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材料 假设某宾馆楼房共有30层，住宿收费分别是一楼每晚2美元，二楼每晚4美元，三楼每晚8美元……即每高一层收费就翻一番，如果你身上有一百万美元，你一定认为在第30层住一晚没问题吧，实际上住30楼需要的钱数是：230=1 073 741 824美元.你看，竟然需要10亿多美元！
在生活中，人们很多时候通过直观感觉就能对某一事件作出合理的判断，因此，经常有人说“相信第六感”.但是，我们的直觉可靠吗？从上面的材料可知直觉不一定可靠. 通过计算“数”获得“惊讶”，通过引进“字母”计算，也能让我们推断出一个离事实甚远的结论.
例 有个特别爱动手画图的同学在草稿纸上用圆规随意画了一个大圆，而他的同桌看到之后，觉得图画得十分单调，就在原图中又画了两个小圆.小圆的圆心在大圆的直径上，且小圆的直径刚好等于大圆的半径，如图1.
两人觉得这个图很美观，就讨论开了.其中一个同学认为，两个小圆的周长之和可能等于大圆的周长，而另一个同学又不同意这个观点.怎么办呢？突然，他们想到了用直尺测量一下大圆的直径再计算，不就清楚了吗？随即，他们用刻度尺测量出大圆的直径为4 cm，立刻计算出大圆的周长为4π cm，两个小圆的周长和为：2π+2π=4π cm，他们惊奇地得出大圆的周长刚好等于两个小圆的周长和的结论.得出了这个结论之后，这两人又对图形进行研究了，他们通过画图计算，发现：不论画多少个大小一样的圆，只要保证这些圆的圆心在大圆直径上，并两两相切，直至画满，那么这些小圆的周长和就等于大圆周长.同学们，你能帮他们说明一下这个发现正确吗？
当然，很多同学可能还是想到，把大圆的直径测量出来，再看画了多少个大小相等的小圆，从而计算出小圆的直径，接下来不就可以解决问题了吗？但是，若我们手头没有刻度尺呢？还有，画的小圆究竟多少个呢？难道要一一计算吗？岂不是工作量太大了，耽误时间.同学们，这一章所学的知识能帮助我们解决这个问题.
我们不妨假设大圆的半径为R cm，画的小圆个数为n，那么小圆的直径为■ cm，从而所有小圆的周长和为：n·π·■=2πR，正好等于大圆的周长.
在这个例子中，用R cm表示任意大圆的半径，用n表示相等的圆的个数，从而这两个字母就代表了所有的情况，具有一般性，方便我们解释问题的普遍规律.因此，有时候用字母来表示数，会使问题简单化和普遍化.
到这里，可能有同学跃跃欲试，开始有想法了.在前面的基础上，把大小一样的圆变成大小各不一样的圆，如图3，其他条件均不变，那又是什么样的结论呢？猜一猜，算一算，看看你的直觉还准吗？
还是假设大圆的半径为R cm，画的小圆个数为n，那么小圆的直径依次为：d1，d2，d3，…，dn，则所有小圆的周长和为：
πd1+πd2+…+πdn=π（d1+d2+d3+…dn）=2πR.
由此可以得出，结论仍然成立.在这个问题解决过程中，我们运用字母表示数的方法，通过列代数式进行计算，从而验证了直觉的正误.
现在，给大家一个挑战直觉的例子.
试一试： 如果我们把地球近似看成球体，假设可以用一根铁丝沿赤道把地球紧紧箍住，那么此时，铁丝可以近似地看成一个圆.现在，若把这根铁丝加长1米，铁丝还是保持圆的形状，并且铁丝处处保持与赤道相等的距离.那么你觉得铁丝与赤道之间的距离有多大？能通过一个篮球吗？
你能猜出来吗？可能有人心里没谱，根本没什么大小概念，但是你能通过自己的计算，大致得出这个距离是多少.首先，大家不难确定这个距离就是铁丝加长1米后对应的圆的半径与地球半径的差，转化成平面图形，如图4.地球半径怎么得来，大家要充分利用互联网，百度一下即可.接下来，可以计算出地球的周长，加上1米，就得出了大圆周长，从而计算出大圆半径，减去地球半径，问题就此解决.直觉准吗？
到此，还不能说挑战直觉.如果把上述问题中的地球换成乒乓球，还是沿乒乓球上最大的圆（相当于地球赤道）紧紧箍一根铁丝，然后把这根铁丝加长1米，那么铁丝与最大圆之间的距离又有多大？篮球能通过吗？
可能有人会毫不犹豫地回答能通过，因为直觉告诉他，地球太大，周长增加1米，可以忽略不计，而乒乓球太小，周长增加1米，相对来说太大了.但是，也许可能有其他的答案.究竟是什么样的结果，唯有通过计算才能说明.我想，计算的方法已经相当明确.你通过计算，是不是感到很奇怪？但这是必须接受的现实.
