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纵观近几年的高考试题，对函数与方程等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在.
考情解读
高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一.
要点梳理
函数思想
一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题.
方程思想
1.方程思想就是将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，使问题得到解决.
2.方程思想与函数思想密切相关：方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标；函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通过方程进行研究，方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
函数与方程思想在解题中的应用
1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
（1）借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
（2）在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.
2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
（1）解方程或解不等式；
（2）带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；
（3）需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；
（4）构造方程或不等式求解问题.
热点突破
一、函数与方程的思想在方程问题中的应用
例1 （1）已知函数f（x）滿足：①定义域为R；②x∈R，都有f（x 2）=f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x| 1.则方程f（x）=12log2|x|在区间[-3，5]内解的个数是 .
（2）设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax logay=c，这时，a的取值的集合为 .
解析：（1）画出y1=f（x），y2=12log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.
（2）由已知得y=acx，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，y∈[ac-12，ac-1]，
所以ac-12≥a
ac-1≤a2c≥2 loga2
c≤3.
因为有且只有一个常数c符合题意，所以2 loga2=3，解得a=2，
所以a的取值的集合为{2}.
点评：（1）方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.（2）对于方程中的含参问题，往往可以将方程问题转化为函数问题，并利用函数的有关性质加以解决.
二、函数与方程的思想在不等式恒成立中的应用
例2 （1）当x∈（1，2）时，不等式x2 mx 4<0恒成立，则m的取值范围是 .
（2）设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[23， ∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1） 4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 .
解析：（1）当x∈（1，2）时，由x2 mx 4<0得m<-x2 4x.令f（x）=x2 4x=x 4x，则易知f（x）在（1，2）上是减函数，∴x∈[1，2]时f（x）max=f（1）=5，则（-x2 4x）min>-5，∴m≤-5.
（2）依据题意得x2m2-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1 4（m2-1）在x∈[32， ∞）上恒定成立，即1m2-4m2≤-3x2-2x 1在x∈[32， ∞）上恒成立.当x=32时函数y=-3x2-2x 1取得最小值-53，∴1m2-4m2≤-53，即（3m2 1）（4m2-3）≥0，解得m≤-32或m≥32.
点评：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可转化为f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.
三、函数与方程的思想在三角函数中的应用
例3 （1）已知sin（α β）=23，sin（α-β）=15，则tanαtanβ= .
（2）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是 .
解析：（1）解法1：由已知得 sinαcosβ cosαsinβ=23
sinαcosβ-cosαsinβ=15，
∴sinαcosβ=1330，cosαsinβ=730，
∴tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137.
解法2：令x=tanαtanβ，∵sin（α β）sin（α-β）=103，
且sin（α β）sin（α-β）=sin（α β）cosαcosβsin（α-β）cosαcosβ=tanα tanβtanα-tanβ
=tanαtanβ 1tanαtanβ-1=x 1x-1.
∵x 1x-1=103，解得x=137，即tanαtanβ=137.
（2）可设BC=x，则AC=2x，
根据面积公式得S△ABC=x1-cos2B，由余弦定理计算得cosB=4-x24x，
代入上式得
S△ABC=x1-（4-x24x）2=128-（x2-12）216，
由2x x>2
x 2>2x，得22-2 故当x=23时，S△ABC最大值为22.
点评：（1）在三角函数的求值问题中，有时可将把这个需求的值看出方程的解，于是把三角函数求值问题，转化为解方程问题.（2）解三角形的最值问题，最常见的方法，就是建立目标函数，转化为函数的最值问题.
四、函数与方程的思想在平面向量中的应用
例4 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若AC·BE=1，则AB的长为 .
解析：解法1：因为AC=AB AD，BE=BA AD DE
=-AB AD 12AB=AD-12AB，
所以AC·BE=（AB AD）·（AD-12AB）
=AD2 12AD·AB-12AB2
=1 12×1×|AB|cos60°-12|AB|2=1，
所以14|AB|-12|AB|2=0，解得|AB|=12.故AB的长为12.
解法2：如图，以A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，则A（0，0），D（1，0），设AB的长为a，则B（a2，32a），C（1 a2，32a），因为E是CD的中点，
所以E（1 a4，34a），所以AC=（1 a2，32a），BE=（1-a4，-34a），
AC·BE=（1 a2）（1-a4）-38a2=1，即2a2-a=0，
解得a=12或a=0（舍去）.故AB的长为12.
