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摘 要：错误在数学学习的过程中是无可避免的，如何看待学生在数学学习过程中产生的错误是一个关系学生发展的大问题. 任何事物均有其两面性，既然错误无法避免，那么就必须正确认识错误，充分挖掘错误的价值. 文章以数学学科为背景，从赏识错误、运用错误和珍藏错误三个层面剖析错误存在的价值.
关键词：高中数学；学习过程；错误；价值
“即使是最优秀的数学家也是经常犯错的，只不过他们很快就改正罢了”，这是法国数学家阿达玛对错误的认识. 最优秀的数学家也会犯错，更何况是我们的学生呢？他们受到学习习惯、认知能力、思维完整性等因素的局限，往往更易犯错. 任何事物都有其存在的价值，错误也一样. “谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错，就将错过最富有成效的学习时刻”，美国心理学家盖耶的名言道出了错误的价值所在，因此作为教师，对错误的态度应当是赏识的，要认清错误的正面意义；对错误的措施应当是运用的，不要错过任何一个促进学生发展的机会；对错误的处理应当是珍藏的，要为学生未来的学习珍藏每一笔财富.
[?] 赏识错误：认识错误的正面意义
错误绝不应该被看成是洪水猛兽，但在现存的教育现象中，老师们对待学生所犯的错误往往是苛责的，一旦学生有错，老师的回应通常是“这种问题都错了，你的心思有放在学习上吗？”然而，恰恰是老师们这种苛责的态度挫伤了学生的学习信心，也让老师自己失去了获取生成性教学资源的机会. 究其原因，是因为老师未能从积极的一面看待错误. 赏识错误可以从两个方面来认识：首先，暴露出的问题能够为学生提供自主学习的材料；其次，问题能够激发学生兴趣，提供学习的长足动力.
新课程要求尊重学生的主体地位，推动学生主动发展，因而自主探究的学习方式被提了出来. 要让学生自主学习，不能是漫无目的地随便学习，必须为学生提供可用的素材. 素材从何而来，一方面它可以源自于数学学科专家的思考；另一方面，学生学习过程中出现的错误、产生的疑问，亦可被老师们纳入学案编写、课堂生成性资源的范围内，并且它们应当被当成活生生的教学资源.
例如从教多年的教师都知道，高中必修五简单线性规划这一章节y>kx b和Ax By C>0所表示的平面区域是学生经常出错的地方. 因此，这就可以成自主学习材料的重要内容，在材料设计相关问题，让学生通过画图的方式，自行探究y>kx b和Ax By C>0所表示的区域，并引申出ykx b表示直线上方的区域，而y0时，Ax By C>0表示直线上方区域，而B<0时，Ax By C>0表示直线下方区域.
在学生的学习过程中往往会遇到很多的错误，会给学生造成被动的局面，要化被动为主动，可以拿学生的错误为契机，为学生的学习指明了方向，也为学生自主学习提供了可利用的资源.
1. 设疑激趣，提供自主探究的动力
新课程理念下的课堂要求是动态生成的，要生成必先存在开端，而这个开端就可以是学生所犯下的某些典型错误. 在现实的课堂中，学生往往不能避免这种或那种错误，也正是学生所犯下的错误才为生成性的课堂注入了生命活力，正是学生所犯下的错误才将学生置于知与不知的矛盾中，才将学生的求知渴望激起，为学生提供不竭的学习动力.
例如在如下一类利用基本不等式求解最值问题时，有这么一道典型的例题：y=，学生在板演中写了如下的解题过程：= ≥2，因此ymin=2，在学生一致同意解题过程的情况下，一个显明的“x”，会让学生产生疑问，解题过程不错丝毫，为什么会错呢？由此引发学生的兴趣，为学生的继续学习提供动力，直至学生通过自己努力后发现，自己犯一种典型的错误：忘记基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.通过这样利用课堂过程产生的典型错误，让学生置于知与不知的矛盾中，从而激发学生学习的动力.
