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本文从随机变量和随机过程的定义出发，分析了金融数学在建立股票价格模型时，将股票价格与时间之间的数量关系抽象为随机变量的基本概念错误，无形中导致研究对象从一个样本函数改变为样本函数的集合，从而推导出了“股票价格服从对数正态分布”这一与事实不符的错误结论。本文将股票价格与时间之间的数量关系还原为时间函数，根据“股票价格的对数收益率为白噪声序列”的实证研究结果，建立了可正确描述股票价格波动现象及规律的样本函数模型，为解决金融市场中资产定价、最优配置、风险管理及金融监管等实际问题提供了正确的数学模型及方法。
一、引言
金融数学是一门运用数学模型及方法，研究和揭示金融资产价格数量关系及其变化规律，并解决金融市场中资产定价、最优配置、风险管理及金融监管等实际问题的应用数学理论。金融数学的历史最早可追溯到1900年法国巴黎大学巴舍利耶（Bachelier）的博士论文《投机理论》，巴舍利耶首先使用概率方法来研究股票价格波动现象，并将随时间变化的股票价格看作一个增量独立的随机过程，构建出随机游走模型来描述股票价格随时间的变化过程，根据中心极限定理推导出了股票价格服从正态概率的结论。巴舍利耶的研究不仅标志着金融数学理论的诞生，而且也为后来金融数学的发展提供了“将股票价格假设为随机变量”的研究方法。1952年，马科维茨（Markowitz）使用随机变量的均值和方差分别描述证券投资的收益和风险，建立了引发“第一次华尔街数学革命”的组合投资理论，马科维茨因在金融数学领域的开创性工作，获得了1990年诺贝尔经济学奖。1973年，布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）基于几何布朗运动模型，推导出了著名的B-S期权定价公式，带动了金融衍生品市场的快速创新发展，引发了“第二次华尔街数学革命”，金融数学的理论大厦就此在随机变量假设的基础上建立起来。
金融数学在金融市场的应用，使金融市场获得了空前规模的发展，但是也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃。人们从众多的案例分析中得出结论：金融数学建立的股票价格模型并不能正确描述股票价格的波动现象及规律，金融数学在金融领域的应用是失败的，金融数学因此陷入了严重的学科危机（高宏，2021）。本文从随机变量和随机过程的定义出发，分析了金融数学在建立股票价格模型时，将股票价格与时间之间的数量关系假设为随机变量的基本概念错误，无形中改变了股票价格的定义域，导致研究对象从一个样本函数改变为样本函数的集合，从而推导出了“股票价格服从对数正态分布”这一与事实不符的错误结论。本文将股票价格与时间之间的数量关系还原为时间函数，根据“股票价格的对数收益率为白噪声序列”的实证研究结果，建立了可正确描述股票价格波动现象及规律的样本函数模型。
二、概率论中的随机变量定义
随机变量是概率论中一个极为重要的基本概念，也是研究随机现象的基本工具。引入随机变量的主要目的是：把随机试验的结果数量化，将随机事件的结果映射为实数，这样就可以利用数学分析方法来研究随机现象。
随机变量的定义涉及随机试验、样本点和样本空间三个基本概念。随機试验是指人们对随机现象进行的观察或观测，随机试验具有以下3个特征：一是可重复性。在相同条件下可重复进行;二是多结果性。试验结果不止一个，但所有可能的结果都是事先明确可知的;三是不确定性。每次试验之前不能确定会出现哪一个结果，但可以肯定会出现上述所有可能结果中的一个。
尽管一次随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的。我们把大量重复随机试验会出现的每一种可能的结果称为一个样本点，一般记为ω;全部样本点的集合称为样本空间，一般记为Ω。
定义：设随机试验的样本空间为Ω={ω}，若X（ω）为定义在样本空间Ω上的单值实数函数，则称X（ω）为随机变量，简记为X。
随机变量的取值可以是连续的，也可以是离散的，根据随机变量取值的不同，可以分为连续型随机变量和离散型随机变量。
通常用大写英文字母X，Y，Z，…来表示随机变量，用小写英文字母x，y，z，…表示实数。如果随机试验的结果本身就是一个实数x，即样本点ω本身是一个实数，这时常定义X= X（ω）= ω= x。