点评：向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，最终转化为函数或方程问题，从而使问题得到解决.（2）基向量法，适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
五、函数与方程的思想在数列中的应用
例5 （1）数列{an}的通项公式an=n（n 4）（23）n的最大项为第 项.
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn.
是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n 1）？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由.
解析：（1）an≥an 1
an≥an-11-10≤n≤1 10
n≥1010≤n≤1 10，
由n∈N*得n=4，所以最大项为a4.
（2）假设存在满足条件的数列{an}，设此数列的公差为d，则
[a1 （n-1）d][a1n n（n-1）2d]=2n2（n 1），得
d22n2 （32a1d-d2）n （a21-32a1d 12d2）=2n2 2n对n∈N*恒成立，
则d22=2
32a1d-d2=2
a21-32a1d 12d2=0，解得d=2
a1=2
或d=-2
a1=-2此时an=2n，或an=-2n.
故存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n 1）.
其中an=2n，或an=-2n.
点评：（1）等差（比）数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；（2）数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解.（3）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.（4）求解数列中的若干未知量问题，常可通过待定系数或联立方程组来解决，若出现多解时，注意要根据题目要求作适当的取舍.
六、函数与方程的思想在立體几何中的应用
例6 某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为 .
解析：如图所示，在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点P，BC的中点E，连结BP，EP，CP，易证AD⊥平面BPC，
所以VABCD=13S△BPC·AD
=13×12×a×a2-x24-a24·x
=112a·（3a2-x2）x2
=112a·-（x2-3a22）2 9a44≤18a3，
当且仅当x2=32a2，即x=62a时取等号.
故答案：18a3.
点评：在立体几何的有关计算问题中，往往可将变量间的关系转化为方程或函数关系，从而将几何问题代数化.本题中，四面体体积的大小取决于AD的大小，于是把AD看成自变量，将四面体体积转化为函数问题，进而通过求函数的最值求得四面体体积的最值，体现了函数思想在立体几何中的应用. 七、函数与方程的思想在解析几何中的应用
例7 已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分别为F1和F2，由4个点M（-a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值.
解析：（1）由条件，得b=3，且2a 2c2·3=33，所以a c=3，
又a2-c2=3，故可解得a=2，c=1.所以椭圆的方程x24 y23=1.
（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my-1，直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）.
联立方程x24 y23=1
x=my-1，消去x得，（3m2 4）y2-6my-9=0，
因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交.
∴y1 y2=6m3m2 4，y1·y2=-93m2 4，
S△F2AB=12|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|
=（y1 y2）2-4y1y2=12m2 1（3m2 4）2
=4m2 1（m2 1 13）2
=41m2 1 23 19（m2 1），
令t=m2 1≥1，设y=t 19t，当令t∈（0，13）时，函数单调递减，当t∈（13， ∞）时函数单调递增.所以当t=m2 1=1，即m=0时，ymin=109.
故m=0时，ymin=109.此时S△F2AB取得最大值为3.
点评：函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，并用适当的代数方法（如配方、基本不等式、函数单调性等）加以解决.
八、函数与方程的思想在函数综合性问题中的应用
例8 已知函数h（x）=（x-a）ex a.
（1）若x∈[-1，1]，求函数h（x）的最小值；
（2）当a=3时，若对x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae e 152成立，求b的范围.
解析：（1）h′（x）=（x-a 1）ex，令h′（x）=0得x=a-1.
当a-1≤-1即a≤0时，在[-1，1]上h′（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为h（-1）=a-1 ae.
当-1 当a-1≥1即a≥2时，在[-1，1]上h′（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1-a）e a.
综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为a-1 ae，当a≥2时h（x）的最小值为（1-a）e a，当0 （2）令f（x）=x2-2bx-ae e 152，
由题可知“对x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae e 152成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[-1，1]上的最小值”.即h（x）min≥f（x）min.
由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1-a）e a=-2e 3.
当a=3时，f（x）=x2-2bx-2e 152=（x-b）2-b2-2e 152，x∈[1，2]，
①当b≤1时，f（x）min=f（1）=-2b-2e 172，由-2e 3≥-2b-2e 172得b≥114，与b≤1矛盾，舍去.
②当1 ③当b≥2时，f（x）min=f（2）=-4b-2e 232，由-2e 3≥-4b-2e 232得b≥178.
综上，b的取值范围是[178， ∞）.
点评：函数综合性问题在高考中，一般处于压轴题的地位，难度较大，这类问题与函数与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.尤其是对于一类不等式恒成立问题和函数零点问题，往往可利用导数将其转化为函数问题，进而利用函数性质或函数的图象特征，将其解决.