[?] 运用错误：以错误促进学生发展
德国哲学家黑格尔曾言：错误乃是达到真理的一个环节，由于错误，真理才会被发现. 在教学过程中，教师不仅要以一种积极的态度去赏识错误，更要善于运用错误，将学生的常见错误转化为促进学生发展的资源. 善用错误，要以错误增强学生的“免疫力”；善用错误，要以错误培养学生好学的学习品质；善用错误，要以错误培养学生问题意识.
1. 善用错误，增强学生的免疫力
每一个事件均有其两面性，在学生学习过程中出现的错误亦不能避免. 错误通常看来是使学生偏离正确轨道的东西，但亦不要忘记，挫折会使人汲取教训，正所谓“前事不忘，后事之师”. 当然这有个前提即学生必须认真对待自己的错误，分析错误的根源. 通过分析寻找原因，就可以在记忆中留下深刻的影响，增强对错误的免疫能力，避免重蹈覆辙.
初学分式不等式时，学生的作业中往往会出现一类常见的错误，即舍去分母等于0的情况. 例如，对<0，学生知道应该将其转化成（x-5）（x-4）<0来处理，而对于≤0时，学生往往是依葫芦画瓢转化成（x-5）（x-4）≤0. 对于这种典型的错误往往是将其呈现在学生面前，引导学生思考错误的原因：可以发现（x-5）（x-4）≤0的解集为[4，5]，当x=4时分式不等式无意义，从而让学生意识到分式不等式成立的前提是分式不等式有意义，而学生错误的根源正是忽视了这一存在性的前提条件. 由此让学生认识到≤0其等价不等式为f（x）g（x）≤0且g（x）≠0.
由此可见，通过错误给予学生以强烈的刺激，学生对所犯的错误印到骨子里，从而有助于学生知觉自己的错误，改正自己的错误，防止自己再出现同样的错误.
2. 善用错误，培养良好学习品质 良好的学习品质与学生的错误看似背道而驰，却有着密切的联系，通常看来良好的学习品质得益于对学生的学习行为加以规范. 但我们不能忽视的一点是学生错误与良好学习品质之间的相互促进作用. 诚然良好的学习品质是学生减少错误的必要条件，但在一定的条件下学生错误往往也能促进学生形成良好的学习品质，问题的关键是教师和学生能否抓住错误的契机，共同克服犯错的心理隘口，形成面对问题细心谨慎，认真钻研的学习品质.
在求解复合函数单调区间时，学生们掌握了内外函数单调性同增异减的求解原则后，往往极易犯下这样一种典型的错误——忘记单调区间必须包含于函数的定义域这一大前提.尤其是在有自变量限制的函数中，更易出现这样的错误，比如以对数函数为外函数的复合函数. 例如y=log2x2-2x-3的单调增区间求解上，学生往往依据同增异减的原则：外函数单调增，内函数在（1， ∞）上单调增，因此得出结论复合函数的单调区间为（1， ∞），此时不妨呈现这样的错误，并设计问题串：①函数在（1， ∞）上值域是什么？②y=log2x的定义域是什么？③函数在x=2处的函数值是什么？以问题串的形式，利用学生的错误，让学生注意到单调区间求解的前提.
当然良好的学习品质并不是仅一次就可形成的，关键在于教师能够发现学生犯错的特点，针对性地进行设计，让学生领悟到问题的本质所在，并努力克服易粗心的毛病，养成细心谨慎的品质.
[?] 珍藏错误：让错误成为师生共同的财富
所谓“失败乃成功之母”，学生的每一次失败，无论对于教师还是对于学生均是一笔宝贵的财富. 对于教师而言，珍藏学生所犯之错，便于教师再次讲课时调整教学思路；对于学生而言，珍藏自己所犯的错误，有利于学生回顾知识，从而避免未来再次犯错.