同学们，是不是大家已经觉得问题彻底解决了呢？如果仔细观察这两种情况计算的过程和结果，可以发现它们之间有联系，就是处理问题的方法和计算过程完全相同.两个问题的不同点是一个球体很大，另一个球体很小，即图4中小圆的大小差别极大，共同点是外面的大圆比小圆的周长大1米.既然两圆的周长有联系，因此，不妨假设小圆（即地球或乒乓球）的周长为c米，那么大圆（增加1米后的铁丝）周长为（c+1） 米，从而得到小圆的半径为■米，大圆的半径为■ 米，所以小圆与大圆之间的距离就是：
■-■=■≈0.16（米）=16（厘米）.
通过计算，可以发现最后的结果不含字母c，也就是说，不论球体有多大，只要按照题目中的要求，将铁丝增加1米之后，铁丝与球体之间的均匀距离都是16厘米，不会随球体的大小变化而变化.
面对这样的计算结果，我们还有什么可以怀疑的呢？只能说明，直观的感觉要经受实践的检验.同时，我们在学习数学的时候，不能说直观的感觉不一定对，就放弃它.我们研究问题的时候，往往可以利用直观感受进行感性的思维，得到初步的结果，然后再利用计算或推理来进行理性的证明，这样就不会让你在理智与直觉之间徘徊了.
在这一章，我们系统学习了代数式的基本知识，在上面的计算过程中，都用到了用字母表示数的方法以及整式的加减运算，它们使我们摆脱了一个个具体的不同的数据的束缚，用一个统一的方式来解决处理过程和方法一样的问题，这就体现了字母表示数的优越性——能反映问题的一般规律.另外，通过上述问题的解决，我们也体会到，直觉有时候是不可信的，计算或推理才是获取正确结论的最好途径.
在生活中，人们很多时候通过直观感觉就能对某一事件作出合理的判断，因此，经常有人说“相信第六感”.但是，我们的直觉可靠吗？从上面的材料可知直觉不一定可靠. 通过计算“数”获得“惊讶”，通过引进“字母”计算，也能让我们推断出一个离事实甚远的结论.
例 有个特别爱动手画图的同学在草稿纸上用圆规随意画了一个大圆，而他的同桌看到之后，觉得图画得十分单调，就在原图中又画了两个小圆.小圆的圆心在大圆的直径上，且小圆的直径刚好等于大圆的半径，如图1.
两人觉得这个图很美观，就讨论开了.其中一个同学认为，两个小圆的周长之和可能等于大圆的周长，而另一个同学又不同意这个观点.怎么办呢？突然，他们想到了用直尺测量一下大圆的直径再计算，不就清楚了吗？随即，他们用刻度尺测量出大圆的直径为4 cm，立刻计算出大圆的周长为4π cm，两个小圆的周长和为：2π+2π=4π cm，他们惊奇地得出大圆的周长刚好等于两个小圆的周长和的结论.得出了这个结论之后，这两人又对图形进行研究了，他们通过画图计算，发现：不论画多少个大小一样的圆，只要保证这些圆的圆心在大圆直径上，并两两相切，直至画满，那么这些小圆的周长和就等于大圆周长.同学们，你能帮他们说明一下这个发现正确吗？
当然，很多同学可能还是想到，把大圆的直径测量出来，再看画了多少个大小相等的小圆，从而计算出小圆的直径，接下来不就可以解决问题了吗？但是，若我们手头没有刻度尺呢？还有，画的小圆究竟多少个呢？难道要一一计算吗？岂不是工作量太大了，耽误时间.同学们，这一章所学的知识能帮助我们解决这个问题.
我们不妨假设大圆的半径为R cm，画的小圆个数为n，那么小圆的直径为■ cm，从而所有小圆的周长和为：n·π·■=2πR，正好等于大圆的周长.
