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伊恩•斯图加特说:“猜想是真正数学家赖以生存的东西”。许多重大的发现都源于猜想。[1]从欧几里德的五个公设到哈密顿构造的四元素;从阿基米德的王冠到牛顿的第一运动定律,无一不体现着这些伟人睿智而闪光的理念与思想,而这些理念与思想的获得都离不开最初对事物的猜想。从古到今,对问题进行猜想,并且给予验证,一直都是一种新的定理,一个新的事物诞生的前提。
对于新课改下的数学教学,更需要对学生“猜想”能力的培养,只有“猜想”才是向学生展示知识产生与发展最好的途径,才是学生对问题进行创新和创造的基础。
1. 培养学生猜想的三个前提 佛洛依德说过:“好奇源于对事物的惊讶”。也就是说,对问题的惊奇与惊讶是产生好奇心的源动力。皮亚杰曾说过:“每一个人都有探索、发现的欲望,有通过自己的努力证实自己的向往”。所以,如何使学生好奇,进而有积极探索的欲望?这就需要教师能从学生感兴趣、熟悉的生活出发,选择与学生直接相关的、发生在他们身边的、可以直接接触的事与物,充分把“现实”展示给学生,让学生在“现实”中感受生活中的灵动与变化,体验蕴藏在生活中的奥秘与玄机,逐步使学生养成观察生活的习惯,自然地产生对生活本质进行探究的愿望,那么他就是一个“好奇”的人了。
如果光有学生的好奇心,仅仅限于学生对事物的“好奇”,这只是一个浅层次的认识,对事物的“好奇”只是一个引子,是一个激发学生创新,探究的“诱饵”,真正重要的是要让学生自主“思索”。思考,才是学生真正的思维过程,才是学生根据自己的生活经验和知识基础进行整合与建构的过程。新课标中,首要的目标是培养学生的创新精神和探究能力,而“思索”才是真正意义上使学生的思维动起来,活起来的呈现形式。要使学生有创新,必然要使学生学会思索。
大量的事实又证明,好奇心的存在及对其进行探索的愿望,只有在充分感兴趣的条件下,才能最大程度的发挥出来。所以,教师不仅要培养学生的好奇心,创设思索的情境,更应该在“情”方面提高自己。一个不受学生喜欢的教师,无法达到在课堂真正与学生的思想进行交流与对话,而学生也不会对一个他不喜欢的人的问题表现出自己热情和兴趣,这是一个双向的互动的过程。关注学生在学习过程所表现出的情感、态度,强调学生的主体地位等,[2]这其实就隐含了对学生兴趣关注与培养的要求。
2. 培养学生猜想能力的三种手段
2.1 通过具体的问题培养学生的直觉思维。直觉是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出敏锐而迅速的假设,猜想或判断。它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃”式的形式,它是一瞬间的思维的火花,是长期积累的一种升华,是思维者的顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰地触及到事物的“本质”。[3]例如:已知如图:
图1
(1)你能说明∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°吗?
(2)让E点往右移动(图2)问:(1)的结论依然成立吗?
(3)你能再画出一种情形吗?在你所画的图中,(1)的结论还成立吗?
第(1)问题,就是让学生根据已有的知识,有目标地完成要求的内容,而从第(2)问题开始,就需要学生有一个在第(1)问题的基础上,利用思维传递的方式,在第(1)问题的表象中“反射”第(2)问题中的关键,此时可能学生就会产生这样的猜想:E虽然运动了,但5个角的和应该是不变的。在教师询句的语气中,便会产生使学生在自己“猜想”的基础上,要验证自己猜想的真实性的动力。当对第(2)问题解决之后,学生满怀信心地去操作第(3)问题,可能会出现不只一种情形的情况,直觉会告诉他:(1)的结论依然成立,验证的方法依然如故。通过这种问题串,就能很好的开发学生直觉思维,一旦这样的直觉思维能力被挖掘并得到发展,会缩短学生猜想正确结论的过程。
2.2 加强学生的估算能力,合情推理能力等数学能力的培养。正确的猜想,不是凭空产生的,它必须是建立在丰富、系统的知识底蕴之上,要有一定的思维创造与综合的能力。对数据的处理能力,对数的敏感程度和快速的估算也是正确猜想不可少的元素。那么,如何培养学生这方面的能力呢?举个例子:新疆某工厂近六年的产值如表1所示:
让学生猜想:2005年该公司的产值大约是多少?对这个问题进行正确的猜想,必须要对数据进行一定的估算,还要结合实际情况,即需要进行合情推理,才能猜想2005年的情况。又如《课标》中的一个例子:一个高1.4米的人在平均水深1.2米的河里,他会有危险吗?[4]要对这个问题进行正确的猜想必须了解“平均水深”这个概念,这就需要对数字进行分析才行,这样学生才能体会“可能会有危险”这个结论的合理与正确。
2.3 让学生走出教室,观察生活、观察世界、学会感悟。“跟着感觉走”这句话里其实已经包含了猜想的成份,只是没有把它上升为一种思维观念。只有当学生的眼界宽了,思想活了,感受丰富而细致了,才能更深刻体会事物的变化与联系,才能更好更快捷地“猜想”。