1. 反馈信息，提供调整教学的思路
课堂的发展起源于教师的预设，没有预设就不存在课堂的发展过程. 但毕竟预设是以教师的眼光看待问题，它与学生的实际存在差异，而学生是课堂的主人，课堂中的一切均应为了学生的发展服务，因此当预设偏离学生的实际时，需要反馈信息让教师调整教学思路，此时学生所犯之错就是最好的反馈源. 通过珍藏学生所反馈的错误信息，也就为教师下次再讲此类问题时提供了标准与思路.
例如在初讲空间角的计算时，教师往往教导学生将空间中异面线所成角转化成两直线的方向向量的夹角来运算，将空间中的线面角转化成直线方向向量与面的法向量的夹角；将面面角转化成两法向量的夹角，正是死守这一信条，学生往往会出现忽视空间元素所成角与向量所成角的区别. 但也正是学生出现这种的错误给教师提供了调整教学思路的契机，再讲时教师往往由立体几何知识复习引入，明确线线角和线面角的取值范围为[0，90°]，然后现将其转化成相关向量夹角来运算.
在教师的教学过程中还存在着许多预设与实际偏离的状况，教师在预设教学过程时是以自己的视角来看待问题，自以为简单的细节往往是学生易错的地方，课堂或作业中暴露出这些问题能够为教师提供反馈信息，成为教师教学改进的资源库，从而完善教学细节.
2. 保存错误，提供回顾复习的资源
很多高考取得优异成绩的学生在谈论自己的感受时，都不约而同地谈论到收集并利用自己曾经做错的题目. 从这个角度看，学生的进步依赖于避免犯同样的错误，减少犯错的关键在于学生能够正视并反省自己曾经犯下的错. 倘若学生将做错的题目简单订正后便抛之脑后，便失去了促进自己进步的资源. 因此，有必要将所有做错的题目收集起来，形成一本错题集. 珍藏自己的错误从学生的角度讲有两重意义：首先，错题集的形成能将各种典型的错误集中起来，形成错误资源库，便于学生回顾复习，以免学生在典型错误上重蹈覆辙；其次，错题集的形成，可成为学生反思的资源，有助于学生反思自己的错误，分析犯错的原因，整理改错的心得.
关键词：高中数学；学习过程；错误；价值
“即使是最优秀的数学家也是经常犯错的，只不过他们很快就改正罢了”，这是法国数学家阿达玛对错误的认识. 最优秀的数学家也会犯错，更何况是我们的学生呢？他们受到学习习惯、认知能力、思维完整性等因素的局限，往往更易犯错. 任何事物都有其存在的价值，错误也一样. “谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错，就将错过最富有成效的学习时刻”，美国心理学家盖耶的名言道出了错误的价值所在，因此作为教师，对错误的态度应当是赏识的，要认清错误的正面意义；对错误的措施应当是运用的，不要错过任何一个促进学生发展的机会；对错误的处理应当是珍藏的，要为学生未来的学习珍藏每一笔财富.
[?] 赏识错误：认识错误的正面意义
错误绝不应该被看成是洪水猛兽，但在现存的教育现象中，老师们对待学生所犯的错误往往是苛责的，一旦学生有错，老师的回应通常是“这种问题都错了，你的心思有放在学习上吗？”然而，恰恰是老师们这种苛责的态度挫伤了学生的学习信心，也让老师自己失去了获取生成性教学资源的机会. 究其原因，是因为老师未能从积极的一面看待错误. 赏识错误可以从两个方面来认识：首先，暴露出的问题能够为学生提供自主学习的材料；其次，问题能够激发学生兴趣，提供学习的长足动力.
新课程要求尊重学生的主体地位，推动学生主动发展，因而自主探究的学习方式被提了出来. 要让学生自主学习，不能是漫无目的地随便学习，必须为学生提供可用的素材. 素材从何而来，一方面它可以源自于数学学科专家的思考；另一方面，学生学习过程中出现的错误、产生的疑问，亦可被老师们纳入学案编写、课堂生成性资源的范围内，并且它们应当被当成活生生的教学资源.
