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摘要：对于“倍拼法”求三角形的面积，学生的心中有很多问号。如果将教材的编排直接作为教学的流程，则少了思维的曲折和碰撞，把学生一下带到了思维的终点。对此，重构《三角形的面积》一课教学：立足学生的学情，选择合适的史料融入教学，让学生在古今思维的碰撞中产生共鸣，体会数学知识产生和发展的过程，让思维得以丰盈。
关键词：数学史;“倍拼法”;“以盈补缺”;《三角形的面积》
一、学情分析及史料拓展
“三角形的面积”是苏教版小学数学五年级上册中的内容。在此之前，学生已经认识了“面积”，知道了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形的面积计算方法，为本课的学习储备了相应的知识基础。如图1所示，教材主要通过“倍拼法”引导学生理解三角形的面积公式，即“全等拼接，折半求积”，也就是将两个全等的三角形拼成平行四边形，所以一个三角形的面积是所在平行四边形面积的一半，公式为S=ah÷2。这一方法通过建立三角形面积与平行四边形面积的关系来解释公式，与欧几里得在《几何原本》中的思路是一致的。“倍拼法”简单、直观，紧密联系了学生前一节课学过的“平行四边形的面积”，具有普适性。
而在实际教学过程中，我们发现，学生很难自主想到“倍拼法”的策略，几乎都是在教材或者教师指导下被动操作。为什么教材的编写逻辑与学生的学习现状不一致呢？翻阅“认识面积”以及“平行四边形的面积”相关的教材内容，能发现些许端倪：学生在之前的学习过程中具备了面积守恒的意识，知道将一个图形切割、重组后面积不变;受平行四边形的面积计算公式推导过程的影响，学生比较容易想到运用“等积转化”，把一个三角形“割补”成长方形进行公式推导。
我国古代数学著作《九章算术》中的史料，能给学生这样的认知经验注入历史的厚重感。《九章算术》的“方田章”中介绍了直线型图形的面积计算公式和实际运用问题。其中，第25题为：“今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？术曰：半广以乘正从。”圭，即圭形，指三角形;“广”指三角形的底边长;“正从”指三角形底边上的高。也就是用三角形底的一半乘三角形的高。著名数学家刘徽在《九章算术注》中利用“以盈补虚”的原理注释了三角形面积公式的这种推导方法，苏教版教材在《你知道吗》栏目（见图2）也有所提及。“以盈补虚”实则就是“割补法”，即把一个平面图形经过分割、移补，使其面积保持不变，来计算它们的面积，体现的还是转化的思想。
二、教学重构：让数学史料丰盈学生思维
对于教材的拼法，“为什么这样拼？又是怎么想到这样的拼法的？还有其他解决问题的路径吗？……”学生的心中有很多问号。如果将教材的编排直接作为教学的流程，则少了思维的曲折和碰撞，把学生一下带到了思维的终点——方格对三角形和平行四边形的量性特征进行了刻画，学生只需要数一数、算一算即可获知涂色三角形的面积。这样的教学，心中有书，但“目中无人”。美国数学史家卡约黎认为，一门学科的历史是“使面包和黄油更加可口的蜂蜜”。为此，我们需要立足学生的学情，选择合适的史料融入教学，让学生在古今思维的碰撞中产生共鸣，体会数学知识产生和发展的过程，让思维得以丰盈。基于上述思考，笔者重新建构了本课教学，过程如下——
（课前，教师发放习题纸，要求学生在习题纸上的图3中画一画、写一写，然后算出三角形的面积。）
师你们是怎么算出这个三角形的面积的？
生我认为，要算出三角形的面积，其实就是要数清三角形内有多少个1平方厘米的正方形。虽然有些格子不是整格的，但是可以通过切拼的方法，凑成整格的。（展示方法，如图4）将①号、②号三角形切割，旋转后和上面空缺的地方拼补起来，这样就拼成了长方形，长6厘米，宽3厘米，面积就是18平方厘米。
师这样切拼转化后的长方形与原来的三角形有什么联系呢？
生面积相等，而且长方形的长与三角形的一条高长度相等。
生三角形最下面这条底边的长度和转化后长方形宽的长度之间有倍数关系。两次分割，将三角形底边的6厘米分成三段，两端的线段分别属于①号和②号三角形，中间一段就是长方形的宽。①号和②号的两段拼起来后也等于长方形的宽。所以说三角形最下面这条底的长度是长方形宽的长度的2倍。