对于抛硬币试验，试验结果可能是硬币正面向上，也可能是硬币反面向上，即有两种可能的结果，而且只有这两种结果，事先可以明确。因此该试验所对应的样本空间Ω由ω1和 ω2两个样本点构成，我们指定实数1和-1分别与样本点ω1和 ω2对应（图1），则随机变量可写成：
从上述随机变量的定义可以看出，随机变量X的取值由样本点ω决定，也就是说，随机变量X是样本点ω的函数，即有X= X（ω），因此，随机变量的定义域为样本空间Ω。
随机变量实质上是一个定义在“随机试验所有可能结果集合”上的单值实数函数，随机变量的不同取值与随机试验的所有可能结果一一对应，随机变量的值随试验结果的不同而变化。从数学上讲，随机变量就是一个从随机试验结果的集合到实数集的映射。
三、随机过程与随机变量的关系
在现实世界中，许多随机现象都是随着时间的进程而变化发展的，这类动态随机现象就是所谓的随机过程。例如在相同条件下重复10次观察一个从原点出发的布朗粒子位移x随时间t的变化过程，可得到图2所示的10条布朗粒子位移曲线，这10次测量结果也可分别用10个时间函数x1（t），x2（t），…，x10（t）表示。尽管每次的试验结果各不相同，但每次的结果却是一个确定性的时间函数xi（t）。若同时观测10个从原点出发的布朗粒子位移x随时间t的变化过程，也会得到与图2类似的试验结果曲线。
显然，对每个布朗粒子的观测结果均为一个随时间变化的实数，亦即随机过程的试验结果是一族时间函数x1（t），x2（t），…，xi（t），…，也就是说，随机过程试验的样本点ωi与时间函数xi（t）一一对应（图3）。 由于随机过程的试验结果是一族时间函数，因此我们可用定义在Ω×T上的二元函数X（ω，t）来描述随机过程的所有试验结果，下面给出X（ω，t）在四种不同情况下的含义：
一是固定ω，X（ω，t）是一个自变量为t，定义域为T的普通函数，它是一次随机过程试验（即在T上进行一次全程观测）所得到的一条记录曲线或一个时间函数x（t），通常称为随机过程的一次物理实现或一个样本函数（轨道）。样本函数x（t）是确定性的时间函数，从时间角度刻画了随机过程;二是固定t，X（ω，t）是一个定义在样本空间Ω上的单值实数函数，也就是概率论中的随机变量，简记为X（t）。从概率论的观点来看，随机过程就是一族有时间标记的随机变量X（t），随机变量X（t）从空间角度刻画了大量布朗粒子在某一时刻的位置分布规律;三是固定ω，固定t，X（ω，t）是一个实数，表示某次随机过程试验在t时刻的观测值;四是当ω和t均变化时，随机过程试验的所有结果构成一族样本函数，因此，所有这些样本函数的总体或集合就構成了随机过程。
综上所述，我们可以从两个不同的角度给出随机过程的两种等价定义。定义1：随机过程是一族依赖于样本空间的时间函数集合。定义2：随机过程是一族依赖于时间的随机变量集合。定义1把随机过程看成是一族样本函数的集合，这是概率论随机变量定义的推广。概率论将样本空间中的样本点映射成实数轴上的一个点，而随机过程则是将样本空间中的样本点映射成一个时间函数（随时间变化的实数）。定义2把随机过程看成是概率论中多维随机变量的推广，可以把多维随机变量的理论做为随机过程理论的基础。
以上两种定义从不同的角度描述了随机过程，其本质是相同的，互为补充。在工程技术领域经常对随机过程做实际观测，常用定义1，随着观测次数的增加，所得样本函数数量也越多，则越能掌握随机过程的统计规律。定义2与概率论中的随机变量定义相联系，因此在数学领域做随机过程理论分析时，常用定义2。时间分割越小，多维随机变量的维数n也就越大，越能细致描述随机过程的统计规律。
随机变量X（t）和样本函数x（t）是两个具有完全不同定义域和值域的函数（表1）。随机变量符号X（t）并不表示X（t）是时间t的函数，X（t）是定义在样本空间Ω上的单值实数函数，X（t）是样本点ω的函数，X（t）只表示t时刻所有样本函数的取值，即X（t）={ x1（t），x2（t），…，xi（t），…}。
在实际应用中，随机变量X（t）和样本函数x（t）描述的是完全不同的随机现象。样本函数x（t）用来记录或描述一个布朗粒子的位移随时间变化过程，随机变量X（t）则用来描述大量布朗粒子在某一时刻的空间位置分布。所有布朗粒子在t时刻的位置，或所有样本函数x（t）在t时刻的函数值，就是t时刻随机变量X（t）的取值。
对于图2所示的布朗运动，所有样本函数x（t）在t时刻的函数值，亦即t时刻的随机变量X（t）= { x1（t），x2（t），…，xi（t），…}服从（0，σ2t}正态分布。
四、各态历经随机过程
