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摘要：数学的整体性体现在代数、几何、三角、概率、统计等各部分内容之间的相互联系上，也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上。在完成立体几何点线面位置关系的教学任务后，以问题促思考，将线面垂直在各种位置关系中的多重身份和作用体现出来，突出整体性思维在綜合复习课中的指导意义。
1 引言
整体性数学思维定义为：在研究数学问题时，利用全方位的研究视角去思考知识整体及局部的内在结构。这里的全方位指的是对数学内容认识的高度、深度和广度。具体划分为系统性思维方式、延拓性思维方式和迁移性思维方式。
2 教学分析
立体几何是继平面几何学习之后，学生第一次正式接触空间位置关系的探究和基于公理化体系的严谨的推理。针对初学熟练度不高，对立体几何的直观感受仅建立在常见的长方体模型等基本学情，立足已完成的平行、垂直判定定理和性质定理，以中国传统文化精华的鳖臑模型为载体，利用其丰富的垂直关系，结合高考热点难点，设计证明面面垂直、求作与异面垂直的直线、求作二面角的平面角等阶梯式问题;力求让学生从整体上思考问题，感悟到线面垂直可以成为解决上述问题的主要方向和途径，寻找题目变化时，恰当的思考方向，并得到常规做法，形成模板。在教学的过程中，设置恰当的问题引导学生逐步形成思考方向，或针对既得模型加以利用，辅助严谨的逻辑推理，达成目标，既能进一步熟练应用定理，又能系统展现逻辑推理核心素养的培养，从而能整体地理解数学知识间的有机联系，促进学生核心素养的提升，探索解决问题的思路。
3 教学过程
3.1 夯实基础，搭建跳板
例：如图，AB 是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B 的任意一点。
问题1：求证：平面 PAC⊥平面 PBC.
课本例题引入，既突出了回归课本、重视基础的必要性，又充分体现了基本功的重复训练在复习中的重要性。本例实为鳖臑模型，而堑堵、阳马、鳖臑模型在中国古代体积求解的相关问题中占据重要地位，刘徽总结出刘徽原理，并指出，任一多面体可分割成若干四面体，而四面体可分割成“阳马”及“鳖臑”。教材中设置相关例题的意图，也体现了传统文化在学生过程性学习中的渗透。鳖臑模型中储备了极其丰富的垂直关系，是学生掌握垂直关系的重要模型之一。
3.2 似易实深，迁移融合
问题2：（1）请在⊙O所在平面内，过点A作出直线AG垂直于直线PB.
（2）若PA=AC，请作出过点A且垂直于直线PB的平面在三棱锥P-ABC中的截面，并加以说明.
新课改中对学生学习能力的培养渗透在教材的编写和组织里，不死读书，会创新，会创造，能实践，能实现，依然是新时代人才培养的需求。
大部分题目均点出明确的需要求解的问题或需要证明的结论，方向明确的目标证明是定义定理的实践操作，而由已知结果发散思维，寻找可能的结论或是自行补充部分条件带出新的结果，则是创新发展。开放性问题既是解题过程中找到思路方向的目标证明的有效训练，也是发挥学生思考的主观能动性，不是被动的吸收知识，而是创造性的获得新知识的体验，有助于学生体会数学知识体系的发生发展过程，也是培养创新型人才的有效途径。都说数学是思维的体操，将思维上训练的成果运用在学生成长和人生的方方面面，不失为数学有用的一种体现。
问题2中第一问的常见答案是：过A点在平面ABC内作直线AB的垂线AG，又因为直线PA垂直于平面ABC，则直线PA垂直于直线AG，且直线PA与直线AB相交于A点，故直线AG垂直于平面PAB则垂直于直线PA。这一做法的思路本质为三垂线定理的应用，抓好学生的内功修养，内化为定义定理性质的有机理解和感悟，生成结论型应用，外显为解题能力的提高。第一问是异面直线垂直的常见方法之一，即利用线面垂直得到线线垂直。
问题2中第二问大开脑洞，寻找异面直线垂直的第二种可行的解决路径。问题设置会让部分定义掌握扎实、思维灵活的学生感觉十分简单，即该平面只需在平面PAB内作直线AD垂直直线PB交PB于D，在平面PCB内过D点作直线DE垂直于直线PB。该做法在课堂呈现之后，教师继续发问，添加了直线AD、DE后，三棱锥P-ABC中共有几个鳖臑模型，从而引发学生发现关键点E点的所在位置，让思考落到实处。从被动的解题到能够摸出题目的脉搏，探索出题的方向，是更高层次的训练，降低学生作图的随意性，有的放矢的放置辅助线，避免偏离题意，使解题可持续发展，正是本问设置的主要意图。
两个设问的延续性，解决寻找直线在某一平面内的垂线的作图问题，即过直线上一点做直线的垂面，垂面与已知平面的交线即为与该直线垂直的直线。利用线面垂直的判定和性质探寻异面直线垂直几何形态的扩展，让解题不枯燥，充满想象力和创造力。
3.3 迎难而上，总结提炼
问题3：请找出平面ADE与平面ABC的二面角的平面角.
