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摘 要：数学练习有效性是数学教学有效性的重要组成部分，也直接影响到学生的数学素养，要提高数学练习有效性，我在数学练习设计的时候努力做到以下几个方面：①基础为主，让学生容易上手从而提高学生学习的积极性；②层次性要明显；③几何例题和练习的精心设计，重在思维；④实践性和趣味性与想象力；⑤要多让学生接触数形结合的练习。
关键词：基础性练习的设置；层次性；及时性与关联性；实践性和趣味性；数形结合
教师的主阵地是课堂，新课程背景下有效教学最核心的内涵就是学生学习的主动参与，师生互动，老师动口学生动手。师生之间相互配合，共同投入到教学活动中，知识可以讲清楚，但是能力必须要通过训练来提高。所谓“有效性”是指通过教师在一段时间的教学之后，学生所获得的进步和发展，也就是说学生有无进步或发展是有效性的唯一标准。同样有效性包含长效性和短效性。长效教学关注学生的发展的需求与学习的兴趣，以先进的育人理念作指导，树立学生的发展观是学生的全面发展的教学理念，关注学生学习活动中的生活体验。通过改变教学方式，通过指导学生学习方法，通过富有思考性，探索性挑战性的活动为学生提供成长和发展的时空。而密集型，训练性，集中性的学习或教学一般是短效性的。我在教学过程中努力提高数学学习的有效性，我采用了以下的方法，与同行交流。
一、基础练习的设计既要考虑学生的现有知识能力，也要考虑知识体系的完整性
如式子的特性：表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性。这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件，现列举这一性质在几类试题中的运用。
例1若下列式子有意义，试确定x的取值范围。
（1）；（2）；（3）；（4）。
解（1）。
分析在初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况：①分式中的分母不能为零；②二次根式中被开方数要大于等于零；③零指数幂的底数不能为零，抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围。通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显性形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成。
例2（1）已知x，y为实数，且，求的值。
（2）已知x，y为实数，且满足，那么_____。
解（1）依题意，得不等式组，解这个不等式组，得x=，∴y=-3，。
（2）原方程可以变形为：，
。
解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”。
通过此类问题的训练，让学生能初步掌握。的特性和基本方法。
二、数学练习的层次性要明显
我们所教授的学生基础往往各不相同，为了提高学生的学习兴趣克服畏难情绪，在选择练习题时要进行明显的分层，要让每一位学生多能上手，遵循由容易开始的原则。
例如我在讲授一元二次方程时有以下的一组练习题。
1.如果一元二次方程ax2 4x 1=0有两个不相等的实数根求实数a的取值范围。
2.如果一元二次方程ax2 4x 1=0有实数根求实数a的取值范围。
3.如果方程ax2 4x 1=0有实数根求实数a的取值范围。
这样分层次训练学生通过练习并总结后就会理清知识点之间的联系。第一题直接利用根与系数的关系解就行了，△=42-4a>0从而求得a<4且a≠0，唯一的注意点是一元二次方程的条件。第二题同第一题唯一的变化是△=42-4a≥0，第三题通过仔细读题就会发现此方程有可能是一元一次方程或一元二次方程所以要分类讨论，当它是一元一次方程是a=0，所以a=0时此方程有解，当它不是一元一次方程时a≠0且△≥0就能求了，注意一点此题要把两种情况合在一起。通过这种练习加强知识点之间的联系从而培养学生学习知识的关联性和系统性，理清知识点之间的脉络。
三、几何例题和练习的精心设计——重在思维，勤于训练
我们知道三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一，我通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识网，达到了事半功倍的教学效果。通过一题多解或多题一解来训练学生的数学思维，培养学生的數学素养。
