论文部分内容阅读
【摘要】华东师大版初中一年级(下):§ 9.3“用正多边形拼地板”的探究过程和呈现形式过于简略,并建议教师不作“进一步延伸”,致使学生的疑问不能得到较好的解决。本文用学生较易理解和接受的初等代数方法进行了分析和探究,效果良好。
【关键词】正多边形;拼地板;初等代数;研究
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128(2010)08-0041-03
问题背景:华东师大版初中一年级(下):§ 9.3“用正多边形拼地板”(课本第71-73页):
1. 用相同的正多边形拼地板;2. 用多种正多边形拼地板。
按照学生容易理解和接受的方法,在实际教学中有两种常用的方法:
1. 实践法:教师要求学生准备边长相同的正n(n=3,4,5…)边形若干,分小组通过拼图实践,进行探究——用同一种正多边形、用多种正多边形拼地板,得出探究结论。
2. 验证法:根据课本介绍的铺满平面的必要条件(使用给定的某种正多边形,当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时,就可以拼成一个平面图形)分别进行验证,得出结论。
然而,这样便会出现两个不好解释又不能回避的问题:
(1)学生制作的正多边形不可避免地存在误差,甚至误差较大,谁能保证原本不能拼的,因为误差后刚好又合适、谁又能够保证原本能拼的因误差的原因又不能拼了呢?基础较好和探究氛围较好的班级常会临时生成这样一些老师未曾预设的问题。
(2)不管是实践法还是验证法,都不能对所有的正n边形进行拼图实践和计算验证——因为n是无穷的啊!
这样,学生并不能够情愿认可课本上得出的简单结论,他们脑子里还有很多疑问和不认同,这种“蜻蜓点水”式的探究过程,对于他们来说真有一种“隔靴搔痒”的感受,反过来,也就大大降低了他们对探究结论的理解和认可程度。而与课本配套的《教师用书》上对教师的建议是:“只要求学生理解教材给出的几种情况下多种正多边形能够铺满地面的理由,不要再作进一步延伸。”这样一来,更多的教师也就止步于此,并未针对学生的疑问给出有针对性的解决方案,致使大多数同学一知半解、勉强认同(课本上的结论),而少数学力强的学生则对课本结论产生疑惑,甚至根本不认同。
为解决学生中普遍存在的疑问,特别是针对基础较好且有积极的探究欲望的学生,我尝试进行了一点研究,用学生比较容易理解和接受的初等代数方法给予解答,效果良好。
1 用相同的正多边形拼地板
因为n边形的内角和为:(n-2)•180°,则正n边形的每个内角的度数为:(n-2)•180°n
设用x个正n边形可在同一顶点处铺满地板,其中,x、n都是正整数,且n3。
则有:(n-2)•180°n•x=360
整理得:n-2n=2x
可得:x=2nn-2
∵正多边形的每个内角а<180°
∴2а<360°
∴x3(在同一顶点处至少有三个正n边形的内角,加起来才能等于360°)
即:2nn-23
解得n6
又∵n3
∴3n6,且n为正整数
*也即为:在同一顶点处的正多边形的个数最少为3个,最多为6个。
∴n=3,4,5,6
将n=3,4,5,6代入2nn-2逐个检验,因x为正整数,当n=5时,x=103,不符合
∴n≠5
而经计算检验n=3,4,6均符合题意
所以,用相同的正多边形拼地板只有正3、正4、正6可以。
2 用两种不同的正多边形拼地板
设在同一顶点处有正m(m3)边形x个,正n(n3)边形y个,且x、y、m、n均为正整数,因为,正m边形和正n边形的每个内角的度数分别为:
(m-2)•180m和(n-2)•180n,根据题意可列方程:(m-2)•180m•x+(n-2)•180n=360°。
但这是一个含有四个未知数的方程,初看很复杂!
化简后,m-2m•x+n-2n•y=2,仍然不简单!