问题2的设置，为问题3寻找二面角的棱奠定了良好的图形基础。作出二面角的棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角。这是与二面角平面角的定义有机融合，寻找二面角平面角的有效作图方法之一。以定义提问题，用问题带思路，几番探索，就能找准解决问题的条件，或通过辅助线在题目背景里创设新的条件，推进新的结论，获得有价值的解题体会，发展学生思维的创造性。高一作为立体几何的初学阶段，二面角平面角的作图以及相关几何关系的求解一直是学生的难点，借助了向量强大的计算功能，学生往往回避以几何作图寻找二面角平面角，但纵观高考试题，若能熟练掌握几何方法寻找平面角，完全可以实现事半功倍，节省大量计算时间，并有效提高结果的准确性，高一学生不应完全放弃几何法探求平面角的方法学习。
4 教学启示
立体几何研究的是空间中点线面的位置关系和数量大小。线面垂直在位置关系判定和数量大小计算中都起到重要的作用。结合线面垂直的定义、判定和性质可以串联线线垂直、面面垂直、线线平行以及面面平行等关系。除此之外，线面垂直还在线面成角和面面成角中起到引领作用，本文中涉及的相关问题正是为了揭示其引领作用而设。问题2和问题3相辅相成，构成方法整体，问题2中已知直线的垂面与已知平面相交得交线，由此获得相互垂直的异面直线的一般作法，问题3中，此时已知直线为二面角的棱，同样是做出或证出该直线的垂面，垂面与两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角。单元或章节性学习需要一个整合提升，本节课将线面垂直在立体几何全章中的作用，见微知著，展现在学生面前，既是对整章内容的复习整理，也是对章节难点的突破。整体性数学思维指导下，利用线面垂直以点带面，辐射创新，引导学生合理迁移、大胆推测，用统一性的思想方法解决（或看待）同一类问题，是笔者在一线教学过程中做出的尝试，恳切希望得到专家同行的指导和建议。
参考文献
[1]安英：数学核心素养导向的课程教学与评价[J]. 中学数学教学参考.2020年03期
[2]于涵：新时代的高考定位与内容改革实施路径[J].中国考试.2019年01期
[3]任子朝，陈昂，赵轩：数学核心素养评价研究[J].课程.教材.教法.第38卷第5期2018年5月
福建师大附中 孙舒萌
1 引言
整体性数学思维定义为：在研究数学问题时，利用全方位的研究视角去思考知识整体及局部的内在结构。这里的全方位指的是对数学内容认识的高度、深度和广度。具体划分为系统性思维方式、延拓性思维方式和迁移性思维方式。
2 教学分析
立体几何是继平面几何学习之后，学生第一次正式接触空间位置关系的探究和基于公理化体系的严谨的推理。针对初学熟练度不高，对立体几何的直观感受仅建立在常见的长方体模型等基本学情，立足已完成的平行、垂直判定定理和性质定理，以中国传统文化精华的鳖臑模型为载体，利用其丰富的垂直关系，结合高考热点难点，设计证明面面垂直、求作与异面垂直的直线、求作二面角的平面角等阶梯式问题;力求让学生从整体上思考问题，感悟到线面垂直可以成为解决上述问题的主要方向和途径，寻找题目变化时，恰当的思考方向，并得到常规做法，形成模板。在教学的过程中，设置恰当的问题引导学生逐步形成思考方向，或针对既得模型加以利用，辅助严谨的逻辑推理，达成目标，既能进一步熟练应用定理，又能系统展现逻辑推理核心素养的培养，从而能整体地理解数学知识间的有机联系，促进学生核心素养的提升，探索解决问题的思路。
3 教学过程
3.1 夯实基础，搭建跳板
例：如图，AB 是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B 的任意一点。
问题1：求证：平面 PAC⊥平面 PBC.
课本例题引入，既突出了回归课本、重视基础的必要性，又充分体现了基本功的重复训练在复习中的重要性。本例实为鳖臑模型，而堑堵、阳马、鳖臑模型在中国古代体积求解的相关问题中占据重要地位，刘徽总结出刘徽原理，并指出，任一多面体可分割成若干四面体，而四面体可分割成“阳马”及“鳖臑”。教材中设置相关例题的意图，也体现了传统文化在学生过程性学习中的渗透。鳖臑模型中储备了极其丰富的垂直关系，是学生掌握垂直关系的重要模型之一。
3.2 似易实深，迁移融合
问题2：（1）请在⊙O所在平面内，过点A作出直线AG垂直于直线PB.
（2）若PA=AC，请作出过点A且垂直于直线PB的平面在三棱锥P-ABC中的截面，并加以说明.
