例子验证一下规律，到底对不对，和你的同桌说一说。
师：我们刚才说了这么多算式的规律，你能不能用一句话概括一下这些规律？先和你的同桌说一说。（如果倒序数相减，两个数字相差几，那么得数就是几个九）
设计意图：在比较、分析、归纳、总结的过程中，学生不仅获得了规律，更获得了探索规律的方法和乐趣，提高了学生的推理能力和学习能力，感受到了数学之美和价值。
四、感悟——提升教学理念和能力
浙江省新思维教育科学研究院的姜荣富教研员认为好课应该是学生的思维受到挑战;学生的学习能力有差异;学生的思维不断碰撞;学习还要有趣味。也就需要教学组织形式开放，思维才能得到开放。从这一课例中可以看到不仅学生的运算能力和推理能力得到发展，教师本身的教学理念和能力也在不断地提升，主要有以下两个方面。
（一）大问题创设，让思维不断碰撞
姜荣富老师曾说：“课堂不只是交流思考的答案，而是交流答案的思考。个体在课堂上能独立解决的问题，我们在课堂上可以不讨论和交流;个体不能独立解决的则需要在课堂上展开讨论和解答。”这就需要教师创设大问题，让学生的思维不断碰撞。如：黑板上有这么多的算式整整齐齐地摆在那里，请你仔细观察这些算式和得数，你发现了什么？这里需要花大量的时间和空间让学生独立思考、合作交流，做小老师展示和反馈各自的想法。当然，个别学生的想法并不具有数学思考的价值，这时候就需要教师提出更有针对的小问题。如：请你仔细观察得数是9的这一列算式，倒序数的两个数字和得数有什么联系？这样更利于启发其他学生的思路，让学生把观察的注意点集中到倒序数的两个数字中去，在不断的思维碰撞中感悟规律，在点滴的举例验证中总结规律。
（二）尊重差异，让能力得到不同的发展
学生的学习能力和学习水平不尽相同。教师要尊重学生的个体差异，在课堂上宽容对待每一位学生的课堂表现，尽量给学生更多的鼓励和自信心。在本节课中，主要有两个问题需要教师多关注，多重视。
首先，要尽可能让学生自己发现问题、提出问题，教师要多问学生：“你还有什么发现吗？你还想说什么吗？”爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要。”在这一问题上每个学生的情况不一样，不一定所有的学生都能提出疑问，这时候教师要宽容提出问题的学生，哪怕学生的提问不具有价值，也要适当鼓励。
其次，要尽量多鼓励学生的发现。在探索规律、发现规律的过程中，每个学生所观察的点不一样。有些从横向和纵向的角度观察，只发现数字表面的特点;个别学生能从两个数字之差与得数的联系来观察，发现规律的本质特征，教师要及时对不同程度的学生鼓励、评价和点拨，日积月累，学生的提问意识和发问能力都会有很大程度的提升。
总之，学生的学习能力形成是一个循序渐进的缓慢过程。在计算教学中，教师不仅要让学生悟出道理、掌握规律和方法，更要培养学生的逻辑思维能力和自主学习能力，让学生在数学的活动中，体验学习成功的乐趣，享受学习带来的快乐，丰富生活，提升数学核心素养。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]钱守旺.聚焦数学核心素养，培养小学生合情推理能力——以人教版三下“长方形、正方形的面积”教学为例[J].新教师，2017（01）.
[3]柏叶总.猜想与验证：在不完全归纳中合情推理——《有趣的乘法计算》教学实践与评析[J].教育研究与评论·课堂观察，2015（06）.