（全班自发鼓掌。）
师你们是怎么评价这种切割之后再拼补的“割补法”的？
生“割补法”将三角形转化成了等面积的长方形，将原来三角形内不好计数的非整格拼成了整格，就回到了长方形的面积计算。
师“退”是一种学习数学的策略。“割补法”在锐角三角形中成功了，那在钝角三角形和直角三角形中也能应用吗？我们不妨来试一试。
（学生通过操作发现，钝角三角形和直角三角形也可以用“割补法”转化成等面积的长方形。）
师如果用第一位同学的方法，（出示图5）在△ABC上割下①号和②号，你觉得应该从哪里开始割？怎么割？自己动手画一画，也可以动手剪一剪，拼一拼。
（学生操作后交流。）
生（边解说边操作，过程如图6）我们发现要从AB和AC的中点向BC边作垂线，然后沿着垂线剪开，这样就有了4个直角。找中点，是因为我们发现①号直角三角形的斜边必须找一条和它一样长的线段拼到一起，所以要将AB平均分成两段。
师虽然方格纸没有了，但是我们的思考却更深入了。“割补法”在我国古代数学名著《九章算术》中就有记载，著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法做了说明。古人概括三角形的面积的计算方法是“半广以乘正从”，（出示图7）你能结合图来解释一下这种计算方法吗？
生“半广”是长方形的宽，也就是三角形底边长度的一半。“从”是长方形的长，也是三角形的高。所以三角形的面积=半广×从，用现在的话说就是：S△=底÷2×高。
生我觉着第一位同学的割补方法有些麻烦，（展示做法，如图8）我将原三角形沿高分成两个直角三角形，①号、②号分别是它们所在长方形面积的一半，所以①号、②号的面积分別是12平方厘米、6平方厘米。所以三角形的总面积是18平方厘米。 师从他的图中，能看出三角形和大长方形的关系吗？
生三角形的底是长方形的长，三角形的高等于长方形的宽。三角形的面积是它所在的大长方形面积的一半。
生所以我们又可以有一种新的求三角形面积的方法了，S△=S长方形÷2=底×高÷2。
师这两种转化方法都是将三角形和长方形建立联系：第一种方法，“割补法”，“以盈补虚”，得到的长方形的面积等于三角形的面积;第二种方法，“倍拼法”，得到的长方形的面积是三角形面积的2倍。虽然每一种算法里都有“÷2”，但背后的思路却不一样。深入思考会给我们带来不一样的收获。
生其实还有一个证明三角形的面积是长方形面积一半的方法。（展示做法，如图9）将倍拼后的①号向右平移6格之后，可以和倍拼后的②号拼成一个三角形，这个三角形和原来的三角形都只包含①号、②号两部分，所以它们的面积是相等的。也就是说三角形的面积是长方形面积的一半。
生我突然发现，两个大三角形就拼成了一个平行四边形，而且三角形的面积也是平行四边形面积的一半。
生这样，整体思路又可以进一步简化了：两个完全一样的三角形就可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是所在平行四边形面积的一半。
生那我们又能得到求三角形面积的新方法了：因为三角形的底和平行四边形的底相等，三角形底边上的高也就是平行四边形对应底边上的高，所以S△=S平行四边形÷2=底×高÷2。
师虽然两次都得到了S△=底×高÷2，但是思路上又有了变化，我们可以从多个角度来理解这里的“底×高”。
……
虽然学生最终推导出的三角形的面积公式都是S△=底×高÷2，但是每一次推導的思维路径却是不一样的，无论是“底×高”还是“÷2”，在每一次的推导中的意义是不同的，因此也对应着不同的诠释。学生对原先冷冰冰的三角形面积公式多了一份火热的思考，对图形之间的关系进行了多向度的沟通和转化，达成了更为灵活和精妙的推理，形成了多角度的理解。
从历史出发，观照现在，能够更好地捕捉知识的核心价值;数学史的链接和融入，能够给教学带来新的方向，使学生的思维愈加丰盈。
参考文献：
[1] 张苍，等.九章算术[M].邹涌，译解.重庆：重庆出版社，2016.
[2] 郭书春.九章算术译注[M].上海：上海古籍出版社，2010.