新课改中对学生学习能力的培养渗透在教材的编写和组织里，不死读书，会创新，会创造，能实践，能实现，依然是新时代人才培养的需求。
大部分题目均点出明确的需要求解的问题或需要证明的结论，方向明确的目标证明是定义定理的实践操作，而由已知结果发散思维，寻找可能的结论或是自行补充部分条件带出新的结果，则是创新发展。开放性问题既是解题过程中找到思路方向的目标证明的有效训练，也是发挥学生思考的主观能动性，不是被动的吸收知识，而是创造性的获得新知识的体验，有助于学生体会数学知识体系的发生发展过程，也是培养创新型人才的有效途径。都说数学是思维的体操，将思维上训练的成果运用在学生成长和人生的方方面面，不失为数学有用的一种体现。
问题2中第一问的常见答案是：过A点在平面ABC内作直线AB的垂线AG，又因为直线PA垂直于平面ABC，则直线PA垂直于直线AG，且直线PA与直线AB相交于A点，故直线AG垂直于平面PAB则垂直于直线PA。这一做法的思路本质为三垂线定理的应用，抓好学生的内功修养，内化为定义定理性质的有机理解和感悟，生成结论型应用，外显为解题能力的提高。第一问是异面直线垂直的常见方法之一，即利用线面垂直得到线线垂直。
问题2中第二问大开脑洞，寻找异面直线垂直的第二种可行的解决路径。问题设置会让部分定义掌握扎实、思维灵活的学生感觉十分简单，即该平面只需在平面PAB内作直线AD垂直直线PB交PB于D，在平面PCB内过D点作直线DE垂直于直线PB。该做法在课堂呈现之后，教师继续发问，添加了直线AD、DE后，三棱锥P-ABC中共有几个鳖臑模型，从而引发学生发现关键点E点的所在位置，让思考落到实处。从被动的解题到能够摸出题目的脉搏，探索出题的方向，是更高层次的训练，降低学生作图的随意性，有的放矢的放置辅助线，避免偏离题意，使解题可持续发展，正是本问设置的主要意图。
两个设问的延续性，解决寻找直线在某一平面内的垂线的作图问题，即过直线上一点做直线的垂面，垂面与已知平面的交线即为与该直线垂直的直线。利用线面垂直的判定和性质探寻异面直线垂直几何形态的扩展，让解题不枯燥，充满想象力和创造力。
3.3 迎难而上，总结提炼
问题3：请找出平面ADE与平面ABC的二面角的平面角.
问题2的设置，为问题3寻找二面角的棱奠定了良好的图形基础。作出二面角的棱的垂面，垂面与两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角。这是与二面角平面角的定义有机融合，寻找二面角平面角的有效作图方法之一。以定义提问题，用问题带思路，几番探索，就能找准解决问题的条件，或通过辅助线在题目背景里创设新的条件，推进新的结论，获得有价值的解题体会，发展学生思维的创造性。高一作为立体几何的初学阶段，二面角平面角的作图以及相关几何关系的求解一直是学生的难点，借助了向量强大的计算功能，学生往往回避以几何作图寻找二面角平面角，但纵观高考试题，若能熟练掌握几何方法寻找平面角，完全可以实现事半功倍，节省大量计算时间，并有效提高结果的准确性，高一学生不应完全放弃几何法探求平面角的方法学习。
4 教学启示
立体几何研究的是空间中点线面的位置关系和数量大小。线面垂直在位置关系判定和数量大小计算中都起到重要的作用。结合线面垂直的定义、判定和性质可以串联线线垂直、面面垂直、线线平行以及面面平行等关系。除此之外，线面垂直还在线面成角和面面成角中起到引领作用，本文中涉及的相关问题正是为了揭示其引领作用而设。问题2和问题3相辅相成，构成方法整体，问题2中已知直线的垂面与已知平面相交得交线，由此获得相互垂直的异面直线的一般作法，问题3中，此时已知直线为二面角的棱，同样是做出或证出该直线的垂面，垂面与两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角。单元或章节性学习需要一个整合提升，本节课将线面垂直在立体几何全章中的作用，见微知著，展现在学生面前，既是对整章内容的复习整理，也是对章节难点的突破。整体性数学思维指导下，利用线面垂直以点带面，辐射创新，引导学生合理迁移、大胆推测，用统一性的思想方法解决（或看待）同一类问题，是笔者在一线教学过程中做出的尝试，恳切希望得到专家同行的指导和建议。
参考文献
[1]安英：数学核心素养导向的课程教学与评价[J]. 中学数学教学参考.2020年03期
[2]于涵：新时代的高考定位与内容改革实施路径[J].中国考试.2019年01期
[3]任子朝，陈昂，赵轩：数学核心素养评价研究[J].课程.教材.教法.第38卷第5期2018年5月
福建师大附中 孙舒萌