例如从教多年的教师都知道，高中必修五简单线性规划这一章节y>kx b和Ax By C>0所表示的平面区域是学生经常出错的地方. 因此，这就可以成自主学习材料的重要内容，在材料设计相关问题，让学生通过画图的方式，自行探究y>kx b和Ax By C>0所表示的区域，并引申出y
在学生的学习过程中往往会遇到很多的错误，会给学生造成被动的局面，要化被动为主动，可以拿学生的错误为契机，为学生的学习指明了方向，也为学生自主学习提供了可利用的资源.
1. 设疑激趣，提供自主探究的动力
新课程理念下的课堂要求是动态生成的，要生成必先存在开端，而这个开端就可以是学生所犯下的某些典型错误. 在现实的课堂中，学生往往不能避免这种或那种错误，也正是学生所犯下的错误才为生成性的课堂注入了生命活力，正是学生所犯下的错误才将学生置于知与不知的矛盾中，才将学生的求知渴望激起，为学生提供不竭的学习动力.
例如在如下一类利用基本不等式求解最值问题时，有这么一道典型的例题：y=，学生在板演中写了如下的解题过程：= ≥2，因此ymin=2，在学生一致同意解题过程的情况下，一个显明的“x”，会让学生产生疑问，解题过程不错丝毫，为什么会错呢？由此引发学生的兴趣，为学生的继续学习提供动力，直至学生通过自己努力后发现，自己犯一种典型的错误：忘记基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.通过这样利用课堂过程产生的典型错误，让学生置于知与不知的矛盾中，从而激发学生学习的动力.
[?] 运用错误：以错误促进学生发展
德国哲学家黑格尔曾言：错误乃是达到真理的一个环节，由于错误，真理才会被发现. 在教学过程中，教师不仅要以一种积极的态度去赏识错误，更要善于运用错误，将学生的常见错误转化为促进学生发展的资源. 善用错误，要以错误增强学生的“免疫力”；善用错误，要以错误培养学生好学的学习品质；善用错误，要以错误培养学生问题意识.
1. 善用错误，增强学生的免疫力
每一个事件均有其两面性，在学生学习过程中出现的错误亦不能避免. 错误通常看来是使学生偏离正确轨道的东西，但亦不要忘记，挫折会使人汲取教训，正所谓“前事不忘，后事之师”. 当然这有个前提即学生必须认真对待自己的错误，分析错误的根源. 通过分析寻找原因，就可以在记忆中留下深刻的影响，增强对错误的免疫能力，避免重蹈覆辙.
初学分式不等式时，学生的作业中往往会出现一类常见的错误，即舍去分母等于0的情况. 例如，对<0，学生知道应该将其转化成（x-5）（x-4）<0来处理，而对于≤0时，学生往往是依葫芦画瓢转化成（x-5）（x-4）≤0. 对于这种典型的错误往往是将其呈现在学生面前，引导学生思考错误的原因：可以发现（x-5）（x-4）≤0的解集为[4，5]，当x=4时分式不等式无意义，从而让学生意识到分式不等式成立的前提是分式不等式有意义，而学生错误的根源正是忽视了这一存在性的前提条件. 由此让学生认识到≤0其等价不等式为f（x）g（x）≤0且g（x）≠0.
由此可见，通过错误给予学生以强烈的刺激，学生对所犯的错误印到骨子里，从而有助于学生知觉自己的错误，改正自己的错误，防止自己再出现同样的错误.
2. 善用错误，培养良好学习品质 良好的学习品质与学生的错误看似背道而驰，却有着密切的联系，通常看来良好的学习品质得益于对学生的学习行为加以规范. 但我们不能忽视的一点是学生错误与良好学习品质之间的相互促进作用. 诚然良好的学习品质是学生减少错误的必要条件，但在一定的条件下学生错误往往也能促进学生形成良好的学习品质，问题的关键是教师和学生能否抓住错误的契机，共同克服犯错的心理隘口，形成面对问题细心谨慎，认真钻研的学习品质.