研究随机过程的统计特性，从理论上说需要通过实验观测得到所有样本函数x（t），然后才能用统计方法求出不同时刻随机变量X（t）的数学期望、方差和自相关函数等数字特征，但这在实际研究工作中往往办不到，因为这需要对一个随机过程进行大量重复的实验或观察，甚至需要实验次数N趋于无穷大时才能满足要求。
有一种平稳随机过程，对其任何一个样本函数x（t）所做的各种时间平均，从概率意义上趋近于随机变量X（t）的各种统计平均，则称之为具有各态历经性的随机过程。
各态历经随机过程的任何一个样本函数x（t）都经历了随机过程X（ω，t）的所有可能状态，因此可用任何一个样本函数x（t）的时间平均来代替X（t）的统计平均或集合平均，简化随机现象的测量和计算过程，给解决实际问题带来极大的方便。例如，分析电子产品中的白噪声时，用常规方法，需要在同一条件下，同时测量并记录所有电子产品中的白噪声电压或电流波形，再用统计方法计算出白噪声过程的均值、方差和自相关函数等数字特征。而利用白噪声过程的各态历经性，则只需要在同一条件下，长时间测量并记录一台电子产品的白噪声，然后用求时间平均的方法，即可获得白噪声过程的均值、方差和自相关函数等数字特征，大大简化实际问题的研究过程。
对于布朗运动这类非平稳随机过程，各个样本函数具有不同的上升或下降趋势，整个过程不具有各态历经性。因此，研究布朗运动的随机变量和样本函数时，要分别采用概率分析方法和函数分析方法来研究它们的空间统计特性和时间变化规律。
五、随机变量假设错误分析
金融数学首先令S（t）表示t时刻的股票价格，然后又假设S（t）为随机变量，使用概率方法计算t时刻股票价格S（t）的数学期望E[S（t）]和方差D[S（t）]。
金融数学首先用S（t）表示t时刻的股票价格，由于对于任意一个t，都有唯一确定的一个S（t）与其对应，表明S（t）是定义在时域T上的一般函数，因此S（t）只是随机过程S（ω，t） 固定ω时的一个样本函数，映射的是样本空间Ω中的一个样本点，亦即随机试验的一次试验结果。
金融数学随后又假设S（t）为随机变量，表明S（t）是定义在样本空间Ω上的函数，也就是t时刻的随机变量，映射的是样本空间Ω上的所有样本点，亦即随机试验的所有试验结果。
我们观察到的股票价格随时间变化过程，与一个布朗粒子的位移变化过程类似，只是随机试验的一个试验结果，只能被抽象为随机过程的一个样本函数。
如果用S（t）表示t时刻的股票价格，则S（t）是时间t的一般函数。从随机过程的定义看，S（t）是随机过程S（ω，t） 固定ω时的一个样本函数，定义域为时域T。但是金融数学又将S（t）假设为随机变量，无形中将S（t）的定义域从时域T改变为样本空间Ω，混淆了样本函数和随机变量所表达的内涵和外延，导致研究对象从一个样本函数改变为样本函数的集合，因而只能用样本函数集合的统计特性来描述一个样本函数的波动规律，建立的价格模型势必无法正确描述股票价格波动现象及规律。 六、对数正态分布性质与事实不符
金融数学令S（t）表示t时刻的股票价格，又假设S（t）为随机变量（Stampfli，2008;Hull，2011;Ross 2014），并满足下面的随机微分方程（几何布朗运动模型）：（2）
式中μ为资产价格收益率的数学期望，σ为资产价格收益率的标准差（波动率），B（t）为服从N（0，1）的标准布朗运动。
求解式（1）的随机微分方程为：（3）
因此对数股票价格ln S（t）的数学期望和方差分别为：（4）（5）
表明对数股票价格ln S（t）服从方差为σ2t的正态分布。
假设对数股票价格ln S（t）服从正态分布，根据正态分布的性质，对数股票价格曲线ln S（t）应具有如下两个特点：一是对称性。在每一时刻t，对数股票价格ln S（t）在数学期望E[ln S（t）]两侧出现的次数大致相等;二是集中性。在每一时刻t，对数股票价格ln S（t）在数学期望E[ln S（t）]附近出现的次数最多。
根据正态分布的对称性和集中性，可画出满足几何布朗運动模型的对数股票价格ln S（t）仿真曲线（图4）。
显然，几何布朗运动模型描述的对数股票价格ln S（t）仿真曲线与实际的对数股票价格曲线完全不符。
此外，若对数股票价格ln S（t）服从方差为σ2t的正态分布，则ln S（t）在范围内波动的概率为99.73%，表明对数股票价格ln S（t）的波动范围与时间t的平方根成正比。随着时间t的增加，对数股票价格ln S（t）的波动范围越来越大，与实际对数股票价格在固定宽度的线性通道内运行的实证研究结果严重不符。
