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人民教育出版社(A版)必修2第一章空间几何体中涉及球的体积和表面积的运算,对于初次接触立体几何的学生来说,由于空间想象力的缺乏且图形比较难画,难于确认球的半径,给运算带来了不便. 近日,笔者正在教授这一部分的内容,对此做了相应的总结,愿和广大同行共同分享.
1. 球与圆锥的组合体
例1 若一个球内切于圆锥,求证:它们的全面积之比等于它们的体积之比.
点评 涉及球与旋转体(圆柱､圆锥､圆台)的组合体时,为找到它们之间的内部联系,一般作出它们的轴截面,根据图形,找到半径与旋转体之间的数据关系进行求解.
解 作出组合体的轴截面(如右上图),令球半径为r,圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为l,则
= =.①
= =. ②
△AOD∽△ACE ?圯=?圯= ?圯 l =?圯Rl =?圯 R2 + Rl=. ③
把 ③ 代入 ②,有= ,故=.
2. 球与正方体的组合体
正方体是同学们常见的空间几何体,它有着许多优美的性质. 与球的组合又是高考中常涉及的考点之一. 一般地,有如下三种形式:第一种是球为正方体的外接球,根据球的定义可知,正方体的体对角线是球的直径,若正方体的棱长为a,则球的半径为R外= a ;第二种是球为正方体的内切球,此时球的半径为R内 = a;第三种是球与正方体的各条棱相切,球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方体的对角面的截面(如图) 有2R = a ?圯 R=a,综上可知:R外 ∶ R ∶ R内 = ∶ ∶ 1.
例2 (2006年山东省高考题)正方体的内切球与外接球的体积之比为( C ).
A. 1 ∶ B. 1 ∶ 3C. 1 ∶ 3D. 1 ∶9
3. 球与长方体的组合体
任意的长方体未必有内切球,但一定有外接球. 根据球的定义可知:长方体的体对角线的交点为球的球心,体对角线长为球的直径,若长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,z,则球的半径为R =.
例3 (2007年天津市) 一长方体的各顶点在同一球面上,且共顶点的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为_____.(14π)
例4 长方体共顶点的三个侧面面积分别是 , , ,求它的外接球的表面积.
点评 研究长方体的外接球的运算,要根据题中的条件,求出它的半径.
解 设长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,z,则
xy=xz=yx=?圯x=1 y=z= ?圯 R = = ?圯S球 = 4πR2 = 9π.
答:长方体的外接球的表面积为9π.
4. 球与四面体的组合体
四面体是立体几何中常见的空间几何体,地位如同平面几何中的三角形,既有内切球,又有外接球. 因四面体的形状各异,在此仅讨论三类特殊的四面体(正四面体､直角四面体､等腰四面体). 首先,我们来研究外接球问题,即如何根据它的形状,确认它的外接球的半径呢?
4.1 正四面体的外接球
若正四面体的棱长为a,如何快速地求出它的外接球的半径呢?在这里,我们采用补形的方法,将其放入到正方体中,把问题转化为求正方体的外接球的半径. 如图令正方体的棱长为x,有2R=x ?圯 x =a ?圯 R =a.
例5 (2006 年山东省)如图,在等腰梯形ABCD中,AB = 2DC = 2,∠DAB = 60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC 分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为().
A. B.
C. D.
点评 易证翻折后得到的四面体P-DCE是一个正四面体,其棱长为1,故R =,V = =,所以选C.
4.2 直角四面体的外接球(同一顶点处的三条棱两两垂直的四面体)
同上相仿,将其放入一个长方体中可求出. (详见长方体的外接球)
例6 三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,PA = 1,PB = PC = ,则空间一点O到P,A,B,C等距离的d值为().
A.B.C. D.
点评 易见d为四面体P-ABC的外接球的半径, 可求d =.
4.3 等腰四面体的外接球(三对对棱分别相等的四面体)
记三对对棱的长分别为 a,b,c,把它放入到长方体中,令长方体的共顶点的三条棱长分别 为x,y,z(如图).
x2 + y2 = c2x2 + z2 = b2y2 + z2 = a2?圯 x2 + y2 + z2 = ?圯 R = ?圯R = .
四面体的内切球半径的确立比较复杂,在求法上常采用等体积的方法,如求边长为a的正四面体的内切球的半径,过程如下:设球心为O,连接OA,OB,OC,OD,则VA-BCD = VO-BCD + VO-ACD + VO-ABD + VO-ABC ?圯 S△BCDgh =S△BCDgr+ S△ACDgr +S△ABDgr+ S△ABCgr ?圯 h = 4r,而h = = ?圯 r = .