如图1，在△ABC中，M是BC的中点，AB=CD，F是AD的中点，MF的延长线交BA的延长线于E点，求证：AE=AF。
分析：在本问题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键。
如图2，连BD，取BD中点P，连PF、PM，则有PF∥AB，PF=AB；PM∥CD，PM=CD。
∴∠PFM=∠E，∠PMF=∠MFC，
∵AB=CD，∴PF=PM。
∴∠PFM=PMF，
∴∠E=∠MFC=∠AFE
∴AE=AF。
训练1如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为AD和BC的中点，FE的延长线分别交CD的延长线和BA的延长线于点N、M求证：∠BMF=∠CNF。
略解连AC（或BD）并取其中点P，再连PE、PF，如图4，利用例题方法很容易得结论。
反思：从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核。于是进一步探讨下面的问题：
训练2如图5，在△ABC中，AC>AB，在它的两边AB，AC上分别截取BD=CE，F、G分别是BC，DE的中点，又AT是∠BAC的平分线。求证：FG∥AT。
方法1：如图6，连DC，并取其中点P，再连PG、PF，延长FG、BA交于点M，FG交AC于点N。则易用类似例题方法证得FG∥AT。 方法2：如图7，连结DF，并延长到H点，使FH=DF，连CH、EH，则有：△BDF≌△CHF，
得BD=CH，∠B=∠BCH，
∴CE=CH，∴∠CEH=∠CHE。
由三角形内角和定理，知∠CEH ∠CHE=∠BAC，
于是由∠TAC=∠HEC，得FG∥AT。
方法3：如图8，过D点作AT的垂线分别交AT、AC于M、P点，过B点作AT的垂线分别交AT、AC于N、Q点，连MG、NF。
由AT是∠BAC的平分線，很容易得：M、N分别为DP、BQ的中点，BD=PQ=CE，
∴PE=CQ。
∵F、G分别是BC、DE的中点，
∴MG∥AC，MG=PE，NF∥AC，NF=CQ，
∴MG∥NF，且MG=NF，
∴四边形MNFG为平行四边形，故得结论FG∥AT。
反思：方法1构造中点在预设之中，延长FG与BA交于M点在生成之外。显然是学生在模仿利用了前面的经验而构造的中点，在矛盾冲突中才尝试构造出延长线。这是学生一个很大的进步和创新。训练2比训练1又进了一个梯度，这能真实的反映学生的点滴收获。
方法2比方法1更有创意。事实上，利用F这个中点构造全等三角形是我们常讲的方法，也是学生能熟练运用的方法。解法3是最能体现命题者意图的方法，其中涉及角平分线，作垂线，等腰三角形“三线合一”性质，是我们解决此类问题的有效思路。
四、数学练习要注重生活和实践结合，要增强趣味性和操作性的结合。
当一个数学题看上去简单而实际上经常有“陷阱”时有助于提高学生解决问题的能力。有一位著名的教育家曾经说过“纸上得来总觉浅，绝知此事需躬行”。同样数学学习也如此，在选择练习题时也要与实践相结合。例如在一条笔直的公路上依次坐落着A，B，C三个工厂，已知AB=30km，甲和乙两辆货车分别从A、B两个工厂同时出发，沿公路匀速驶向C工厂，最终两车先后到达C工厂，在行驶过程中，甲车用了0。5小时经过B工厂，此时两车相距15km，最终甲车比乙车先到C工厂一小时：①求B，C两个工厂的距离；②求甲和乙两车之间的距离是10km时所行驶的时间？通过画图发现第一题很容易解决，发现甲车的速度是60km/时，乙车的速度是30km/时，列一元一次方程可求得BC=90km，而第二小问初看也简单实际上有一个很隐蔽的陷阱，同学们认为分两种情况求解就很全面了，①甲追近了乙，但没有追上离乙10km，②甲追过了乙，此时甲离乙10km。然而仔细分析后就会发现还有一种情况，由于甲已到B，此时乙离甲超过10km远，这时乙离甲的距离渐渐变近，中间会有某一时刻甲离乙10km远。所以理清整个过程就显得尤为的重要。如果不分析整个过程就不会发现第三种情形。又如一只蚂蚁从正方体的底面的一个顶点沿着它的表面爬到对角顶点，如何爬最近，画出爬行的路线并说明理由？通过分析同学们发现对角的两个顶点不在一个平面上，要想找到最短路线就应把它们放在一个平面内，让同学们想一下如何办？经过一点拨，同学们很快就会发现用展开图就能解决，把一个侧面翻折下来，让它和底面在同一个平面内你，连接这两个点就可了。然后把翻折的这一个面还原就行了。理由也简单，两点之间线段最短。这种理论与实践相结合的题目有助于提高学生的做题效率，增强举一反三的能力。实际上数学练习的有效性来源于教师与学生的互动，相互提高相互促进，老师进行有条理性的分析，学生多进行总结。