3. 验证与猜想应该是同步进行的 光是对事物进行“猜想”是不够的,任何定理的获得,任何新事物的产生,都是在大量的验证中,在严密的证明中定性的。猜想得到的结论是一个“虚”的,只有验证了,才能变成“现实”的。比如:八年级下册第七章《证明》中的第一节中的《你能肯定吗?》中的几道颢:把围绕地球赤道的铁丝加长10米,铁丝与地球的间隙能钻进去一头牛,还是一只老鼠?很多学生(包括成人)都认为最多能钻过一只老鼠。当通过演算,最后发现铁丝与地球的间隙达1.6米左右,完全可以钻过一头牛这个结论是很让人吃惊的,但这就是事实。所以任何结论的成立,包括猜想得到的,都需要不断的验证、证明才能成为永垂不朽的真理。
4. 教师在培养学生猜想能力的时候需要注意的问题 作为传授知识的教师,传授的应该是正确的,不可辩驳的定性的知识,学生猜想的过程,只是学生自主探索过程中感受知识发生发展的过程,而不是最主要的获得知识的方式。必须要让学生意识到猜想只是探究的一种手段,不是唯一的手段。猜想紧跟其后的必须有对自己猜想的验证,这才能是“猜想”活动的完整建立。在猜想的时候,也不能肆意发挥、无边无际、信口开河,必须进行一定的知识重组与整合,并有理有据,这才是真正的“猜想”。在教学过程中,教师自己也应该形成一定的正确猜想的能力。在上课过程中,还需要给学生充足的时间来思考,并必须严格要求验证的过程。通过以上的环节,我想学生猜想能力的提高是指日可待的。
新课改下的教师只是学生获取知识的引路人,把知识产生的全过程充分暴露给学生是创新的需要、是发展的需要、是培养学生实践能力,用数学方法解决问题的需要。猜想只是实施这个过程的一个方法,一种手段,旨在让学生在对数学的学习中,体现独特的个性。其实生活中有时候并不是全部的知识或信息都需要验证,只是你能根据自己的需要有选择性获取知识或信息就可以了。从这一方面来说,猜想,又有它独特的实用价值,它将伴随学生的整个学习过程,贯穿我们每个人的人生过程。
诸葛孔明的妙计、雅典娜的锦囊,其实都不只是传说中的神话,在现代社会中,我们都可以从数学的角度来解释。智慧是存在于每一个人的头脑中的,我们需要做的,就是不断地开发它、挖掘它。而选择“猜想”应该是实现这个目标非常有用的途径。
参考文献
[1]《中小学数学》 2009年第4期
[2]《课程标准解读》第238页
[3]《中学数学论文网》的《论直觉思维》
[4]《初中数学课程标准》
收稿日期:2010-04-19
对于新课改下的数学教学,更需要对学生“猜想”能力的培养,只有“猜想”才是向学生展示知识产生与发展最好的途径,才是学生对问题进行创新和创造的基础。
1. 培养学生猜想的三个前提 佛洛依德说过:“好奇源于对事物的惊讶”。也就是说,对问题的惊奇与惊讶是产生好奇心的源动力。皮亚杰曾说过:“每一个人都有探索、发现的欲望,有通过自己的努力证实自己的向往”。所以,如何使学生好奇,进而有积极探索的欲望?这就需要教师能从学生感兴趣、熟悉的生活出发,选择与学生直接相关的、发生在他们身边的、可以直接接触的事与物,充分把“现实”展示给学生,让学生在“现实”中感受生活中的灵动与变化,体验蕴藏在生活中的奥秘与玄机,逐步使学生养成观察生活的习惯,自然地产生对生活本质进行探究的愿望,那么他就是一个“好奇”的人了。
如果光有学生的好奇心,仅仅限于学生对事物的“好奇”,这只是一个浅层次的认识,对事物的“好奇”只是一个引子,是一个激发学生创新,探究的“诱饵”,真正重要的是要让学生自主“思索”。思考,才是学生真正的思维过程,才是学生根据自己的生活经验和知识基础进行整合与建构的过程。新课标中,首要的目标是培养学生的创新精神和探究能力,而“思索”才是真正意义上使学生的思维动起来,活起来的呈现形式。要使学生有创新,必然要使学生学会思索。
大量的事实又证明,好奇心的存在及对其进行探索的愿望,只有在充分感兴趣的条件下,才能最大程度的发挥出来。所以,教师不仅要培养学生的好奇心,创设思索的情境,更应该在“情”方面提高自己。一个不受学生喜欢的教师,无法达到在课堂真正与学生的思想进行交流与对话,而学生也不会对一个他不喜欢的人的问题表现出自己热情和兴趣,这是一个双向的互动的过程。关注学生在学习过程所表现出的情感、态度,强调学生的主体地位等,[2]这其实就隐含了对学生兴趣关注与培养的要求。
2. 培养学生猜想能力的三种手段
2.1 通过具体的问题培养学生的直觉思维。直觉是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出敏锐而迅速的假设,猜想或判断。它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃”式的形式,它是一瞬间的思维的火花,是长期积累的一种升华,是思维者的顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰地触及到事物的“本质”。[3]例如:已知如图:
图1
(1)你能说明∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°吗?