[3] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
[4] 文萍，岳增成，普粉丽.基于课程标准的小学数学教材的比较与启示——以“三角形面积”内容为例[J].小学数学教师，2019（10）.
关键词：数学史;“倍拼法”;“以盈补缺”;《三角形的面积》
一、学情分析及史料拓展
“三角形的面积”是苏教版小学数学五年级上册中的内容。在此之前，学生已经认识了“面积”，知道了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形的面积计算方法，为本课的学习储备了相应的知识基础。如图1所示，教材主要通过“倍拼法”引导学生理解三角形的面积公式，即“全等拼接，折半求积”，也就是将两个全等的三角形拼成平行四边形，所以一个三角形的面积是所在平行四边形面积的一半，公式为S=ah÷2。这一方法通过建立三角形面积与平行四边形面积的关系来解释公式，与欧几里得在《几何原本》中的思路是一致的。“倍拼法”简单、直观，紧密联系了学生前一节课学过的“平行四边形的面积”，具有普适性。
而在实际教学过程中，我们发现，学生很难自主想到“倍拼法”的策略，几乎都是在教材或者教师指导下被动操作。为什么教材的编写逻辑与学生的学习现状不一致呢？翻阅“认识面积”以及“平行四边形的面积”相关的教材内容，能发现些许端倪：学生在之前的学习过程中具备了面积守恒的意识，知道将一个图形切割、重组后面积不变;受平行四边形的面积计算公式推导过程的影响，学生比较容易想到运用“等积转化”，把一个三角形“割补”成长方形进行公式推导。
我国古代数学著作《九章算术》中的史料，能给学生这样的认知经验注入历史的厚重感。《九章算术》的“方田章”中介绍了直线型图形的面积计算公式和实际运用问题。其中，第25题为：“今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？术曰：半广以乘正从。”圭，即圭形，指三角形;“广”指三角形的底边长;“正从”指三角形底边上的高。也就是用三角形底的一半乘三角形的高。著名数学家刘徽在《九章算术注》中利用“以盈补虚”的原理注释了三角形面积公式的这种推导方法，苏教版教材在《你知道吗》栏目（见图2）也有所提及。“以盈补虚”实则就是“割补法”，即把一个平面图形经过分割、移补，使其面积保持不变，来计算它们的面积，体现的还是转化的思想。
二、教学重构：让数学史料丰盈学生思维
对于教材的拼法，“为什么这样拼？又是怎么想到这样的拼法的？还有其他解决问题的路径吗？……”学生的心中有很多问号。如果将教材的编排直接作为教学的流程，则少了思维的曲折和碰撞，把学生一下带到了思维的终点——方格对三角形和平行四边形的量性特征进行了刻画，学生只需要数一数、算一算即可获知涂色三角形的面积。这样的教学，心中有书，但“目中无人”。美国数学史家卡约黎认为，一门学科的历史是“使面包和黄油更加可口的蜂蜜”。为此，我们需要立足学生的学情，选择合适的史料融入教学，让学生在古今思维的碰撞中产生共鸣，体会数学知识产生和发展的过程，让思维得以丰盈。基于上述思考，笔者重新建构了本课教学，过程如下——
（课前，教师发放习题纸，要求学生在习题纸上的图3中画一画、写一写，然后算出三角形的面积。）
师你们是怎么算出这个三角形的面积的？
生我认为，要算出三角形的面积，其实就是要数清三角形内有多少个1平方厘米的正方形。虽然有些格子不是整格的，但是可以通过切拼的方法，凑成整格的。（展示方法，如图4）将①号、②号三角形切割，旋转后和上面空缺的地方拼补起来，这样就拼成了长方形，长6厘米，宽3厘米，面积就是18平方厘米。
师这样切拼转化后的长方形与原来的三角形有什么联系呢？
生面积相等，而且长方形的长与三角形的一条高长度相等。
生三角形最下面这条底边的长度和转化后长方形宽的长度之间有倍数关系。两次分割，将三角形底边的6厘米分成三段，两端的线段分别属于①号和②号三角形，中间一段就是长方形的宽。①号和②号的两段拼起来后也等于长方形的宽。所以说三角形最下面这条底的长度是长方形宽的长度的2倍。
（全班自发鼓掌。）
师你们是怎么评价这种切割之后再拼补的“割补法”的？