五、老师要多设计一些分类讨论与数形结合的问题，拓展学生的视野。
数学中分类讨论的思想在数学练习中尤为重要，数形结合的思想为将来的发展作好铺垫。因此我在平时的教学过程中努力让学生多接触这类练习题。
如图1，函数y1的图象与函数的图象交于A，B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）。
（1）求函数y1的表达式和B点的坐标；
（2）观察图象，比较当时，y1与y2的大小。
分析（1）由直线经过A（2，1），C（0，3）可求得其解析式为y1=-x 3。
由点A（2，1）在函数的图象上，可求得其解析式为。
解方程组，得，即为点B，A的坐标，
所以点B的坐标为（1，2）。
（2）观察图象可知，要比较y1与y2的大小，需分为三种情形：
①当x=1或x=2时，y1=y2；
②当1y2；
③当02时，y1 会正确地观察图像这也是一种很重要的能力，在初中有意识的加强这方面的练习有助于提高学生的综合能力为将来进入高一级学校学习提供必要的分析问题的能力。
老师在数学练习的设计时要考虑结合当前学生的特点，树立一种新型的数学练习观，让学生在高效练习中增强应用意识，提升实践和探究能力。让练习成为师生之间及时交流的平台，这样学生的正确认识能得到及时的强化，错误的认识得到纠正，教师的教学效率就能得到有效的提高。另外教师在课堂练习的过程中要主动地全面地为学生解决问题，在学生进行练习时，教师在教室里来回走动，让学生有问题及时与老师交流，学生可以主动的询问老师，同样老师也可以主动的询问学生，这样让学生时时刻刻感受到老师的关爱，让学生主动的学习，同时让学生进行及时的归纳和总结，再统一进行讲解，达到一解百解的效果从而减少学生数学练习的盲区，这就是短效。它主要在课堂上完成。通过不断地增加短效从而为提高长效作好良好的铺垫。总之老师在设计数学练习时既要考虑当前，也要为学生的良好发展提供很强的后劲，老师和学生通过不断的总结和提高，相互促进，一起进步。从而养成良好的分析问题和解决问题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力，提高学生的观察力和数学素养。
参考文献：
[1]葛书方.数学练习设计的有效性[J].吉林教育综合，2013，5：55-55.
[2]王宝印.浅仪初中数学课堂有效性练习[J].新课程（教师版）2011（1）：227-227.
关键词：基础性练习的设置；层次性；及时性与关联性；实践性和趣味性；数形结合
教师的主阵地是课堂，新课程背景下有效教学最核心的内涵就是学生学习的主动参与，师生互动，老师动口学生动手。师生之间相互配合，共同投入到教学活动中，知识可以讲清楚，但是能力必须要通过训练来提高。所谓“有效性”是指通过教师在一段时间的教学之后，学生所获得的进步和发展，也就是说学生有无进步或发展是有效性的唯一标准。同样有效性包含长效性和短效性。长效教学关注学生的发展的需求与学习的兴趣，以先进的育人理念作指导，树立学生的发展观是学生的全面发展的教学理念，关注学生学习活动中的生活体验。通过改变教学方式，通过指导学生学习方法，通过富有思考性，探索性挑战性的活动为学生提供成长和发展的时空。而密集型，训练性，集中性的学习或教学一般是短效性的。我在教学过程中努力提高数学学习的有效性，我采用了以下的方法，与同行交流。
一、基础练习的设计既要考虑学生的现有知识能力，也要考虑知识体系的完整性
如式子的特性：表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性。这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件，现列举这一性质在几类试题中的运用。
例1若下列式子有意义，试确定x的取值范围。
（1）；（2）；（3）；（4）。
解（1）。
分析在初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况：①分式中的分母不能为零；②二次根式中被开方数要大于等于零；③零指数幂的底数不能为零，抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围。通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显性形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成。