方法归纳
1.函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系.
2.在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想.
3.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决.
考情解读
高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一.
要点梳理
函数思想
一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题.
方程思想
1.方程思想就是将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，使问题得到解决.
2.方程思想与函数思想密切相关：方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标；函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通过方程进行研究，方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
函数与方程思想在解题中的应用
1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
（1）借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
（2）在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.
2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
（1）解方程或解不等式；
（2）带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；
（3）需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；
（4）构造方程或不等式求解问题.
热点突破
一、函数与方程的思想在方程问题中的应用
例1 （1）已知函数f（x）滿足：①定义域为R；②x∈R，都有f（x 2）=f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x| 1.则方程f（x）=12log2|x|在区间[-3，5]内解的个数是 .
（2）设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax logay=c，这时，a的取值的集合为 .
解析：（1）画出y1=f（x），y2=12log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.
（2）由已知得y=acx，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，y∈[ac-12，ac-1]，
所以ac-12≥a
ac-1≤a2c≥2 loga2
c≤3.
因为有且只有一个常数c符合题意，所以2 loga2=3，解得a=2，
所以a的取值的集合为{2}.
点评：（1）方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.（2）对于方程中的含参问题，往往可以将方程问题转化为函数问题，并利用函数的有关性质加以解决.
二、函数与方程的思想在不等式恒成立中的应用
例2 （1）当x∈（1，2）时，不等式x2 mx 4<0恒成立，则m的取值范围是 .
（2）设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[23， ∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1） 4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是 .
解析：（1）当x∈（1，2）时，由x2 mx 4<0得m<-x2 4x.令f（x）=x2 4x=x 4x，则易知f（x）在（1，2）上是减函数，∴x∈[1，2]时f（x）max=f（1）=5，则（-x2 4x）min>-5，∴m≤-5.
（2）依据题意得x2m2-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1 4（m2-1）在x∈[32， ∞）上恒定成立，即1m2-4m2≤-3x2-2x 1在x∈[32， ∞）上恒成立.当x=32时函数y=-3x2-2x 1取得最小值-53，∴1m2-4m2≤-53，即（3m2 1）（4m2-3）≥0，解得m≤-32或m≥32.
点评：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可转化为f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.
三、函数与方程的思想在三角函数中的应用
例3 （1）已知sin（α β）=23，sin（α-β）=15，则tanαtanβ= .
（2）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是 .
解析：（1）解法1：由已知得 sinαcosβ cosαsinβ=23
sinαcosβ-cosαsinβ=15，
∴sinαcosβ=1330，cosαsinβ=730，
∴tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137.
解法2：令x=tanαtanβ，∵sin（α β）sin（α-β）=103，
且sin（α β）sin（α-β）=sin（α β）cosαcosβsin（α-β）cosαcosβ=tanα tanβtanα-tanβ
=tanαtanβ 1tanαtanβ-1=x 1x-1.
∵x 1x-1=103，解得x=137，即tanαtanβ=137.
（2）可设BC=x，则AC=2x，
根据面积公式得S△ABC=x1-cos2B，由余弦定理计算得cosB=4-x24x，
代入上式得
S△ABC=x1-（4-x24x）2=128-（x2-12）216，
由2x x>2
x 2>2x，得22-2
点评：（1）在三角函数的求值问题中，有时可将把这个需求的值看出方程的解，于是把三角函数求值问题，转化为解方程问题.（2）解三角形的最值问题，最常见的方法，就是建立目标函数，转化为函数的最值问题.
四、函数与方程的思想在平面向量中的应用
例4 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若AC·BE=1，则AB的长为 .
解析：解法1：因为AC=AB AD，BE=BA AD DE
=-AB AD 12AB=AD-12AB，
所以AC·BE=（AB AD）·（AD-12AB）
=AD2 12AD·AB-12AB2
=1 12×1×|AB|cos60°-12|AB|2=1，
所以14|AB|-12|AB|2=0，解得|AB|=12.故AB的长为12.
解法2：如图，以A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，则A（0，0），D（1，0），设AB的长为a，则B（a2，32a），C（1 a2，32a），因为E是CD的中点，
所以E（1 a4，34a），所以AC=（1 a2，32a），BE=（1-a4，-34a），
AC·BE=（1 a2）（1-a4）-38a2=1，即2a2-a=0，
解得a=12或a=0（舍去）.故AB的长为12.