在这个例子中，用R cm表示任意大圆的半径，用n表示相等的圆的个数，从而这两个字母就代表了所有的情况，具有一般性，方便我们解释问题的普遍规律.因此，有时候用字母来表示数，会使问题简单化和普遍化.
到这里，可能有同学跃跃欲试，开始有想法了.在前面的基础上，把大小一样的圆变成大小各不一样的圆，如图3，其他条件均不变，那又是什么样的结论呢？猜一猜，算一算，看看你的直觉还准吗？
还是假设大圆的半径为R cm，画的小圆个数为n，那么小圆的直径依次为：d1，d2，d3，…，dn，则所有小圆的周长和为：
πd1+πd2+…+πdn=π（d1+d2+d3+…dn）=2πR.
由此可以得出，结论仍然成立.在这个问题解决过程中，我们运用字母表示数的方法，通过列代数式进行计算，从而验证了直觉的正误.
现在，给大家一个挑战直觉的例子.
试一试： 如果我们把地球近似看成球体，假设可以用一根铁丝沿赤道把地球紧紧箍住，那么此时，铁丝可以近似地看成一个圆.现在，若把这根铁丝加长1米，铁丝还是保持圆的形状，并且铁丝处处保持与赤道相等的距离.那么你觉得铁丝与赤道之间的距离有多大？能通过一个篮球吗？
你能猜出来吗？可能有人心里没谱，根本没什么大小概念，但是你能通过自己的计算，大致得出这个距离是多少.首先，大家不难确定这个距离就是铁丝加长1米后对应的圆的半径与地球半径的差，转化成平面图形，如图4.地球半径怎么得来，大家要充分利用互联网，百度一下即可.接下来，可以计算出地球的周长，加上1米，就得出了大圆周长，从而计算出大圆半径，减去地球半径，问题就此解决.直觉准吗？
到此，还不能说挑战直觉.如果把上述问题中的地球换成乒乓球，还是沿乒乓球上最大的圆（相当于地球赤道）紧紧箍一根铁丝，然后把这根铁丝加长1米，那么铁丝与最大圆之间的距离又有多大？篮球能通过吗？
可能有人会毫不犹豫地回答能通过，因为直觉告诉他，地球太大，周长增加1米，可以忽略不计，而乒乓球太小，周长增加1米，相对来说太大了.但是，也许可能有其他的答案.究竟是什么样的结果，唯有通过计算才能说明.我想，计算的方法已经相当明确.你通过计算，是不是感到很奇怪？但这是必须接受的现实.
同学们，是不是大家已经觉得问题彻底解决了呢？如果仔细观察这两种情况计算的过程和结果，可以发现它们之间有联系，就是处理问题的方法和计算过程完全相同.两个问题的不同点是一个球体很大，另一个球体很小，即图4中小圆的大小差别极大，共同点是外面的大圆比小圆的周长大1米.既然两圆的周长有联系，因此，不妨假设小圆（即地球或乒乓球）的周长为c米，那么大圆（增加1米后的铁丝）周长为（c+1） 米，从而得到小圆的半径为■米，大圆的半径为■ 米，所以小圆与大圆之间的距离就是：
■-■=■≈0.16（米）=16（厘米）.
通过计算，可以发现最后的结果不含字母c，也就是说，不论球体有多大，只要按照题目中的要求，将铁丝增加1米之后，铁丝与球体之间的均匀距离都是16厘米，不会随球体的大小变化而变化.
面对这样的计算结果，我们还有什么可以怀疑的呢？只能说明，直观的感觉要经受实践的检验.同时，我们在学习数学的时候，不能说直观的感觉不一定对，就放弃它.我们研究问题的时候，往往可以利用直观感受进行感性的思维，得到初步的结果，然后再利用计算或推理来进行理性的证明，这样就不会让你在理智与直觉之间徘徊了.
在这一章，我们系统学习了代数式的基本知识，在上面的计算过程中，都用到了用字母表示数的方法以及整式的加减运算，它们使我们摆脱了一个个具体的不同的数据的束缚，用一个统一的方式来解决处理过程和方法一样的问题，这就体现了字母表示数的优越性——能反映问题的一般规律.另外，通过上述问题的解决，我们也体会到，直觉有时候是不可信的，计算或推理才是获取正确结论的最好途径.