七、重新建立股票价格模型
（一）白噪声
定义：若平稳随机过程样本函数n（t）的均值为零，方差为σ2，如果其自相关函数为：（6）
式中τ为时间间隔，δ（τ）为单位冲击函数，则称n（t）为白噪声。
根据维纳-辛钦定理，任意一个均值为常数的广义平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换，可得n（t）的功率谱密度为：（7）
即n（t）的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，σ2的物理意义代表信号n（t）在单位电阻上产生的平均功率。
式（6）表明，n（t）在任何两个不同时刻的取值互不相关。因此，n（t）的信号波形为一串宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲。
（二）股票价格对数收益率
设s（t）为t时刻的股票价格，y（t）=ln s（t），则s（t）在Δt区间上的对数收益率为：
?y（t）=y（t+?t）-y（t） （8）
大量的实证分析结果均表明，股票价格的对数收益率是随机的，为零均值不相关白噪声序列（Fama，1965）。
图5为上证指数1996年4月—2021年7月的收盘价对数收益率（日），显然，上证指数的对数收益率在下一时刻的方向和大小完全随机变化，与白噪声序列相似。对其进行统计分析，近似服从均值为0，标准差σ=0.02的正态分布。
（三）股票价格波动定律
定律是用科学语言表述的对研究对象的规律性认识，定律是构建科学理论的基础。例如，力学中的牛顿三大定律，爱因斯坦相对论中的相对性原理和光速不变原理。
定律一般采用数学公式表达，这样不仅便于人们对定律的内容作出准确的解释，有效指导科学认识活动，同时还便于人们运用逻辑演绎和数学演算的方法进行严格的论证，推导出新的结论，作出新的科学预言，相对准确地预测事物或现象的未来变化和发展趋势。
根据股票价格对数收益率为白噪声序列的实证研究结果，提出如下的股票价格波动定律：
?y（t）=n（t） （9）
式中n（t）为式（6）定义的白噪声样本函数，即股票价格的对数收益率或对数股票价格的一阶差分为零均值不相关白噪声。
式（9）描述的股票价格波动定律，是根据股票市场已有的知识、经验及事实，对过去、现在及未来股票价格运动现象及规律所做出的一种假定性和推测性论断，也是建立股票价格数学模型、金融数学科学理论或推导其他命题的起点和基础。从式（9）经严格逻辑推理得到的相关命题和结论，对股票价格具有解释和预见功能，能够预测股票价格的发展趋势和变化结果。
（四）股票价格样本函数模型
将式（9）的差分方程看作离散化微分方程，设y（0）=0，可得股票价格样本函数模型：（10）
式中n（t）为式（6）定义的白噪声样本函数。
n（t）的定义域为[-∞，+∞]，但是式（10）将n（t）在区间[0，t]上截断后积分，因此式（10）为非线性时变数学模型。
事实上，式（10）的股票价格模型就是积分形式的布朗运动样本函数模型，可根据式（10）演绎推导出股票价格在时域及频域的所有性质和运动规律（高宏，2019）。
八、结论
由于随机变量定义及概念的抽象性和复杂性，金融数学出现了将股票价格与时间之间的数量关系假设为随机变量的基本概念错误，无形中改变了股票价格的定义域，导致研究对象从一个样本函数改变为样本函数的集合，建立的股票价格随机变量模型不可能正确描述并预测股票价格波动趋势及规律，在应用时必然会给金融市场带来巨大的灾难。因此，现有的金融数学理论完全建立在错误的随机变量假设基础之上，将面临重大范式变革。金融数学将摒弃随机变量假设，将股票价格与时间之间的数量关系还原为时间函数，在样本函数基础上重建股票价格模型和金融数学理论，全面替代现有教科书中的错误内容，使金融数学知识体系发生根本性的变革，把人类对金融市场数量关系及其变化规律的认识提高到一个崭新的水平，并对金融市场的健康发展产生巨大影响。
参考文献：
[1]高宏.金融数学的学科危机与变革[J].时代金融，2021（4）：58-60.
[2]Joseph Stampfli & Victor Goodman.金融数学[M].蔡明超 译.北京： 机械工业出版社，2008.
[3]John C.Hull.期权、期货及其他衍生产品[M].王勇译.北京：机械工业出版社，2011.
[4]Sheldon M.Ross.数理金融初步[M].冉启康 译.北京：机械工业出版社，2014.
