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立体几何中的探索性问题主要有两类：(1) 探索动点的位置；(2) 探索图形的形状。前者主要是通过求出动点坐标来达到目的；后者通常是通过确定某条边的长度来解决问题。
类型一：探索动点的位置(动点在一条定直线上移动)
【例１】 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB,若不存在,说明理由；若存在,确定点E的位置．
分析 (1) A1O⊥平面ABC；(2) 建立空间直角坐标系；(3) 求平面A1AB的法向量n=(x,y,z)；(4) 设E点的坐标；(5) 利用OE•n=0来求解E点的坐标。
解 因为A1A=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC．
又由题意可知,平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O平面AA1C1C,
所以A1O⊥平面ABC．
如图,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又AB=BC,AB⊥BC
∴OB=12AC=1．
∴得：O（0,0,0）,A（0,-1,0）,A1（0,0,3）,C（0,1,0）,C1（0,2,3）,B（1,0,0）,则有：
A1C=（0,1,-3）,AA1=（0,1,3）,AB=(1,1,0).
设平面AA1B的一个法向量为n=（x,y,z）,则有
n•AA1=0,
n•AB=0,y+3z=0,
x+y=0,令y=1,得x=-1,z=-33,
∴n=-1,1,-33．
设E=（x0,y0,z0）,令BE=λBC1，
即（x0-1,y0,z0）=λ（-1,2,3）,得x0=1-λ，
y0=2λ，
z0=3λ.
∴E=（1-λ,2λ,3λ）,得OE=（1-λ,2λ,3λ）
令OE∥平面AA1B,得OE•n=0,
即-1+λ+2λ-λ=0,得λ=12,
即存在这样的点E,E为BC1的中点．
点拨 (1) 本题的难点在于E点的坐标的设法,要是只设E=（x0,y0,z0）,则很难得到答案,运用共线向量定理,则问题可以迎刃而解；
(2) 一般的,若动点E在定直线BC1(B、C1是定点)上移动,可以令BE=λBC1。
【奇思妙想】 如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点为O,E为侧棱SC上一点.试判断点E在SC上的位置,使二面角EBDC的大小为45°．
分析 (1) 先证SO⊥面ABCD；(2) 建立空间直角坐标系；(3) 求平面BDE和BCD的法向量；(4) 引入恰当的变量,控制点E的位置；(5) 利用条件“二面角EBDC的大小为45°”来求解E点的坐标。
解 易证SO⊥面ABCD,AC⊥BD．
建立如图所示的空间直角坐标系．
设四棱锥SABCD的底面边长为2,
则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0）,C（-2，0，0），D（0，-2，0）.
所以AC=(-22,0,0),BD=(0,-22,0)．
设CE=a(0 所以E-2+22a,0,22a,BE=-2+22a,-2,22a．
设平面BDE法向量为n=(x,y,z),
则n•BD=0，
n•BE=0.
即y=0,
-2+22ax-2y+22az=0.
令z=1,得n=a2-a,0,1.
因为SO⊥底面ABCD，
所以OS=（0，0，2）是平面BCD的一个法向量．
由已知二面角EBDC的大小为45°.
所以|cos〈OS,n〉|=cos45°=22,
所以2a2-a2+1•2=22,解得a=1．
所以点E是SC的中点．
点拨 (1) 该解法通过设CE=a来达到对动点E的位置的控制；(2) 本题也可采用例1的方法,运用共线向量定理来设动点E的坐标；(3) 一般的,对动点通常只设一个变量,再利用条件列出等量关系求出变量,最后再解释动点的位置。
类型二：探索动点的位置(动点在一个固定平面内移动)
【例2】 如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10．
(1) 设G是OC的中点,证明：FG∥平面BOE；
(2) 证明：在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE．
分析 (1) 建立空间直角坐标系；(2) 求平面BOE的法向量n；(3) 设点M的坐标；(4) 利用FM∥n求出点M的坐标。
证明 (1) 如图,连接OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3),由题意得,G(0,4,0),因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3),因此平面BOE的一个法向量为n=(0,3,4),FG=(-4,4,-3)，得n•FG=0,又直线FG不在平面BOE内,因此有FG∥平面BOE.
(2) 设点M的坐标为(x0,y0,0),则FM=(x0-4,y0,-3),因为FM⊥平面BOE,所以有FM∥n,因此有x0=4,y0=-94,即点M的坐标为4,-94,0,在平面直角坐标系xOy中,△ABO的内部区域满足不等式组x>0,
y<0,
x-y<8,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE.
