【摘要】 本文给出了在x y z=P（P为常数，x，y，z均为正数）的条件下，求无理函数y= n Ax λ n Ay λ n Az λ （n∈N 且n≥2；A、λ均为常数且大于零）的上界、下界问题.
　　【关键词】 无理不等式；上、下界；上凸（下凸）函数
　　性质1 若f（x）是区间I内下凸函数（或上凸函数），则对x1，x2，…，xn∈I，有f x1 x2 … xn n ≤ f（x1） f（x2） … f（xn） n ①
　　（或f x1 x2 … xn n ≥ f（x1） f（x2） … f（xn） n ） ②
　　其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.
　　此性质可由琴生不等式直接得到.
　　性质2 连续函数f（x）在区间I上的严格下凸函数的 充分必要条件：对任意a，b，c∈I且a　　连续函数f（x）在区间I上的严格上凸函数的充分必要条件是：对任意a，b，c∈I且a f（c）-f（b） c-b ④
　　证明 仅证③式，必要性：令t= c-b c-a ，由于a　　b= b-a c-a ·c c-b c-a ·a= 1-t c ta
　　及下凸函数定义，f tx1 1-t x2 ≤tf（x1） 1-t f（x2） .
　　有f（b）=f 1-t c ta < b-a c-a ·f（c） c-b c-a ·f（a）.
　　即： c-a b-a ·f（b）< b-a ·f（c） c-b ·f（a）.
　　亦即： c-b f（b）-f（a） < b-a f（c）-f（b） .
　　故 f（b）-f（a） b-a < f（c）-f（b） c-b .
　　充分性，反推上去即可（略）.
　　两个重要的结论：
　　结论1 函数f（x）= x x≥0 是上凸函数，且当0≤x1 x1 x2 - x1 x2-x1 x-x1 ⑤
　　证明 由0≤x1 1 x2 x1 > 1 x2 x .
　　亦有： x - x1 x-x1 > x2 - x1 x2-x1 > x2 - x x2-x .
　　由上式中第一、三项及性质2（即④式）知：f（x）在区间 0， ∞ 上是上凸函数.
　　由第一、二项整理，即得⑤式.
　　例 已知a，b，c且a b c=1，求证：2 14 ≤ 13a 1 13b 1 13c 1 ≤4 3 .
　　证明 显然有0≤a≤1，因此易得：1≤13a 1≤14.
　　由⑤式（取x1=1，x=13a 1，x2=14），得
　　13a 1 ≥1 14 -1 a.
　　同理： 13b 1 >1 14 -1 b； 13c 1 >1 14 -1 c.
　　将以上三个不等式左、右两边相加，得2 14 < 13a 1 13b 1 13c 1 .
　　又由②式，有： 13a 1 13b 1 13c 1 ≤3 13 a b c 3 3 =4 3 .
　　从而有2 14 < 13a 1 13b 1 13c 1 ≤4 3 .
　　可类似于结论1得结论2
　　结论2函数f（x）= n x （x≥0，n∈N 且n≥2）是上凸函数，当0≤x1　　n x > n x1 n x2 - n x1 x2-x1 x-x1 ⑥
　　【参考文献】
　　[1]甘义宁.一个无理不等式猜想的推广及其证明[J].数学通报，2014（03）：62-63.
　　[2]邵志华，张小明.关于A-H上下界的几个结果[J].数学的实践与认识，2013（06）：206-214.
　　[3]安振平.一类无理不等式的深入探究[J].数学通报，2011（12）：55-60.