例2（1）已知x，y为实数，且，求的值。
（2）已知x，y为实数，且满足，那么_____。
解（1）依题意，得不等式组，解这个不等式组，得x=，∴y=-3，。
（2）原方程可以变形为：，
。
解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”。
通过此类问题的训练，让学生能初步掌握。的特性和基本方法。
二、数学练习的层次性要明显
我们所教授的学生基础往往各不相同，为了提高学生的学习兴趣克服畏难情绪，在选择练习题时要进行明显的分层，要让每一位学生多能上手，遵循由容易开始的原则。
例如我在讲授一元二次方程时有以下的一组练习题。
1.如果一元二次方程ax2 4x 1=0有两个不相等的实数根求实数a的取值范围。
2.如果一元二次方程ax2 4x 1=0有实数根求实数a的取值范围。
3.如果方程ax2 4x 1=0有实数根求实数a的取值范围。
这样分层次训练学生通过练习并总结后就会理清知识点之间的联系。第一题直接利用根与系数的关系解就行了，△=42-4a>0从而求得a<4且a≠0，唯一的注意点是一元二次方程的条件。第二题同第一题唯一的变化是△=42-4a≥0，第三题通过仔细读题就会发现此方程有可能是一元一次方程或一元二次方程所以要分类讨论，当它是一元一次方程是a=0，所以a=0时此方程有解，当它不是一元一次方程时a≠0且△≥0就能求了，注意一点此题要把两种情况合在一起。通过这种练习加强知识点之间的联系从而培养学生学习知识的关联性和系统性，理清知识点之间的脉络。
三、几何例题和练习的精心设计——重在思维，勤于训练
我们知道三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一，我通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识网，达到了事半功倍的教学效果。通过一题多解或多题一解来训练学生的数学思维，培养学生的數学素养。
如图1，在△ABC中，M是BC的中点，AB=CD，F是AD的中点，MF的延长线交BA的延长线于E点，求证：AE=AF。
分析：在本问题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键。
如图2，连BD，取BD中点P，连PF、PM，则有PF∥AB，PF=AB；PM∥CD，PM=CD。
∴∠PFM=∠E，∠PMF=∠MFC，
∵AB=CD，∴PF=PM。
∴∠PFM=PMF，
∴∠E=∠MFC=∠AFE
∴AE=AF。
训练1如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为AD和BC的中点，FE的延长线分别交CD的延长线和BA的延长线于点N、M求证：∠BMF=∠CNF。
略解连AC（或BD）并取其中点P，再连PE、PF，如图4，利用例题方法很容易得结论。
反思：从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核。于是进一步探讨下面的问题：
训练2如图5，在△ABC中，AC>AB，在它的两边AB，AC上分别截取BD=CE，F、G分别是BC，DE的中点，又AT是∠BAC的平分线。求证：FG∥AT。
方法1：如图6，连DC，并取其中点P，再连PG、PF，延长FG、BA交于点M，FG交AC于点N。则易用类似例题方法证得FG∥AT。 方法2：如图7，连结DF，并延长到H点，使FH=DF，连CH、EH，则有：△BDF≌△CHF，
得BD=CH，∠B=∠BCH，
∴CE=CH，∴∠CEH=∠CHE。
由三角形内角和定理，知∠CEH ∠CHE=∠BAC，
于是由∠TAC=∠HEC，得FG∥AT。
方法3：如图8，过D点作AT的垂线分别交AT、AC于M、P点，过B点作AT的垂线分别交AT、AC于N、Q点，连MG、NF。
由AT是∠BAC的平分線，很容易得：M、N分别为DP、BQ的中点，BD=PQ=CE，
∴PE=CQ。
∵F、G分别是BC、DE的中点，
∴MG∥AC，MG=PE，NF∥AC，NF=CQ，
∴MG∥NF，且MG=NF，
∴四边形MNFG为平行四边形，故得结论FG∥AT。
反思：方法1构造中点在预设之中，延长FG与BA交于M点在生成之外。显然是学生在模仿利用了前面的经验而构造的中点，在矛盾冲突中才尝试构造出延长线。这是学生一个很大的进步和创新。训练2比训练1又进了一个梯度，这能真实的反映学生的点滴收获。