由第一类情况有3n6,同理有3x+y6,又当x+y=6时,在同一顶点处的正多边形都为正三角形,即m=n=3,不符合本类讨论题意,因此可得:3x+y5,此时,问题转化为:
(I):m-2m•x+n-2n•y=2……(1)
3x+y5…………(2)
虽然,这样的式子看起来还是相当复杂,但根据式子(2)的特点来看还是比较容易下手,可以分类讨论:
(1)x=1y=2;(2)x=1y=3;(3)x=1y=4;
(4)x=2y=2;(5)x=2y=2;(6)x=2y=3;
(7)x=3y=1;(8)x=3y=2;(9)x=4y=1
而实际上,由于没有区分x和y的先后顺序,因此,第(1)和第(4)个式子是同种情况,同理,第(2)和第(7),第(3)和第(9),第(6)和第(8)个式子都分别属于同种情况,于是问题简化为只需讨论下列5种情况:
(1)x=1y=2;(2)x=1y=3;(3)x=1y=4;
(4)x=2y=2;(5)x=2y=3
(1)当x=1y=2时,将x=1y=2代入(I)中的第(1)式得:m-2m•1+n-2n•2=2,整理得: 2m+4n,可化为:m=2nn-4,n=4mm-2
因为m3,即2nn-43,解得n12,又由n-4为分母可知n>4,又n为正整数,所以,n5,于是可得:5n12;
又因为n5,即4mm-25,解得m10,又已知m3,所以:3m10;
则可得:3m105n12(m、n都为正整数)。
这就大大缩小了范围,还是通过分类讨论,将m=1,2,3…10分别代入n=4mm-2中,能使式子成立且符合题意的m和n的值分别为:m=3n=12;m=4n=8;m=10n=5。
其中,当m=10n=5时,同学们可通过实践知道,在同一顶点处的1个正10边形和2个正5边形虽然刚好能拼成3600,但这种拼法不能延展到整个平面,因此也不符合题意。
所以,第(1)种情况的结论为:当x=1y=2时,m=3n=12;m=4n=8。
(2)当x=1y=3时,将x=1y=3代入(I)中的第(1)式得:m-2m•1+n-2n•3=2,整理得:1m+3n=1,可化为:m=nn-3。
因为m3,即nn-33,解得n412,由n-3为分母知n>3,又n为正整数,所以n4,于是满足题意的n的值只能是n=4,将n=4代入式子m=nn-3得m=4,这样,两种正多边形均为正4边形,不符合题意——用两种不同的正多边形拼地板。
所以,第(2)种情况没有符合题意的结论。
(3)当x=1y=4时,将x=1y=4代入(I)中的第(1)式得:m-2m•1+n-2n•4=2,整理得:2m+8n=3,可化为:m=2n3n-8。
因为m3,即2n3n-83,解得:n337,又因为n3,所以,n=3。将n=3代入m=2n3n-8得:m=6。
所以,第(3)种情况的结论为:m=6n=3。
(4)当x=2y=2时,将x=2y=2代入(I)中的第(1)式得:m-2m•2+n-2n•2=2,整理得:2m+2n=1,可化为:m=2nn-2。
因为m3,即2nn-23,解得:n6 ,又∵n3,∴3n6,分类讨论得符合题意的结论为:m=3n=6 和m=6n=3,显然,它们其实是同种情况,所以,第(4)种情况的结论为:m=3n=6。
(5)当x-2y=3时,用上面的变形和分类讨论的方法可得该类情况的结论:m=4n=3
综上所述,用两种不同的正多边形拼地板的情况只有:正3和正4,正3和正6,正3和正12,正4和正8这4种。
3 用三种不同的正多边形拼地板
若仍用上面的方法探究将较为复杂,因此我们换一种方式进行讨论。
由第二种情况所列方程(不等式)组(I)的式子(2):3x+y5,同理可得:3x+y+z5,观察下列表格:
正多边形的边数(a,b,c=)345678910111213141516171819
正多边形的每个内角的度数60901081209007135140144 162011150 198013216014156157.5 270017160306019
(1)当x+y+z=3时,也即正a,正b,正c边形各取一个,显然,这三个正多边形中至多有一个的边数大于或等于12(设有两个正多边形的边数大于或等于12,不妨取正12和正13边形,那么即使第三个是正三角形,此时在同一顶点处的三个内角的和也为:150+198013+60>360),不符合题意,这样通过计算验证(这里不再赘述),该种情况只有正4,正6和正12成立。
(2)当x+y+z=4时,也即其中一种正多边形取2个,其余两种正多边形各取一个,不妨设正5边形取2个、正3和正4边形各一个,则在同一顶点处的四个内角的和为:108×2+60+90=366>360,因此不可能是正5或以上的多边形取2个,即取2个的正多边形只能是正3或正4边形,于是分这两种情况分别进行计算验证,结论为:1个正3角形+2个正4边形+1个正6边形。
(3)当x+y+z=5时,取最特殊的例子:3个正3+1个正4+1个正5,则在同一顶点处的5个内角和为:60×3+90×1+108×1=378>360,因此不能拼地板,而我们知道,随着多边形的边数的增加,其每个内角的度数还会更大,该种情况既不能成立,那么其余情况时,在同一顶点处的5个内角的和更远大于360°
综上所述,用三种不同的正多边形拼地板的情况只有:正4、正6和正12以及正3、正4和正6。
4 用四种及四种以上不同的正多边形拼地板
先探讨用四种不同的正多边形拼地板的情况,不妨取正3、正4、正5、正6边形各一个,则在同一顶点处的几个内角的和为:60+90+108+120=378>360,因此不能拼地板,又因为,随着多边形的边数的增加,其每个内角的度数还会更大,所以,用四种不同的正多边形是不能拼地板的。当然,四种以上不同正多边形就更不能拼地板了。
【关键词】正多边形;拼地板;初等代数;研究
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128(2010)08-0041-03
问题背景:华东师大版初中一年级(下):§ 9.3“用正多边形拼地板”(课本第71-73页):
1. 用相同的正多边形拼地板;2. 用多种正多边形拼地板。
按照学生容易理解和接受的方法,在实际教学中有两种常用的方法:
1. 实践法:教师要求学生准备边长相同的正n(n=3,4,5…)边形若干,分小组通过拼图实践,进行探究——用同一种正多边形、用多种正多边形拼地板,得出探究结论。
2. 验证法:根据课本介绍的铺满平面的必要条件(使用给定的某种正多边形,当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时,就可以拼成一个平面图形)分别进行验证,得出结论。
然而,这样便会出现两个不好解释又不能回避的问题:
(1)学生制作的正多边形不可避免地存在误差,甚至误差较大,谁能保证原本不能拼的,因为误差后刚好又合适、谁又能够保证原本能拼的因误差的原因又不能拼了呢?基础较好和探究氛围较好的班级常会临时生成这样一些老师未曾预设的问题。
(2)不管是实践法还是验证法,都不能对所有的正n边形进行拼图实践和计算验证——因为n是无穷的啊!