[5]Fama.Random Walks In Stock Market Prices[J].Financial Analysts Journal，1965，21（5）：75-80.
[6]高宏.股票价格白噪声积分模型及时域和频域特性研究[J].当代经济，2019（9）：31-33.
作者单位：高宏，清华大学;梅圣烽，英国格拉斯哥大学
一、引言
金融数学是一门运用数学模型及方法，研究和揭示金融资产价格数量关系及其变化规律，并解决金融市场中资产定价、最优配置、风险管理及金融监管等实际问题的应用数学理论。金融数学的历史最早可追溯到1900年法国巴黎大学巴舍利耶（Bachelier）的博士论文《投机理论》，巴舍利耶首先使用概率方法来研究股票价格波动现象，并将随时间变化的股票价格看作一个增量独立的随机过程，构建出随机游走模型来描述股票价格随时间的变化过程，根据中心极限定理推导出了股票价格服从正态概率的结论。巴舍利耶的研究不仅标志着金融数学理论的诞生，而且也为后来金融数学的发展提供了“将股票价格假设为随机变量”的研究方法。1952年，马科维茨（Markowitz）使用随机变量的均值和方差分别描述证券投资的收益和风险，建立了引发“第一次华尔街数学革命”的组合投资理论，马科维茨因在金融数学领域的开创性工作，获得了1990年诺贝尔经济学奖。1973年，布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）基于几何布朗运动模型，推导出了著名的B-S期权定价公式，带动了金融衍生品市场的快速创新发展，引发了“第二次华尔街数学革命”，金融数学的理论大厦就此在随机变量假设的基础上建立起来。
金融数学在金融市场的应用，使金融市场获得了空前规模的发展，但是也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃。人们从众多的案例分析中得出结论：金融数学建立的股票价格模型并不能正确描述股票价格的波动现象及规律，金融数学在金融领域的应用是失败的，金融数学因此陷入了严重的学科危机（高宏，2021）。本文从随机变量和随机过程的定义出发，分析了金融数学在建立股票价格模型时，将股票价格与时间之间的数量关系假设为随机变量的基本概念错误，无形中改变了股票价格的定义域，导致研究对象从一个样本函数改变为样本函数的集合，从而推导出了“股票价格服从对数正态分布”这一与事实不符的错误结论。本文将股票价格与时间之间的数量关系还原为时间函数，根据“股票价格的对数收益率为白噪声序列”的实证研究结果，建立了可正确描述股票价格波动现象及规律的样本函数模型。
二、概率论中的随机变量定义
随机变量是概率论中一个极为重要的基本概念，也是研究随机现象的基本工具。引入随机变量的主要目的是：把随机试验的结果数量化，将随机事件的结果映射为实数，这样就可以利用数学分析方法来研究随机现象。
随机变量的定义涉及随机试验、样本点和样本空间三个基本概念。随機试验是指人们对随机现象进行的观察或观测，随机试验具有以下3个特征：一是可重复性。在相同条件下可重复进行;二是多结果性。试验结果不止一个，但所有可能的结果都是事先明确可知的;三是不确定性。每次试验之前不能确定会出现哪一个结果，但可以肯定会出现上述所有可能结果中的一个。
尽管一次随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的。我们把大量重复随机试验会出现的每一种可能的结果称为一个样本点，一般记为ω;全部样本点的集合称为样本空间，一般记为Ω。
定义：设随机试验的样本空间为Ω={ω}，若X（ω）为定义在样本空间Ω上的单值实数函数，则称X（ω）为随机变量，简记为X。
随机变量的取值可以是连续的，也可以是离散的，根据随机变量取值的不同，可以分为连续型随机变量和离散型随机变量。
通常用大写英文字母X，Y，Z，…来表示随机变量，用小写英文字母x，y，z，…表示实数。如果随机试验的结果本身就是一个实数x，即样本点ω本身是一个实数，这时常定义X= X（ω）= ω= x。
对于抛硬币试验，试验结果可能是硬币正面向上，也可能是硬币反面向上，即有两种可能的结果，而且只有这两种结果，事先可以明确。因此该试验所对应的样本空间Ω由ω1和 ω2两个样本点构成，我们指定实数1和-1分别与样本点ω1和 ω2对应（图1），则随机变量可写成：
从上述随机变量的定义可以看出，随机变量X的取值由样本点ω决定，也就是说，随机变量X是样本点ω的函数，即有X= X（ω），因此，随机变量的定义域为样本空间Ω。