（浙江省宁波国家高新区实验学校，宁波315000）
关键词：推理能力;计算教学;思维游戏课
新课标指出：“运算能力主要指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。它有助于运算技能的逐步提高，有助于运算思维素质的提升和发展。”运算能力的培养和发展是一个长期的过程，伴随着数学知识的积累而深化，不能只注重计算方法，而应深入学生思维核心。在计算教学时，教师要尽可能组织有厚度、有深度、有趣味、有数学味的探究活动，让学生在观察中猜想，在计算中验证，在思考中发现，在交流中完善，并重点感受探究问题的方法，积累研究数学问题的经验，培养推理能力和逻辑思维能力。
一、缘起——分析缘由，彰显意义
在数学学习过程中，推理是最基本的思维方式，也是人们日常生活中常用的一种思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。小学数学中合情推理使用较为广泛，合情推理用于探索思路，发现结论。因此，在计算教学中，运用合情推理帮助学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题尤为重要。主要有以下两个方面。
第一，新课标注重培养学生的运算能力、逻辑思维能力、想象能力和推理能力。培養运算能力不仅在于提高学生的计算能力，还在于提高学生的推理能力发展，为学生的后续学习和整体的数学素养提高打好坚实的基础。
第二，通常的计算教学都比较注重知识的理解、技能的掌握、算理的沟通、算法的多样化……这些都是计算教学中重要的主要任务。教师一般会通过直观操作帮助学生理解计算的原理，借助算理来帮助学生掌握算法。整个计算教学过程，还需要注重寻求合理简洁的运算途径解决问题的能力和推理能力的落实。因此，笔者摈弃以往的计算教学模式，从培养学生运算能力和推理能力的视角下设计教学，立足学生实际，发展学生能力，提升学生素养。
二、思考——研读文本，确定目标
《有趣的倒序数减法计算》是一节由二年级上册两位数减两位数的内容中拓展开放的一堂新思维课，而且笔者第一次接触，比较陌生，挑战性非常大。这需要笔者认真解读新思维教材，理清几个关键性的问题，才能把握本节课的教学目标和重难点。
通过分析和思考，笔者明确了本节课的教学策略，那就是让学生经历倒序数发现规律、归纳规律的过程，也就是类分析的过程，帮助学生积累研究数学的历程。学生先通过写一写、说一说等数学活动，在不断思考答案的过程中，体会学习数学的乐趣和价值;接着，学生在分一分、想一想中发现规律、探究规律、验证规律、概括规律、应用规律。最后，学生在不断思考、启发、再思考，再感悟中自发提出数学问题，激发学习热情和欲望，从而进一步发展学生的数学思维和推理能力。
三、践行——回归课堂，培养能力
推理能力的形成不是学生“懂”了、“会”了就可以了，而是让学生自己“悟”出道理、规律和思考方法。这种“悟”只有在数学活动中才得以进行。因此，在理清教学的本质特征和目标后，在教学过程中，教师设计了比较多的探索环节，给予学生更多的交流空间和时间，组织引导学生经历观察、猜想、验证、归纳等数学活动，让学生在注重探索规律的过程中积累经验，感悟数学知识的应用，凸显探索规律的学习价值，使得整个教学和数学学习有厚度、有深度、有趣味、有数学味。笔者绘制了思维导图（如下图），循序渐进地设计了教学流程，以构建相对完整的推理过程，培养运算能力和推理能力。
（一）分类整理，观察规律，提供推理的基础，使教学有厚度
整理可以帮助学生更好地观察数学、学习数学;分类又是数学学习很重要的思想方法。分类与整理在教学中有着重要的作用，它为观察规律提供推理基础，使教学更有厚度。本节课教师先从观察数字——体会算式特点——思考数学问题——解决数学问题入手，激发学生的学习兴趣，唤醒学生的原有认知，让学生有了初步观察的方向：得数存在一定的规律。然后让学生自主探究从数字1到6中选两个数字组成倒序数的减法算式，计算结果。接着，让学生根据算式的特点自主分类，给予学生独立思考、合作交流的时间和空间;最后将不完整的算式补充、整理，这样既便于学生观察、比较，又给学生提供自主学习的机会，并再次突出观察的方向：得数与倒序数有什么联系？
（二）观察与猜想，发现规律，积累推理的经验，使学习有趣味
推理是从观察和体验出发。观察与猜想的过程，旨在培养学生解决问题的意识和责任，让学生从数学思维的角度思考问题，寻求简洁合理的运算途径解决问题，发展学生的运算能力和推理能力。本节课的“趣”主要体现在探索规律的过程中。教师给予学生充分的时间和空间进行讨论和交流，让学生3次观察、3次猜测，并尽情表达自己的想法和观点，积累个性化、有用的经验，凭借学生的直觉思维和间接地推理猜想，发现规律，提高推理能力，教学也因此而变得有趣。
【教学片段】
第一次：整体观察，猜测规律
师：上面这些算式你有什么发现？
生1：我发现得数都跟九的乘法口诀有关。一九得九，二九十八……
师：是啊！得数还真的是1个9，2个9……（随机板书：1个9，2个9……）
师：你还有其他的发现吗？（让学生自由表达，多引导和鼓励学生） 设计意图：教师最好能让学生主动说出发现两个数字与得数的关系，如果发现不了，也没关系，逐步观察、猜测和推理的过程才是本节课的核心，也是培养学生能力的过程。
第二次：局部观察，再探规律
师：请仔细观察得数是9的这一列算式，有什么规律？先独立思考10秒钟，再与同桌说一说。
师：继续观察其他算式，还有没有这样的规律：倒序数的两个数字相差1，得数是9？
