论文部分内容阅读
【摘要】 讨论两类常见的分配问题,用数学工具寻求如何使分配做到最公平的解法.
【关键词】 分配问题 比例方法 Q值方法 不公平度
在市场经济条件下,在高效的管理环境中,如何进行资源以及权利义务的分配是一件关系到各方利益的大事. 根据分配时的已知条件,我们可以将其大致分为两种类型.
第一类:比例已定的分配 . 所谓比例已定是指权利或义务的总量一定,分配比例一定. 如高校管理中的期末考试监考名额的分配,教代会各系代表名额的分配等. 对此情况如何使分配做到公平,是管理人员必须考虑的问题. 根据实际意义,由于名额的分配必须是整数,所以我们只能做到尽量公平. 对于分配结果没有实际意义限制的情况,直接应用比例分配方法即可,在此不加说明.
现以我院教代会各系代表名额的分配为例:我院有五个系一个基础部共180名老师(详细数据如下表),要从中选出49名教师参加教代会. 工会如何分配该名额最公平?如果在选举过程中新增2个代表名额,该名额又该如何分配?
1. 比例方法
(以上数据的计算采用四舍五入)
以上分配采用了习惯性的做法,用分配名额乘以比例然后四舍五入处理. 但是这种分配方法公平吗?由上表观察发现基础部比环资系只多2名教师却多分配了1个代表名额,显然不公平(平均每3.67个教师分到1个名额). 当名额略有增加的时候,我们发现增加的名额却给了生物和环资系,为研究其中的奥妙,我们舍弃惯例,决定建立一个数量指标用来衡量分配是否公平. 方法如下:
假设现有A,B两方参与名额的分配,A,B两方的人数分别记为p1,p2,最终分得的名额分别记为n1,n2(只能取整). 列表如下:
当= 时,表示分配是公平的,也是人们所期望的(当结果没有实际限制时,满足此原则即可).
当>时,表示对A是不公平的. 不妨将-称为对A的绝对不公平度,例如:p1 = 150,n1 =10, = 15 ; p2 = 100, n2 = 10,= 10时,对A的绝对不公平度- = 5. 有了这个数量指标后我们可以计算各系之间的绝对不公平度,来比较相互之间的不公平情况.
如下表(计算结果放大了1000倍)
若教师数量增加,而代表名额没有发生变化时,例如:p1 = 1050,n1 = 10,= 105; p2=1000, n2= 10,= 100时,对A的绝对不公平度- = 5.
上述两种情况下绝对不公平度的计算结果相同,但我们思考后发现后者对A的不公平已经大大降低!<. 尽管如此,我们还是希望能够更精确地衡量不公平度. 由此我们将绝对度量改为相对度量,方法如下:
若>,定义= rA(n1,n2)为对A的相对不公平度,类似可以定义= rB(n1,n2). 而公平的分配方案应使rA,rB尽量小.
2. Q值方法
有的时候由于某种原因需要增加代表名额,我们需重新调整分配结果. 此时上述分配方案就由一次性的静态分配转化为了动态的分配.
即假设A,B已分别有n1,n2个名额,若再增加一个名额,问应分给A,还是B?
不妨设>,即对A不公平.
讨论以下几种情况:
(1) 若> ,则这席应该给A.
(2) 若<,则应计算rB(n1 + 1,n2)和 rA(n1 ,n2+ 1).
(3) 根据初始条件>, >恒成立,所以增加的这席仍应给A( >不会出现).
若 rB(n1 + 1,n2)< rA(n1 ,n2+ 1) ,则这席应给A,反之,给B.
由rA,rB 的定义,得<.
定义Qi =,i = 1,2,则该增加的一个名额给Q值较大的一方推广到m方进行名额分配,设i方人数为pi,名额为ni,若增加1个名额计算Qi =,i = 1,2,…,m,该名额应分配给Q值最大的一方.
第二类:比例未知的分配.
首先来看一个例子:甲､乙两人以6元钱做赌注进行博弈,相约谁先赢满3局,谁就获得全部的赌注. 甲､乙实力相当,每一局都有同等的获胜概率,当进行了3局后,甲胜2局,乙胜1局,后因故两人终止对局,该6元的赌注如何分配才合理?
此类问题在日常生活中也十分常见,已知的对局结果显然对甲有利,所以甲理应多分一些才公平,但具体比例是多少呢?数学家帕斯卡给出了如下的合理分配方法:
考虑到这场赌注至多再进行2局就可见分晓,而这2次中,可能出现4种不同的结果
在前面已经进行了3局的基础上,后面4种结果中前3种情况甲都赢得全部赌注,仅仅在第4种情况出现时,乙才赢得全部赌注,所以分配的比例应该是3:1才公平. 此种考虑个人最终期望所得进行分配的结果才是比较公平的结果.
综上所述,在我们的管理中对分配问题可不能含糊. 对于已知比例的分配要说明的是分配情况不同,所谓的不公平度也有不同的含义,对于权利的分配,当然希望自己分配的权利越多越好,比如代表名额的分配;而义务的分配则希望是分配的义务越少越好,比如监考名额的分配. 所以此时的绝对不公平度是一个相对的概念. 而对于未知比例的分配更是要开通脑筋,找出最公平的分配方法.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】 分配问题 比例方法 Q值方法 不公平度
在市场经济条件下,在高效的管理环境中,如何进行资源以及权利义务的分配是一件关系到各方利益的大事. 根据分配时的已知条件,我们可以将其大致分为两种类型.