这样,学生并不能够情愿认可课本上得出的简单结论,他们脑子里还有很多疑问和不认同,这种“蜻蜓点水”式的探究过程,对于他们来说真有一种“隔靴搔痒”的感受,反过来,也就大大降低了他们对探究结论的理解和认可程度。而与课本配套的《教师用书》上对教师的建议是:“只要求学生理解教材给出的几种情况下多种正多边形能够铺满地面的理由,不要再作进一步延伸。”这样一来,更多的教师也就止步于此,并未针对学生的疑问给出有针对性的解决方案,致使大多数同学一知半解、勉强认同(课本上的结论),而少数学力强的学生则对课本结论产生疑惑,甚至根本不认同。
为解决学生中普遍存在的疑问,特别是针对基础较好且有积极的探究欲望的学生,我尝试进行了一点研究,用学生比较容易理解和接受的初等代数方法给予解答,效果良好。
1 用相同的正多边形拼地板
因为n边形的内角和为:(n-2)•180°,则正n边形的每个内角的度数为:(n-2)•180°n
设用x个正n边形可在同一顶点处铺满地板,其中,x、n都是正整数,且n3。
则有:(n-2)•180°n•x=360
整理得:n-2n=2x
可得:x=2nn-2
∵正多边形的每个内角а<180°
∴2а<360°
∴x3(在同一顶点处至少有三个正n边形的内角,加起来才能等于360°)
即:2nn-23
解得n6
又∵n3
∴3n6,且n为正整数
*也即为:在同一顶点处的正多边形的个数最少为3个,最多为6个。
∴n=3,4,5,6
将n=3,4,5,6代入2nn-2逐个检验,因x为正整数,当n=5时,x=103,不符合
∴n≠5
而经计算检验n=3,4,6均符合题意
所以,用相同的正多边形拼地板只有正3、正4、正6可以。
2 用两种不同的正多边形拼地板
设在同一顶点处有正m(m3)边形x个,正n(n3)边形y个,且x、y、m、n均为正整数,因为,正m边形和正n边形的每个内角的度数分别为:
(m-2)•180m和(n-2)•180n,根据题意可列方程:(m-2)•180m•x+(n-2)•180n=360°。
但这是一个含有四个未知数的方程,初看很复杂!
化简后,m-2m•x+n-2n•y=2,仍然不简单!