点拨 (1) 由于高中阶段对平面方程不作要求,所以这类问题中牵涉到的平面往往是坐标平面；(2) 一般的,xOy平面内的点坐标可设为(x0,y0,0),yOz平面内的点坐标可设为(0,y0,z0),xOz平面内的点坐标可设为(x0,0,z0)。
【奇思妙想】 已知几何体EFGABCD如图所示,其中四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形,且边长为1,点M在边DG上.是否存在点M,使得直线MB与平面BEF所成的角为45°,若存在,试求点M的位置；若不存在,请说明理由．
分析 (1) 建立空间直角坐标系；(2) 利用点M的特殊位置,设点M的坐标；(3) 求平面BEF的法向量；(4) 利用条件求出点M的坐标。
解 ∵四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形,
∴GD⊥DA,GD⊥DC,又DA∩DC=D,
∴GD⊥平面ABCD．
以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
类型一：探索动点的位置(动点在一条定直线上移动)
【例１】 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB,若不存在,说明理由；若存在,确定点E的位置．
分析 (1) A1O⊥平面ABC；(2) 建立空间直角坐标系；(3) 求平面A1AB的法向量n=(x,y,z)；(4) 设E点的坐标；(5) 利用OE•n=0来求解E点的坐标。
解 因为A1A=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC．
又由题意可知,平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O平面AA1C1C,
所以A1O⊥平面ABC．
如图,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又AB=BC,AB⊥BC
∴OB=12AC=1．
∴得：O（0,0,0）,A（0,-1,0）,A1（0,0,3）,C（0,1,0）,C1（0,2,3）,B（1,0,0）,则有：
A1C=（0,1,-3）,AA1=（0,1,3）,AB=(1,1,0).
设平面AA1B的一个法向量为n=（x,y,z）,则有
n•AA1=0,
n•AB=0,y+3z=0,
x+y=0,令y=1,得x=-1,z=-33,
∴n=-1,1,-33．
设E=（x0,y0,z0）,令BE=λBC1，
即（x0-1,y0,z0）=λ（-1,2,3）,得x0=1-λ，
y0=2λ，
z0=3λ.
∴E=（1-λ,2λ,3λ）,得OE=（1-λ,2λ,3λ）
令OE∥平面AA1B,得OE•n=0,
即-1+λ+2λ-λ=0,得λ=12,
即存在这样的点E,E为BC1的中点．
点拨 (1) 本题的难点在于E点的坐标的设法,要是只设E=（x0,y0,z0）,则很难得到答案,运用共线向量定理,则问题可以迎刃而解；
(2) 一般的,若动点E在定直线BC1(B、C1是定点)上移动,可以令BE=λBC1。
【奇思妙想】 如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点为O,E为侧棱SC上一点.试判断点E在SC上的位置,使二面角EBDC的大小为45°．
分析 (1) 先证SO⊥面ABCD；(2) 建立空间直角坐标系；(3) 求平面BDE和BCD的法向量；(4) 引入恰当的变量,控制点E的位置；(5) 利用条件“二面角EBDC的大小为45°”来求解E点的坐标。
解 易证SO⊥面ABCD,AC⊥BD．
建立如图所示的空间直角坐标系．
设四棱锥SABCD的底面边长为2,
则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0）,C（-2，0，0），D（0，-2，0）.
所以AC=(-22,0,0),BD=(0,-22,0)．
设CE=a(0
设平面BDE法向量为n=(x,y,z),
则n•BD=0，
n•BE=0.
即y=0,
-2+22ax-2y+22az=0.
令z=1,得n=a2-a,0,1.
因为SO⊥底面ABCD，
所以OS=（0，0，2）是平面BCD的一个法向量．
由已知二面角EBDC的大小为45°.
所以|cos〈OS,n〉|=cos45°=22,
所以2a2-a2+1•2=22,解得a=1．
所以点E是SC的中点．
点拨 (1) 该解法通过设CE=a来达到对动点E的位置的控制；(2) 本题也可采用例1的方法,运用共线向量定理来设动点E的坐标；(3) 一般的,对动点通常只设一个变量,再利用条件列出等量关系求出变量,最后再解释动点的位置。
类型二：探索动点的位置(动点在一个固定平面内移动)
【例2】 如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10．
(1) 设G是OC的中点,证明：FG∥平面BOE；
(2) 证明：在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE．
分析 (1) 建立空间直角坐标系；(2) 求平面BOE的法向量n；(3) 设点M的坐标；(4) 利用FM∥n求出点M的坐标。
证明 (1) 如图,连接OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3),由题意得,G(0,4,0),因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3),因此平面BOE的一个法向量为n=(0,3,4),FG=(-4,4,-3)，得n•FG=0,又直线FG不在平面BOE内,因此有FG∥平面BOE.
(2) 设点M的坐标为(x0,y0,0),则FM=(x0-4,y0,-3),因为FM⊥平面BOE,所以有FM∥n,因此有x0=4,y0=-94,即点M的坐标为4,-94,0,在平面直角坐标系xOy中,△ABO的内部区域满足不等式组x>0,
y<0,
x-y<8,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE.
点拨 (1) 由于高中阶段对平面方程不作要求,所以这类问题中牵涉到的平面往往是坐标平面；(2) 一般的,xOy平面内的点坐标可设为(x0,y0,0),yOz平面内的点坐标可设为(0,y0,z0),xOz平面内的点坐标可设为(x0,0,z0)。
【奇思妙想】 已知几何体EFGABCD如图所示,其中四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形,且边长为1,点M在边DG上.是否存在点M,使得直线MB与平面BEF所成的角为45°,若存在,试求点M的位置；若不存在,请说明理由．
分析 (1) 建立空间直角坐标系；(2) 利用点M的特殊位置,设点M的坐标；(3) 求平面BEF的法向量；(4) 利用条件求出点M的坐标。
解 ∵四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形,
∴GD⊥DA,GD⊥DC,又DA∩DC=D,
∴GD⊥平面ABCD．
以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,