随机变量实质上是一个定义在“随机试验所有可能结果集合”上的单值实数函数，随机变量的不同取值与随机试验的所有可能结果一一对应，随机变量的值随试验结果的不同而变化。从数学上讲，随机变量就是一个从随机试验结果的集合到实数集的映射。
三、随机过程与随机变量的关系
在现实世界中，许多随机现象都是随着时间的进程而变化发展的，这类动态随机现象就是所谓的随机过程。例如在相同条件下重复10次观察一个从原点出发的布朗粒子位移x随时间t的变化过程，可得到图2所示的10条布朗粒子位移曲线，这10次测量结果也可分别用10个时间函数x1（t），x2（t），…，x10（t）表示。尽管每次的试验结果各不相同，但每次的结果却是一个确定性的时间函数xi（t）。若同时观测10个从原点出发的布朗粒子位移x随时间t的变化过程，也会得到与图2类似的试验结果曲线。
显然，对每个布朗粒子的观测结果均为一个随时间变化的实数，亦即随机过程的试验结果是一族时间函数x1（t），x2（t），…，xi（t），…，也就是说，随机过程试验的样本点ωi与时间函数xi（t）一一对应（图3）。 由于随机过程的试验结果是一族时间函数，因此我们可用定义在Ω×T上的二元函数X（ω，t）来描述随机过程的所有试验结果，下面给出X（ω，t）在四种不同情况下的含义：
一是固定ω，X（ω，t）是一个自变量为t，定义域为T的普通函数，它是一次随机过程试验（即在T上进行一次全程观测）所得到的一条记录曲线或一个时间函数x（t），通常称为随机过程的一次物理实现或一个样本函数（轨道）。样本函数x（t）是确定性的时间函数，从时间角度刻画了随机过程;二是固定t，X（ω，t）是一个定义在样本空间Ω上的单值实数函数，也就是概率论中的随机变量，简记为X（t）。从概率论的观点来看，随机过程就是一族有时间标记的随机变量X（t），随机变量X（t）从空间角度刻画了大量布朗粒子在某一时刻的位置分布规律;三是固定ω，固定t，X（ω，t）是一个实数，表示某次随机过程试验在t时刻的观测值;四是当ω和t均变化时，随机过程试验的所有结果构成一族样本函数，因此，所有这些样本函数的总体或集合就構成了随机过程。
综上所述，我们可以从两个不同的角度给出随机过程的两种等价定义。定义1：随机过程是一族依赖于样本空间的时间函数集合。定义2：随机过程是一族依赖于时间的随机变量集合。定义1把随机过程看成是一族样本函数的集合，这是概率论随机变量定义的推广。概率论将样本空间中的样本点映射成实数轴上的一个点，而随机过程则是将样本空间中的样本点映射成一个时间函数（随时间变化的实数）。定义2把随机过程看成是概率论中多维随机变量的推广，可以把多维随机变量的理论做为随机过程理论的基础。
以上两种定义从不同的角度描述了随机过程，其本质是相同的，互为补充。在工程技术领域经常对随机过程做实际观测，常用定义1，随着观测次数的增加，所得样本函数数量也越多，则越能掌握随机过程的统计规律。定义2与概率论中的随机变量定义相联系，因此在数学领域做随机过程理论分析时，常用定义2。时间分割越小，多维随机变量的维数n也就越大，越能细致描述随机过程的统计规律。
随机变量X（t）和样本函数x（t）是两个具有完全不同定义域和值域的函数（表1）。随机变量符号X（t）并不表示X（t）是时间t的函数，X（t）是定义在样本空间Ω上的单值实数函数，X（t）是样本点ω的函数，X（t）只表示t时刻所有样本函数的取值，即X（t）={ x1（t），x2（t），…，xi（t），…}。
在实际应用中，随机变量X（t）和样本函数x（t）描述的是完全不同的随机现象。样本函数x（t）用来记录或描述一个布朗粒子的位移随时间变化过程，随机变量X（t）则用来描述大量布朗粒子在某一时刻的空间位置分布。所有布朗粒子在t时刻的位置，或所有样本函数x（t）在t时刻的函数值，就是t时刻随机变量X（t）的取值。
对于图2所示的布朗运动，所有样本函数x（t）在t时刻的函数值，亦即t时刻的随机变量X（t）= { x1（t），x2（t），…，xi（t），…}服从（0，σ2t}正态分布。
四、各态历经随机过程
研究随机过程的统计特性，从理论上说需要通过实验观测得到所有样本函数x（t），然后才能用统计方法求出不同时刻随机变量X（t）的数学期望、方差和自相关函数等数字特征，但这在实际研究工作中往往办不到，因为这需要对一个随机过程进行大量重复的实验或观察，甚至需要实验次数N趋于无穷大时才能满足要求。