由第一类情况有3n6,同理有3x+y6,又当x+y=6时,在同一顶点处的正多边形都为正三角形,即m=n=3,不符合本类讨论题意,因此可得:3x+y5,此时,问题转化为:
(I):m-2m•x+n-2n•y=2……(1)
3x+y5…………(2)
虽然,这样的式子看起来还是相当复杂,但根据式子(2)的特点来看还是比较容易下手,可以分类讨论:
(1)x=1y=2;(2)x=1y=3;(3)x=1y=4;
(4)x=2y=2;(5)x=2y=2;(6)x=2y=3;
(7)x=3y=1;(8)x=3y=2;(9)x=4y=1
而实际上,由于没有区分x和y的先后顺序,因此,第(1)和第(4)个式子是同种情况,同理,第(2)和第(7),第(3)和第(9),第(6)和第(8)个式子都分别属于同种情况,于是问题简化为只需讨论下列5种情况:
(1)x=1y=2;(2)x=1y=3;(3)x=1y=4;
(4)x=2y=2;(5)x=2y=3
(1)当x=1y=2时,将x=1y=2代入(I)中的第(1)式得:m-2m•1+n-2n•2=2,整理得: 2m+4n,可化为:m=2nn-4,n=4mm-2
因为m3,即2nn-43,解得n12,又由n-4为分母可知n>4,又n为正整数,所以,n5,于是可得:5n12;
又因为n5,即4mm-25,解得m10,又已知m3,所以:3m10;
则可得:3m105n12(m、n都为正整数)。
这就大大缩小了范围,还是通过分类讨论,将m=1,2,3…10分别代入n=4mm-2中,能使式子成立且符合题意的m和n的值分别为:m=3n=12;m=4n=8;m=10n=5。
其中,当m=10n=5时,同学们可通过实践知道,在同一顶点处的1个正10边形和2个正5边形虽然刚好能拼成3600,但这种拼法不能延展到整个平面,因此也不符合题意。
所以,第(1)种情况的结论为:当x=1y=2时,m=3n=12;m=4n=8。
(2)当x=1y=3时,将x=1y=3代入(I)中的第(1)式得:m-2m•1+n-2n•3=2,整理得:1m+3n=1,可化为:m=nn-3。
因为m3,即nn-33,解得n412,由n-3为分母知n>3,又n为正整数,所以n4,于是满足题意的n的值只能是n=4,将n=4代入式子m=nn-3得m=4,这样,两种正多边形均为正4边形,不符合题意——用两种不同的正多边形拼地板。
所以,第(2)种情况没有符合题意的结论。
(3)当x=1y=4时,将x=1y=4代入(I)中的第(1)式得:m-2m•1+n-2n•4=2,整理得:2m+8n=3,可化为:m=2n3n-8。
因为m3,即2n3n-83,解得:n337,又因为n3,所以,n=3。将n=3代入m=2n3n-8得:m=6。
所以,第(3)种情况的结论为:m=6n=3。
(4)当x=2y=2时,将x=2y=2代入(I)中的第(1)式得:m-2m•2+n-2n•2=2,整理得:2m+2n=1,可化为:m=2nn-2。
因为m3,即2nn-23,解得:n6 ,又∵n3,∴3n6,分类讨论得符合题意的结论为:m=3n=6 和m=6n=3,显然,它们其实是同种情况,所以,第(4)种情况的结论为:m=3n=6。
(5)当x-2y=3时,用上面的变形和分类讨论的方法可得该类情况的结论:m=4n=3
综上所述,用两种不同的正多边形拼地板的情况只有:正3和正4,正3和正6,正3和正12,正4和正8这4种。
3 用三种不同的正多边形拼地板
若仍用上面的方法探究将较为复杂,因此我们换一种方式进行讨论。
由第二种情况所列方程(不等式)组(I)的式子(2):3x+y5,同理可得:3x+y+z5,观察下列表格:
正多边形的边数(a,b,c=)345678910111213141516171819
正多边形的每个内角的度数60901081209007135140144 162011150 198013216014156157.5 270017160306019
(1)当x+y+z=3时,也即正a,正b,正c边形各取一个,显然,这三个正多边形中至多有一个的边数大于或等于12(设有两个正多边形的边数大于或等于12,不妨取正12和正13边形,那么即使第三个是正三角形,此时在同一顶点处的三个内角的和也为:150+198013+60>360),不符合题意,这样通过计算验证(这里不再赘述),该种情况只有正4,正6和正12成立。
(2)当x+y+z=4时,也即其中一种正多边形取2个,其余两种正多边形各取一个,不妨设正5边形取2个、正3和正4边形各一个,则在同一顶点处的四个内角的和为:108×2+60+90=366>360,因此不可能是正5或以上的多边形取2个,即取2个的正多边形只能是正3或正4边形,于是分这两种情况分别进行计算验证,结论为:1个正3角形+2个正4边形+1个正6边形。
(3)当x+y+z=5时,取最特殊的例子:3个正3+1个正4+1个正5,则在同一顶点处的5个内角和为:60×3+90×1+108×1=378>360,因此不能拼地板,而我们知道,随着多边形的边数的增加,其每个内角的度数还会更大,该种情况既不能成立,那么其余情况时,在同一顶点处的5个内角的和更远大于360°
综上所述,用三种不同的正多边形拼地板的情况只有:正4、正6和正12以及正3、正4和正6。
4 用四种及四种以上不同的正多边形拼地板
先探讨用四种不同的正多边形拼地板的情况,不妨取正3、正4、正5、正6边形各一个,则在同一顶点处的几个内角的和为:60+90+108+120=378>360,因此不能拼地板,又因为,随着多边形的边数的增加,其每个内角的度数还会更大,所以,用四种不同的正多边形是不能拼地板的。当然,四种以上不同正多边形就更不能拼地板了。