生“割补法”将三角形转化成了等面积的长方形，将原来三角形内不好计数的非整格拼成了整格，就回到了长方形的面积计算。
师“退”是一种学习数学的策略。“割补法”在锐角三角形中成功了，那在钝角三角形和直角三角形中也能应用吗？我们不妨来试一试。
（学生通过操作发现，钝角三角形和直角三角形也可以用“割补法”转化成等面积的长方形。）
师如果用第一位同学的方法，（出示图5）在△ABC上割下①号和②号，你觉得应该从哪里开始割？怎么割？自己动手画一画，也可以动手剪一剪，拼一拼。
（学生操作后交流。）
生（边解说边操作，过程如图6）我们发现要从AB和AC的中点向BC边作垂线，然后沿着垂线剪开，这样就有了4个直角。找中点，是因为我们发现①号直角三角形的斜边必须找一条和它一样长的线段拼到一起，所以要将AB平均分成两段。
师虽然方格纸没有了，但是我们的思考却更深入了。“割补法”在我国古代数学名著《九章算术》中就有记载，著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法做了说明。古人概括三角形的面积的计算方法是“半广以乘正从”，（出示图7）你能结合图来解释一下这种计算方法吗？
生“半广”是长方形的宽，也就是三角形底边长度的一半。“从”是长方形的长，也是三角形的高。所以三角形的面积=半广×从，用现在的话说就是：S△=底÷2×高。
生我觉着第一位同学的割补方法有些麻烦，（展示做法，如图8）我将原三角形沿高分成两个直角三角形，①号、②号分别是它们所在长方形面积的一半，所以①号、②号的面积分別是12平方厘米、6平方厘米。所以三角形的总面积是18平方厘米。 师从他的图中，能看出三角形和大长方形的关系吗？
生三角形的底是长方形的长，三角形的高等于长方形的宽。三角形的面积是它所在的大长方形面积的一半。
生所以我们又可以有一种新的求三角形面积的方法了，S△=S长方形÷2=底×高÷2。
师这两种转化方法都是将三角形和长方形建立联系：第一种方法，“割补法”，“以盈补虚”，得到的长方形的面积等于三角形的面积;第二种方法，“倍拼法”，得到的长方形的面积是三角形面积的2倍。虽然每一种算法里都有“÷2”，但背后的思路却不一样。深入思考会给我们带来不一样的收获。
生其实还有一个证明三角形的面积是长方形面积一半的方法。（展示做法，如图9）将倍拼后的①号向右平移6格之后，可以和倍拼后的②号拼成一个三角形，这个三角形和原来的三角形都只包含①号、②号两部分，所以它们的面积是相等的。也就是说三角形的面积是长方形面积的一半。
生我突然发现，两个大三角形就拼成了一个平行四边形，而且三角形的面积也是平行四边形面积的一半。
生这样，整体思路又可以进一步简化了：两个完全一样的三角形就可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是所在平行四边形面积的一半。
生那我们又能得到求三角形面积的新方法了：因为三角形的底和平行四边形的底相等，三角形底边上的高也就是平行四边形对应底边上的高，所以S△=S平行四边形÷2=底×高÷2。
师虽然两次都得到了S△=底×高÷2，但是思路上又有了变化，我们可以从多个角度来理解这里的“底×高”。
……
虽然学生最终推导出的三角形的面积公式都是S△=底×高÷2，但是每一次推導的思维路径却是不一样的，无论是“底×高”还是“÷2”，在每一次的推导中的意义是不同的，因此也对应着不同的诠释。学生对原先冷冰冰的三角形面积公式多了一份火热的思考，对图形之间的关系进行了多向度的沟通和转化，达成了更为灵活和精妙的推理，形成了多角度的理解。
从历史出发，观照现在，能够更好地捕捉知识的核心价值;数学史的链接和融入，能够给教学带来新的方向，使学生的思维愈加丰盈。
参考文献：
[1] 张苍，等.九章算术[M].邹涌，译解.重庆：重庆出版社，2016.
[2] 郭书春.九章算术译注[M].上海：上海古籍出版社，2010.
[3] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
[4] 文萍，岳增成，普粉丽.基于课程标准的小学数学教材的比较与启示——以“三角形面积”内容为例[J].小学数学教师，2019（10）.