有一种平稳随机过程，对其任何一个样本函数x（t）所做的各种时间平均，从概率意义上趋近于随机变量X（t）的各种统计平均，则称之为具有各态历经性的随机过程。
各态历经随机过程的任何一个样本函数x（t）都经历了随机过程X（ω，t）的所有可能状态，因此可用任何一个样本函数x（t）的时间平均来代替X（t）的统计平均或集合平均，简化随机现象的测量和计算过程，给解决实际问题带来极大的方便。例如，分析电子产品中的白噪声时，用常规方法，需要在同一条件下，同时测量并记录所有电子产品中的白噪声电压或电流波形，再用统计方法计算出白噪声过程的均值、方差和自相关函数等数字特征。而利用白噪声过程的各态历经性，则只需要在同一条件下，长时间测量并记录一台电子产品的白噪声，然后用求时间平均的方法，即可获得白噪声过程的均值、方差和自相关函数等数字特征，大大简化实际问题的研究过程。
对于布朗运动这类非平稳随机过程，各个样本函数具有不同的上升或下降趋势，整个过程不具有各态历经性。因此，研究布朗运动的随机变量和样本函数时，要分别采用概率分析方法和函数分析方法来研究它们的空间统计特性和时间变化规律。
五、随机变量假设错误分析
金融数学首先令S（t）表示t时刻的股票价格，然后又假设S（t）为随机变量，使用概率方法计算t时刻股票价格S（t）的数学期望E[S（t）]和方差D[S（t）]。
金融数学首先用S（t）表示t时刻的股票价格，由于对于任意一个t，都有唯一确定的一个S（t）与其对应，表明S（t）是定义在时域T上的一般函数，因此S（t）只是随机过程S（ω，t） 固定ω时的一个样本函数，映射的是样本空间Ω中的一个样本点，亦即随机试验的一次试验结果。
金融数学随后又假设S（t）为随机变量，表明S（t）是定义在样本空间Ω上的函数，也就是t时刻的随机变量，映射的是样本空间Ω上的所有样本点，亦即随机试验的所有试验结果。
我们观察到的股票价格随时间变化过程，与一个布朗粒子的位移变化过程类似，只是随机试验的一个试验结果，只能被抽象为随机过程的一个样本函数。
如果用S（t）表示t时刻的股票价格，则S（t）是时间t的一般函数。从随机过程的定义看，S（t）是随机过程S（ω，t） 固定ω时的一个样本函数，定义域为时域T。但是金融数学又将S（t）假设为随机变量，无形中将S（t）的定义域从时域T改变为样本空间Ω，混淆了样本函数和随机变量所表达的内涵和外延，导致研究对象从一个样本函数改变为样本函数的集合，因而只能用样本函数集合的统计特性来描述一个样本函数的波动规律，建立的价格模型势必无法正确描述股票价格波动现象及规律。 六、对数正态分布性质与事实不符
金融数学令S（t）表示t时刻的股票价格，又假设S（t）为随机变量（Stampfli，2008;Hull，2011;Ross 2014），并满足下面的随机微分方程（几何布朗运动模型）：（2）
式中μ为资产价格收益率的数学期望，σ为资产价格收益率的标准差（波动率），B（t）为服从N（0，1）的标准布朗运动。
求解式（1）的随机微分方程为：（3）
因此对数股票价格ln S（t）的数学期望和方差分别为：（4）（5）
表明对数股票价格ln S（t）服从方差为σ2t的正态分布。
假设对数股票价格ln S（t）服从正态分布，根据正态分布的性质，对数股票价格曲线ln S（t）应具有如下两个特点：一是对称性。在每一时刻t，对数股票价格ln S（t）在数学期望E[ln S（t）]两侧出现的次数大致相等;二是集中性。在每一时刻t，对数股票价格ln S（t）在数学期望E[ln S（t）]附近出现的次数最多。
根据正态分布的对称性和集中性，可画出满足几何布朗運动模型的对数股票价格ln S（t）仿真曲线（图4）。
显然，几何布朗运动模型描述的对数股票价格ln S（t）仿真曲线与实际的对数股票价格曲线完全不符。
此外，若对数股票价格ln S（t）服从方差为σ2t的正态分布，则ln S（t）在范围内波动的概率为99.73%，表明对数股票价格ln S（t）的波动范围与时间t的平方根成正比。随着时间t的增加，对数股票价格ln S（t）的波动范围越来越大，与实际对数股票价格在固定宽度的线性通道内运行的实证研究结果严重不符。
七、重新建立股票价格模型
（一）白噪声
定义：若平稳随机过程样本函数n（t）的均值为零，方差为σ2，如果其自相关函数为：（6）
式中τ为时间间隔，δ（τ）为单位冲击函数，则称n（t）为白噪声。
根据维纳-辛钦定理，任意一个均值为常数的广义平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换，可得n（t）的功率谱密度为：（7）