师：那么得数是18的算式，有没有这样的规律：倒序数的两个数字相差2，得数是18？
设计意图：在观察与猜想时，教师始终让学生自主学习，合作交流，教师只起引导、点拨的作用，让学生从运算本身的实质去培养推理能力。
第三次：合作观察，深入规律
师：剩下的3个9，4个9，5个9算式中也藏着这样类似的规律吗？请和同桌选择其中一列算式进行观察，说一说算式和得数存在怎样的规律。
設计意图：从整体观察——局部观察——合作观察的过程，循序渐进，让学生的学习能力得到提升，逐渐体会到学习成功的乐趣和快乐。
（三）验证与归纳，总结规律，丰富推理的空间，使教学有深度
归纳是一种从特殊到一般的推理方法。推理一般有两个阶段：（1）特例—猜想，即特殊到一般的过程;（2）验证—归纳，即检验猜想正确性的过程。在探索规律的活动中，不仅要让学生猜想，更要引导学生验证，这样才有利于学生深刻理解知识，形成科学严谨的学习态度和良好的思维习惯。在本节课的教学中，教师让学生经历了完整地不完全归纳的过程：先引导学生观察得数与倒序数数字的联系，再举例验证规律。最后，在大量举例验证中，利用不完全归纳法，自主探索、总结规律，为学生发展运算能力，运用推理的方式发现问题、提出问题、解决问题提供抓手，更为今后具有一定的自学能力而奠定基础。
【教学片段】
师：像得数是9的算式的例子还有吗？（学生举例验证）
师质疑：得数是9的算式到底是怎么样的？
生：得数是9的算式，倒序数的两个数字相差1。
师：得数是18，也就是2个9的算式有没有这样的规律？（再次突破得数是18的规律，这样学生就能自己寻找剩下的规律）
生：倒序数31-13=18数字相差2，得数就是2个9。（板书补充：2个9）
师：看着这些算式，你有什么问题要提吗？
生1：得数是18的算式都有这样的特点吗？
生2：为什么得数是18的算式，倒序数的两个数字相差2？
师：得数是18的算式，你还能举出哪些例子吗？
生：86-68=18
97-79=18
……
师：剩下的这些算式，请你选择其中一个得数，像刚才这样举一个算式的例子验证一下规律，到底对不对，和你的同桌说一说。
师：我们刚才说了这么多算式的规律，你能不能用一句话概括一下这些规律？先和你的同桌说一说。（如果倒序数相减，两个数字相差几，那么得数就是几个九）
设计意图：在比较、分析、归纳、总结的过程中，学生不仅获得了规律，更获得了探索规律的方法和乐趣，提高了学生的推理能力和学习能力，感受到了数学之美和价值。
四、感悟——提升教学理念和能力
浙江省新思维教育科学研究院的姜荣富教研员认为好课应该是学生的思维受到挑战;学生的学习能力有差异;学生的思维不断碰撞;学习还要有趣味。也就需要教学组织形式开放，思维才能得到开放。从这一课例中可以看到不仅学生的运算能力和推理能力得到发展，教师本身的教学理念和能力也在不断地提升，主要有以下两个方面。
（一）大问题创设，让思维不断碰撞
姜荣富老师曾说：“课堂不只是交流思考的答案，而是交流答案的思考。个体在课堂上能独立解决的问题，我们在课堂上可以不讨论和交流;个体不能独立解决的则需要在课堂上展开讨论和解答。”这就需要教师创设大问题，让学生的思维不断碰撞。如：黑板上有这么多的算式整整齐齐地摆在那里，请你仔细观察这些算式和得数，你发现了什么？这里需要花大量的时间和空间让学生独立思考、合作交流，做小老师展示和反馈各自的想法。当然，个别学生的想法并不具有数学思考的价值，这时候就需要教师提出更有针对的小问题。如：请你仔细观察得数是9的这一列算式，倒序数的两个数字和得数有什么联系？这样更利于启发其他学生的思路，让学生把观察的注意点集中到倒序数的两个数字中去，在不断的思维碰撞中感悟规律，在点滴的举例验证中总结规律。
（二）尊重差异，让能力得到不同的发展
学生的学习能力和学习水平不尽相同。教师要尊重学生的个体差异，在课堂上宽容对待每一位学生的课堂表现，尽量给学生更多的鼓励和自信心。在本节课中，主要有两个问题需要教师多关注，多重视。
首先，要尽可能让学生自己发现问题、提出问题，教师要多问学生：“你还有什么发现吗？你还想说什么吗？”爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要。”在这一问题上每个学生的情况不一样，不一定所有的学生都能提出疑问，这时候教师要宽容提出问题的学生，哪怕学生的提问不具有价值，也要适当鼓励。
其次，要尽量多鼓励学生的发现。在探索规律、发现规律的过程中，每个学生所观察的点不一样。有些从横向和纵向的角度观察，只发现数字表面的特点;个别学生能从两个数字之差与得数的联系来观察，发现规律的本质特征，教师要及时对不同程度的学生鼓励、评价和点拨，日积月累，学生的提问意识和发问能力都会有很大程度的提升。
总之，学生的学习能力形成是一个循序渐进的缓慢过程。在计算教学中，教师不仅要让学生悟出道理、掌握规律和方法，更要培养学生的逻辑思维能力和自主学习能力，让学生在数学的活动中，体验学习成功的乐趣，享受学习带来的快乐，丰富生活，提升数学核心素养。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]钱守旺.聚焦数学核心素养，培养小学生合情推理能力——以人教版三下“长方形、正方形的面积”教学为例[J].新教师，2017（01）.
[3]柏叶总.猜想与验证：在不完全归纳中合情推理——《有趣的乘法计算》教学实践与评析[J].教育研究与评论·课堂观察，2015（06）.
（浙江省宁波国家高新区实验学校，宁波315000）