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
1. 球与圆锥的组合体
例1 若一个球内切于圆锥,求证:它们的全面积之比等于它们的体积之比.
点评 涉及球与旋转体(圆柱､圆锥､圆台)的组合体时,为找到它们之间的内部联系,一般作出它们的轴截面,根据图形,找到半径与旋转体之间的数据关系进行求解.
解 作出组合体的轴截面(如右上图),令球半径为r,圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为l,则
= =.①
= =. ②
△AOD∽△ACE ?圯=?圯= ?圯 l =?圯Rl =?圯 R2 + Rl=. ③
把 ③ 代入 ②,有= ,故=.
2. 球与正方体的组合体
正方体是同学们常见的空间几何体,它有着许多优美的性质. 与球的组合又是高考中常涉及的考点之一. 一般地,有如下三种形式:第一种是球为正方体的外接球,根据球的定义可知,正方体的体对角线是球的直径,若正方体的棱长为a,则球的半径为R外= a ;第二种是球为正方体的内切球,此时球的半径为R内 = a;第三种是球与正方体的各条棱相切,球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方体的对角面的截面(如图) 有2R = a ?圯 R=a,综上可知:R外 ∶ R ∶ R内 = ∶ ∶ 1.
例2 (2006年山东省高考题)正方体的内切球与外接球的体积之比为( C ).
A. 1 ∶ B. 1 ∶ 3C. 1 ∶ 3D. 1 ∶9
3. 球与长方体的组合体
任意的长方体未必有内切球,但一定有外接球. 根据球的定义可知:长方体的体对角线的交点为球的球心,体对角线长为球的直径,若长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,z,则球的半径为R =.
例3 (2007年天津市) 一长方体的各顶点在同一球面上,且共顶点的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为_____.(14π)
例4 长方体共顶点的三个侧面面积分别是 , , ,求它的外接球的表面积.
点评 研究长方体的外接球的运算,要根据题中的条件,求出它的半径.
解 设长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,z,则
xy=xz=yx=?圯x=1 y=z= ?圯 R = = ?圯S球 = 4πR2 = 9π.
答:长方体的外接球的表面积为9π.
4. 球与四面体的组合体
四面体是立体几何中常见的空间几何体,地位如同平面几何中的三角形,既有内切球,又有外接球. 因四面体的形状各异,在此仅讨论三类特殊的四面体(正四面体､直角四面体､等腰四面体). 首先,我们来研究外接球问题,即如何根据它的形状,确认它的外接球的半径呢?
4.1 正四面体的外接球
若正四面体的棱长为a,如何快速地求出它的外接球的半径呢?在这里,我们采用补形的方法,将其放入到正方体中,把问题转化为求正方体的外接球的半径. 如图令正方体的棱长为x,有2R=x ?圯 x =a ?圯 R =a.
例5 (2006 年山东省)如图,在等腰梯形ABCD中,AB = 2DC = 2,∠DAB = 60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC 分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为().
A. B.
C. D.
点评 易证翻折后得到的四面体P-DCE是一个正四面体,其棱长为1,故R =,V = =,所以选C.
4.2 直角四面体的外接球(同一顶点处的三条棱两两垂直的四面体)
同上相仿,将其放入一个长方体中可求出. (详见长方体的外接球)
例6 三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,PA = 1,PB = PC = ,则空间一点O到P,A,B,C等距离的d值为().
A.B.C. D.
点评 易见d为四面体P-ABC的外接球的半径, 可求d =.
4.3 等腰四面体的外接球(三对对棱分别相等的四面体)
记三对对棱的长分别为 a,b,c,把它放入到长方体中,令长方体的共顶点的三条棱长分别 为x,y,z(如图).
x2 + y2 = c2x2 + z2 = b2y2 + z2 = a2?圯 x2 + y2 + z2 = ?圯 R = ?圯R = .
四面体的内切球半径的确立比较复杂,在求法上常采用等体积的方法,如求边长为a的正四面体的内切球的半径,过程如下:设球心为O,连接OA,OB,OC,OD,则VA-BCD = VO-BCD + VO-ACD + VO-ABD + VO-ABC ?圯 S△BCDgh =S△BCDgr+ S△ACDgr +S△ABDgr+ S△ABCgr ?圯 h = 4r,而h = = ?圯 r = .
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”