即n（t）的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，σ2的物理意义代表信号n（t）在单位电阻上产生的平均功率。
式（6）表明，n（t）在任何两个不同时刻的取值互不相关。因此，n（t）的信号波形为一串宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲。
（二）股票价格对数收益率
设s（t）为t时刻的股票价格，y（t）=ln s（t），则s（t）在Δt区间上的对数收益率为：
?y（t）=y（t+?t）-y（t） （8）
大量的实证分析结果均表明，股票价格的对数收益率是随机的，为零均值不相关白噪声序列（Fama，1965）。
图5为上证指数1996年4月—2021年7月的收盘价对数收益率（日），显然，上证指数的对数收益率在下一时刻的方向和大小完全随机变化，与白噪声序列相似。对其进行统计分析，近似服从均值为0，标准差σ=0.02的正态分布。
（三）股票价格波动定律
定律是用科学语言表述的对研究对象的规律性认识，定律是构建科学理论的基础。例如，力学中的牛顿三大定律，爱因斯坦相对论中的相对性原理和光速不变原理。
定律一般采用数学公式表达，这样不仅便于人们对定律的内容作出准确的解释，有效指导科学认识活动，同时还便于人们运用逻辑演绎和数学演算的方法进行严格的论证，推导出新的结论，作出新的科学预言，相对准确地预测事物或现象的未来变化和发展趋势。
根据股票价格对数收益率为白噪声序列的实证研究结果，提出如下的股票价格波动定律：
?y（t）=n（t） （9）
式中n（t）为式（6）定义的白噪声样本函数，即股票价格的对数收益率或对数股票价格的一阶差分为零均值不相关白噪声。
式（9）描述的股票价格波动定律，是根据股票市场已有的知识、经验及事实，对过去、现在及未来股票价格运动现象及规律所做出的一种假定性和推测性论断，也是建立股票价格数学模型、金融数学科学理论或推导其他命题的起点和基础。从式（9）经严格逻辑推理得到的相关命题和结论，对股票价格具有解释和预见功能，能够预测股票价格的发展趋势和变化结果。
（四）股票价格样本函数模型
将式（9）的差分方程看作离散化微分方程，设y（0）=0，可得股票价格样本函数模型：（10）
式中n（t）为式（6）定义的白噪声样本函数。
n（t）的定义域为[-∞，+∞]，但是式（10）将n（t）在区间[0，t]上截断后积分，因此式（10）为非线性时变数学模型。
事实上，式（10）的股票价格模型就是积分形式的布朗运动样本函数模型，可根据式（10）演绎推导出股票价格在时域及频域的所有性质和运动规律（高宏，2019）。
八、结论
由于随机变量定义及概念的抽象性和复杂性，金融数学出现了将股票价格与时间之间的数量关系假设为随机变量的基本概念错误，无形中改变了股票价格的定义域，导致研究对象从一个样本函数改变为样本函数的集合，建立的股票价格随机变量模型不可能正确描述并预测股票价格波动趋势及规律，在应用时必然会给金融市场带来巨大的灾难。因此，现有的金融数学理论完全建立在错误的随机变量假设基础之上，将面临重大范式变革。金融数学将摒弃随机变量假设，将股票价格与时间之间的数量关系还原为时间函数，在样本函数基础上重建股票价格模型和金融数学理论，全面替代现有教科书中的错误内容，使金融数学知识体系发生根本性的变革，把人类对金融市场数量关系及其变化规律的认识提高到一个崭新的水平，并对金融市场的健康发展产生巨大影响。
参考文献：
[1]高宏.金融数学的学科危机与变革[J].时代金融，2021（4）：58-60.
[2]Joseph Stampfli & Victor Goodman.金融数学[M].蔡明超 译.北京： 机械工业出版社，2008.
[3]John C.Hull.期权、期货及其他衍生产品[M].王勇译.北京：机械工业出版社，2011.
[4]Sheldon M.Ross.数理金融初步[M].冉启康 译.北京：机械工业出版社，2014.
[5]Fama.Random Walks In Stock Market Prices[J].Financial Analysts Journal，1965，21（5）：75-80.
[6]高宏.股票价格白噪声积分模型及时域和频域特性研究[J].当代经济，2019（9）：31-33.
作者单位：高宏，清华大学;梅圣烽，英国格拉斯哥大学