点评：向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，最终转化为函数或方程问题，从而使问题得到解决.（2）基向量法，适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
五、函数与方程的思想在数列中的应用
例5 （1）数列{an}的通项公式an=n（n 4）（23）n的最大项为第 项.
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn.
是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n 1）？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由.
解析：（1）an≥an 1
an≥an-11-10≤n≤1 10
n≥1010≤n≤1 10，
由n∈N*得n=4，所以最大项为a4.
（2）假设存在满足条件的数列{an}，设此数列的公差为d，则
[a1 （n-1）d][a1n n（n-1）2d]=2n2（n 1），得
d22n2 （32a1d-d2）n （a21-32a1d 12d2）=2n2 2n对n∈N*恒成立，
则d22=2
32a1d-d2=2
a21-32a1d 12d2=0，解得d=2
a1=2
或d=-2
a1=-2此时an=2n，或an=-2n.
故存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有an·Sn=2n2（n 1）.
其中an=2n，或an=-2n.
点评：（1）等差（比）数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；（2）数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解.（3）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.（4）求解数列中的若干未知量问题，常可通过待定系数或联立方程组来解决，若出现多解时，注意要根据题目要求作适当的取舍.
六、函数与方程的思想在立體几何中的应用
例6 某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为 .
解析：如图所示，在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点P，BC的中点E，连结BP，EP，CP，易证AD⊥平面BPC，
所以VABCD=13S△BPC·AD
=13×12×a×a2-x24-a24·x
=112a·（3a2-x2）x2
=112a·-（x2-3a22）2 9a44≤18a3，
当且仅当x2=32a2，即x=62a时取等号.
故答案：18a3.
点评：在立体几何的有关计算问题中，往往可将变量间的关系转化为方程或函数关系，从而将几何问题代数化.本题中，四面体体积的大小取决于AD的大小，于是把AD看成自变量，将四面体体积转化为函数问题，进而通过求函数的最值求得四面体体积的最值，体现了函数思想在立体几何中的应用. 七、函数与方程的思想在解析几何中的应用
例7 已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分别为F1和F2，由4个点M（-a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值.
解析：（1）由条件，得b=3，且2a 2c2·3=33，所以a c=3，
又a2-c2=3，故可解得a=2，c=1.所以椭圆的方程x24 y23=1.
（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my-1，直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）.
联立方程x24 y23=1
x=my-1，消去x得，（3m2 4）y2-6my-9=0，
因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交.
∴y1 y2=6m3m2 4，y1·y2=-93m2 4，
S△F2AB=12|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|
=（y1 y2）2-4y1y2=12m2 1（3m2 4）2
=4m2 1（m2 1 13）2
=41m2 1 23 19（m2 1），
令t=m2 1≥1，设y=t 19t，当令t∈（0，13）时，函数单调递减，当t∈（13， ∞）时函数单调递增.所以当t=m2 1=1，即m=0时，ymin=109.
故m=0时，ymin=109.此时S△F2AB取得最大值为3.
点评：函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，并用适当的代数方法（如配方、基本不等式、函数单调性等）加以解决.
八、函数与方程的思想在函数综合性问题中的应用
例8 已知函数h（x）=（x-a）ex a.
（1）若x∈[-1，1]，求函数h（x）的最小值；
（2）当a=3时，若对x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae e 152成立，求b的范围.
解析：（1）h′（x）=（x-a 1）ex，令h′（x）=0得x=a-1.
当a-1≤-1即a≤0时，在[-1，1]上h′（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为h（-1）=a-1 ae.
当-1
综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为a-1 ae，当a≥2时h（x）的最小值为（1-a）e a，当0
由题可知“对x1∈[-1，1]，x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae e 152成立”等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[-1，1]上的最小值”.即h（x）min≥f（x）min.
由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1-a）e a=-2e 3.
当a=3时，f（x）=x2-2bx-2e 152=（x-b）2-b2-2e 152，x∈[1，2]，
①当b≤1时，f（x）min=f（1）=-2b-2e 172，由-2e 3≥-2b-2e 172得b≥114，与b≤1矛盾，舍去.
②当1
综上，b的取值范围是[178， ∞）.
点评：函数综合性问题在高考中，一般处于压轴题的地位，难度较大，这类问题与函数与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.尤其是对于一类不等式恒成立问题和函数零点问题，往往可利用导数将其转化为函数问题，进而利用函数性质或函数的图象特征，将其解决.
方法归纳
1.函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系.
2.在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想.
3.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决.