第一类:比例已定的分配 . 所谓比例已定是指权利或义务的总量一定,分配比例一定. 如高校管理中的期末考试监考名额的分配,教代会各系代表名额的分配等. 对此情况如何使分配做到公平,是管理人员必须考虑的问题. 根据实际意义,由于名额的分配必须是整数,所以我们只能做到尽量公平. 对于分配结果没有实际意义限制的情况,直接应用比例分配方法即可,在此不加说明.
现以我院教代会各系代表名额的分配为例:我院有五个系一个基础部共180名老师(详细数据如下表),要从中选出49名教师参加教代会. 工会如何分配该名额最公平?如果在选举过程中新增2个代表名额,该名额又该如何分配?
1. 比例方法
(以上数据的计算采用四舍五入)
以上分配采用了习惯性的做法,用分配名额乘以比例然后四舍五入处理. 但是这种分配方法公平吗?由上表观察发现基础部比环资系只多2名教师却多分配了1个代表名额,显然不公平(平均每3.67个教师分到1个名额). 当名额略有增加的时候,我们发现增加的名额却给了生物和环资系,为研究其中的奥妙,我们舍弃惯例,决定建立一个数量指标用来衡量分配是否公平. 方法如下:
假设现有A,B两方参与名额的分配,A,B两方的人数分别记为p1,p2,最终分得的名额分别记为n1,n2(只能取整). 列表如下:
当= 时,表示分配是公平的,也是人们所期望的(当结果没有实际限制时,满足此原则即可).
当>时,表示对A是不公平的. 不妨将-称为对A的绝对不公平度,例如:p1 = 150,n1 =10, = 15 ; p2 = 100, n2 = 10,= 10时,对A的绝对不公平度- = 5. 有了这个数量指标后我们可以计算各系之间的绝对不公平度,来比较相互之间的不公平情况.
如下表(计算结果放大了1000倍)
若教师数量增加,而代表名额没有发生变化时,例如:p1 = 1050,n1 = 10,= 105; p2=1000, n2= 10,= 100时,对A的绝对不公平度- = 5.
上述两种情况下绝对不公平度的计算结果相同,但我们思考后发现后者对A的不公平已经大大降低!<. 尽管如此,我们还是希望能够更精确地衡量不公平度. 由此我们将绝对度量改为相对度量,方法如下:
若>,定义= rA(n1,n2)为对A的相对不公平度,类似可以定义= rB(n1,n2). 而公平的分配方案应使rA,rB尽量小.
2. Q值方法
有的时候由于某种原因需要增加代表名额,我们需重新调整分配结果. 此时上述分配方案就由一次性的静态分配转化为了动态的分配.
即假设A,B已分别有n1,n2个名额,若再增加一个名额,问应分给A,还是B?
不妨设>,即对A不公平.
讨论以下几种情况:
(1) 若> ,则这席应该给A.
(2) 若<,则应计算rB(n1 + 1,n2)和 rA(n1 ,n2+ 1).
(3) 根据初始条件>, >恒成立,所以增加的这席仍应给A( >不会出现).
若 rB(n1 + 1,n2)< rA(n1 ,n2+ 1) ,则这席应给A,反之,给B.
由rA,rB 的定义,得<.
定义Qi =,i = 1,2,则该增加的一个名额给Q值较大的一方推广到m方进行名额分配,设i方人数为pi,名额为ni,若增加1个名额计算Qi =,i = 1,2,…,m,该名额应分配给Q值最大的一方.
第二类:比例未知的分配.
首先来看一个例子:甲､乙两人以6元钱做赌注进行博弈,相约谁先赢满3局,谁就获得全部的赌注. 甲､乙实力相当,每一局都有同等的获胜概率,当进行了3局后,甲胜2局,乙胜1局,后因故两人终止对局,该6元的赌注如何分配才合理?
此类问题在日常生活中也十分常见,已知的对局结果显然对甲有利,所以甲理应多分一些才公平,但具体比例是多少呢?数学家帕斯卡给出了如下的合理分配方法:
考虑到这场赌注至多再进行2局就可见分晓,而这2次中,可能出现4种不同的结果
在前面已经进行了3局的基础上,后面4种结果中前3种情况甲都赢得全部赌注,仅仅在第4种情况出现时,乙才赢得全部赌注,所以分配的比例应该是3:1才公平. 此种考虑个人最终期望所得进行分配的结果才是比较公平的结果.
综上所述,在我们的管理中对分配问题可不能含糊. 对于已知比例的分配要说明的是分配情况不同,所谓的不公平度也有不同的含义,对于权利的分配,当然希望自己分配的权利越多越好,比如代表名额的分配;而义务的分配则希望是分配的义务越少越好,比如监考名额的分配. 所以此时的绝对不公平度是一个相对的概念. 而对于未知比例的分配更是要开通脑筋,找出最公平的分配方法.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”