方法2比方法1更有创意。事实上，利用F这个中点构造全等三角形是我们常讲的方法，也是学生能熟练运用的方法。解法3是最能体现命题者意图的方法，其中涉及角平分线，作垂线，等腰三角形“三线合一”性质，是我们解决此类问题的有效思路。
四、数学练习要注重生活和实践结合，要增强趣味性和操作性的结合。
当一个数学题看上去简单而实际上经常有“陷阱”时有助于提高学生解决问题的能力。有一位著名的教育家曾经说过“纸上得来总觉浅，绝知此事需躬行”。同样数学学习也如此，在选择练习题时也要与实践相结合。例如在一条笔直的公路上依次坐落着A，B，C三个工厂，已知AB=30km，甲和乙两辆货车分别从A、B两个工厂同时出发，沿公路匀速驶向C工厂，最终两车先后到达C工厂，在行驶过程中，甲车用了0。5小时经过B工厂，此时两车相距15km，最终甲车比乙车先到C工厂一小时：①求B，C两个工厂的距离；②求甲和乙两车之间的距离是10km时所行驶的时间？通过画图发现第一题很容易解决，发现甲车的速度是60km/时，乙车的速度是30km/时，列一元一次方程可求得BC=90km，而第二小问初看也简单实际上有一个很隐蔽的陷阱，同学们认为分两种情况求解就很全面了，①甲追近了乙，但没有追上离乙10km，②甲追过了乙，此时甲离乙10km。然而仔细分析后就会发现还有一种情况，由于甲已到B，此时乙离甲超过10km远，这时乙离甲的距离渐渐变近，中间会有某一时刻甲离乙10km远。所以理清整个过程就显得尤为的重要。如果不分析整个过程就不会发现第三种情形。又如一只蚂蚁从正方体的底面的一个顶点沿着它的表面爬到对角顶点，如何爬最近，画出爬行的路线并说明理由？通过分析同学们发现对角的两个顶点不在一个平面上，要想找到最短路线就应把它们放在一个平面内，让同学们想一下如何办？经过一点拨，同学们很快就会发现用展开图就能解决，把一个侧面翻折下来，让它和底面在同一个平面内你，连接这两个点就可了。然后把翻折的这一个面还原就行了。理由也简单，两点之间线段最短。这种理论与实践相结合的题目有助于提高学生的做题效率，增强举一反三的能力。实际上数学练习的有效性来源于教师与学生的互动，相互提高相互促进，老师进行有条理性的分析，学生多进行总结。
五、老师要多设计一些分类讨论与数形结合的问题，拓展学生的视野。
数学中分类讨论的思想在数学练习中尤为重要，数形结合的思想为将来的发展作好铺垫。因此我在平时的教学过程中努力让学生多接触这类练习题。
如图1，函数y1的图象与函数的图象交于A，B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）。
（1）求函数y1的表达式和B点的坐标；
（2）观察图象，比较当时，y1与y2的大小。
分析（1）由直线经过A（2，1），C（0，3）可求得其解析式为y1=-x 3。
由点A（2，1）在函数的图象上，可求得其解析式为。
解方程组，得，即为点B，A的坐标，
所以点B的坐标为（1，2）。
（2）观察图象可知，要比较y1与y2的大小，需分为三种情形：
①当x=1或x=2时，y1=y2；
②当1
③当0
老师在数学练习的设计时要考虑结合当前学生的特点，树立一种新型的数学练习观，让学生在高效练习中增强应用意识，提升实践和探究能力。让练习成为师生之间及时交流的平台，这样学生的正确认识能得到及时的强化，错误的认识得到纠正，教师的教学效率就能得到有效的提高。另外教师在课堂练习的过程中要主动地全面地为学生解决问题，在学生进行练习时，教师在教室里来回走动，让学生有问题及时与老师交流，学生可以主动的询问老师，同样老师也可以主动的询问学生，这样让学生时时刻刻感受到老师的关爱，让学生主动的学习，同时让学生进行及时的归纳和总结，再统一进行讲解，达到一解百解的效果从而减少学生数学练习的盲区，这就是短效。它主要在课堂上完成。通过不断地增加短效从而为提高长效作好良好的铺垫。总之老师在设计数学练习时既要考虑当前，也要为学生的良好发展提供很强的后劲，老师和学生通过不断的总结和提高，相互促进，一起进步。从而养成良好的分析问题和解决问题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力，提高学生的观察力和数学素养。
参考文献：
[1]葛书方.数学练习设计的有效性[J].吉林教育综合，2013，5：55-55.
[2]王宝印.浅仪初中数学课堂有效性练习[J].新课程（教师版）2011（1）：227-227.