在求解复合函数单调区间时，学生们掌握了内外函数单调性同增异减的求解原则后，往往极易犯下这样一种典型的错误——忘记单调区间必须包含于函数的定义域这一大前提.尤其是在有自变量限制的函数中，更易出现这样的错误，比如以对数函数为外函数的复合函数. 例如y=log2x2-2x-3的单调增区间求解上，学生往往依据同增异减的原则：外函数单调增，内函数在（1， ∞）上单调增，因此得出结论复合函数的单调区间为（1， ∞），此时不妨呈现这样的错误，并设计问题串：①函数在（1， ∞）上值域是什么？②y=log2x的定义域是什么？③函数在x=2处的函数值是什么？以问题串的形式，利用学生的错误，让学生注意到单调区间求解的前提.
当然良好的学习品质并不是仅一次就可形成的，关键在于教师能够发现学生犯错的特点，针对性地进行设计，让学生领悟到问题的本质所在，并努力克服易粗心的毛病，养成细心谨慎的品质.
[?] 珍藏错误：让错误成为师生共同的财富
所谓“失败乃成功之母”，学生的每一次失败，无论对于教师还是对于学生均是一笔宝贵的财富. 对于教师而言，珍藏学生所犯之错，便于教师再次讲课时调整教学思路；对于学生而言，珍藏自己所犯的错误，有利于学生回顾知识，从而避免未来再次犯错.
1. 反馈信息，提供调整教学的思路
课堂的发展起源于教师的预设，没有预设就不存在课堂的发展过程. 但毕竟预设是以教师的眼光看待问题，它与学生的实际存在差异，而学生是课堂的主人，课堂中的一切均应为了学生的发展服务，因此当预设偏离学生的实际时，需要反馈信息让教师调整教学思路，此时学生所犯之错就是最好的反馈源. 通过珍藏学生所反馈的错误信息，也就为教师下次再讲此类问题时提供了标准与思路.
例如在初讲空间角的计算时，教师往往教导学生将空间中异面线所成角转化成两直线的方向向量的夹角来运算，将空间中的线面角转化成直线方向向量与面的法向量的夹角；将面面角转化成两法向量的夹角，正是死守这一信条，学生往往会出现忽视空间元素所成角与向量所成角的区别. 但也正是学生出现这种的错误给教师提供了调整教学思路的契机，再讲时教师往往由立体几何知识复习引入，明确线线角和线面角的取值范围为[0，90°]，然后现将其转化成相关向量夹角来运算.
在教师的教学过程中还存在着许多预设与实际偏离的状况，教师在预设教学过程时是以自己的视角来看待问题，自以为简单的细节往往是学生易错的地方，课堂或作业中暴露出这些问题能够为教师提供反馈信息，成为教师教学改进的资源库，从而完善教学细节.
2. 保存错误，提供回顾复习的资源
很多高考取得优异成绩的学生在谈论自己的感受时，都不约而同地谈论到收集并利用自己曾经做错的题目. 从这个角度看，学生的进步依赖于避免犯同样的错误，减少犯错的关键在于学生能够正视并反省自己曾经犯下的错. 倘若学生将做错的题目简单订正后便抛之脑后，便失去了促进自己进步的资源. 因此，有必要将所有做错的题目收集起来，形成一本错题集. 珍藏自己的错误从学生的角度讲有两重意义：首先，错题集的形成能将各种典型的错误集中起来，形成错误资源库，便于学生回顾复习，以免学生在典型错误上重蹈覆辙；其次，错题集的形成，可成为学生反思的资源，有助于学生反思自己的错误，分析犯错的原因，整理改错的心得.