(2)让E点往右移动(图2)问:(1)的结论依然成立吗?
(3)你能再画出一种情形吗?在你所画的图中,(1)的结论还成立吗?
第(1)问题,就是让学生根据已有的知识,有目标地完成要求的内容,而从第(2)问题开始,就需要学生有一个在第(1)问题的基础上,利用思维传递的方式,在第(1)问题的表象中“反射”第(2)问题中的关键,此时可能学生就会产生这样的猜想:E虽然运动了,但5个角的和应该是不变的。在教师询句的语气中,便会产生使学生在自己“猜想”的基础上,要验证自己猜想的真实性的动力。当对第(2)问题解决之后,学生满怀信心地去操作第(3)问题,可能会出现不只一种情形的情况,直觉会告诉他:(1)的结论依然成立,验证的方法依然如故。通过这种问题串,就能很好的开发学生直觉思维,一旦这样的直觉思维能力被挖掘并得到发展,会缩短学生猜想正确结论的过程。
2.2 加强学生的估算能力,合情推理能力等数学能力的培养。正确的猜想,不是凭空产生的,它必须是建立在丰富、系统的知识底蕴之上,要有一定的思维创造与综合的能力。对数据的处理能力,对数的敏感程度和快速的估算也是正确猜想不可少的元素。那么,如何培养学生这方面的能力呢?举个例子:新疆某工厂近六年的产值如表1所示:
让学生猜想:2005年该公司的产值大约是多少?对这个问题进行正确的猜想,必须要对数据进行一定的估算,还要结合实际情况,即需要进行合情推理,才能猜想2005年的情况。又如《课标》中的一个例子:一个高1.4米的人在平均水深1.2米的河里,他会有危险吗?[4]要对这个问题进行正确的猜想必须了解“平均水深”这个概念,这就需要对数字进行分析才行,这样学生才能体会“可能会有危险”这个结论的合理与正确。
2.3 让学生走出教室,观察生活、观察世界、学会感悟。“跟着感觉走”这句话里其实已经包含了猜想的成份,只是没有把它上升为一种思维观念。只有当学生的眼界宽了,思想活了,感受丰富而细致了,才能更深刻体会事物的变化与联系,才能更好更快捷地“猜想”。
3. 验证与猜想应该是同步进行的 光是对事物进行“猜想”是不够的,任何定理的获得,任何新事物的产生,都是在大量的验证中,在严密的证明中定性的。猜想得到的结论是一个“虚”的,只有验证了,才能变成“现实”的。比如:八年级下册第七章《证明》中的第一节中的《你能肯定吗?》中的几道颢:把围绕地球赤道的铁丝加长10米,铁丝与地球的间隙能钻进去一头牛,还是一只老鼠?很多学生(包括成人)都认为最多能钻过一只老鼠。当通过演算,最后发现铁丝与地球的间隙达1.6米左右,完全可以钻过一头牛这个结论是很让人吃惊的,但这就是事实。所以任何结论的成立,包括猜想得到的,都需要不断的验证、证明才能成为永垂不朽的真理。
4. 教师在培养学生猜想能力的时候需要注意的问题 作为传授知识的教师,传授的应该是正确的,不可辩驳的定性的知识,学生猜想的过程,只是学生自主探索过程中感受知识发生发展的过程,而不是最主要的获得知识的方式。必须要让学生意识到猜想只是探究的一种手段,不是唯一的手段。猜想紧跟其后的必须有对自己猜想的验证,这才能是“猜想”活动的完整建立。在猜想的时候,也不能肆意发挥、无边无际、信口开河,必须进行一定的知识重组与整合,并有理有据,这才是真正的“猜想”。在教学过程中,教师自己也应该形成一定的正确猜想的能力。在上课过程中,还需要给学生充足的时间来思考,并必须严格要求验证的过程。通过以上的环节,我想学生猜想能力的提高是指日可待的。
新课改下的教师只是学生获取知识的引路人,把知识产生的全过程充分暴露给学生是创新的需要、是发展的需要、是培养学生实践能力,用数学方法解决问题的需要。猜想只是实施这个过程的一个方法,一种手段,旨在让学生在对数学的学习中,体现独特的个性。其实生活中有时候并不是全部的知识或信息都需要验证,只是你能根据自己的需要有选择性获取知识或信息就可以了。从这一方面来说,猜想,又有它独特的实用价值,它将伴随学生的整个学习过程,贯穿我们每个人的人生过程。
诸葛孔明的妙计、雅典娜的锦囊,其实都不只是传说中的神话,在现代社会中,我们都可以从数学的角度来解释。智慧是存在于每一个人的头脑中的,我们需要做的,就是不断地开发它、挖掘它。而选择“猜想”应该是实现这个目标非常有用的途径。
参考文献
[1]《中小学数学》 2009年第4期
[2]《课程标准解读》第238页
[3]《中学数学论文网》的《论直觉思维》
[4]《初中数学课程标准》
收稿日期:2010-04-19