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求多动点轨迹是轨迹中一类较为复杂的问题，其复杂形式体现在主动点（即在一定条件下可相对自由运动的点）至少在两个以上，这就使探求从动点（随主动点运动而运动的点）的轨迹增加了难度。在近几年各省市的高考考题中时有出现多动点轨迹问题或是相关问题，因此，在中学数学的教学中加强研究多动点轨迹问题也就显得很有必要。如何恰当地设置变元，合理选择参数，并且有效地消参，减少运算量，是处理这类问题的难点和关键所在。本文对这类问题的求解作了初步探讨。
一、两种求解模式
模式１，参数法：从揭示主从动点的内在联系入手，选择恰当的参数或参数组，以参数为媒介，使已知和求解之间处于隐含状态下的联系得以明朗化，然后逐步消参，使问题获得解决。
模式2，方程法：从分析主从动点的数量关系入手，选择点坐标为变元，运用数学语言把问题中的已知量和求解量之间的数量关系转化为n-1个独立的方程式（n为主从动点之间的变元个数），然后通过适当的消元技巧，使问题获得解决。
例1，（2010年高考题广东卷第20题），已知双曲线 -y2=1的左右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)、Q(x1，-y1)是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A1P与A2Q的交点的轨迹E的方程。
（2）若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值。
分析：（1）本题的主动点的条件为：①主动点P、 Q在双曲线上；②点P、 Q关于x轴对称。故本小节可采用“方程法模式”求解较好。
（2）这是一个与存在性有关的求值题，可采用多动点轨迹的“参数法模式”求解较好。
解：（1）（方程法模式）由题设知:|x1|> 2，A1（- 2，0），A2（ 2，0），则有直线A1P的方程为：
y=（x+ 2） ①
直线A2Q的方程为：y=（x- 2）②
又P(x1，y1)在双曲线 -y2=1上,∴ -y12=1。 ③
由①②解得x1= ，y1= （x≠0，|x|< 2）； ④
由③④消去x1、y1,可得轨迹E的方程为： +y2=1（x≠0且|x|≠ 2）。
（2）（参数法模式）∵l1和l2都过点H(0，h)(h>1)且l1⊥l2，故可设直线l1的方程为：
于是直线l2的方程为：
把l1的方程代入E： +y2=1,并整理得：
（cos2a+2sin2a）t2+4hsina·t+2h2-2=0
∵l1和曲线E只有一个交点，
∴△1=（4hsina）2-4（cos2a+2sin2a）（2h2-2）=0
tan2a= …………（A）
把l2的方程代入E： +y2=1，并整理得：
（sin2a+2cos2a）t2+4hcosa·t+2h2-2=0
∵l2和曲线E只有一个交点，
∴△2=（4hcosa）2-4（sin2a+2cos2a）（2h2-2）=0
tan2a= …………（B）
由（A）、（B）消去a可得： = （h2-1）2=4；
又h>1，∴h= 3。
另一方面，在轨迹E的方程 +y2=1（x≠0且|x|≠ 2） 中，
轨迹E上的点不含A1（- 2，0）、A2（ 2，0）。
过点A1，A2分别引直线l1和l2，且通过y轴上的点H(0，h)（h>1）并使l1⊥l2，此时l1和l2与曲线E也只有一个交点，则有A1H⊥A2H，
故有： ·（-）=-1h= 2。
于是l1，l2的方程分别为：y=x+ 2与y=-x+ 2
它们与轨迹E分别仅有一个交点（-，）与（ ，）；
故满足条件h的值为 3或 2。
二、多动点轨迹的相关问题
在解析几何中，许多与点的运动有关的问题（如参数的取值范围、最值问题、存在性问题等），在一定程度上，都可以看作是多动点之间相互制约运动时其隐含的内在规律的一种必然体现。因此，如果从探求动点相互运动的规律入手，采用求动点轨迹的分析方法，把问题看作是多动点轨迹的相关问题，有时能很快地找到解题途径，使问题迅速获解。
例2，如果椭圆 ＋ =1（b>0），以C（0，b）为直角顶点的内接等腰直角三角形ABC有且只有一个，求b的最小值。
分析：这是一个与存在性有关的最值问题，可采用多动点轨迹的参数法模式求解。
解：（参数法模式）∵C（0，b）为等腰直角三角形ABC的直角顶点，
故可设AC为
于是有BC为
把AC的方程代入椭圆方程，并整理得：
（b2cos2a+3sin2a）t2+6btsina=0
同理有：（b2sins2a+3cos2a）t2+6btcosa=0
由|AC|=|BC|可得：
∵cosa≠0，b>0，
故有tana=
=
∴（tana-1）[b2tan2a+（b2-3）tana+b2]=0
由题设△ABC有且只有一个，所以上述关于tana的方程有且只有唯一解tana=1，于是关于tana的二次方程[b2tan2a+（b2-3）tana+b2]=0无实根或是有两个都等于1的实根。
从而有：△=（b2-3）2-4b4<0或
∴b2>1或b2=1即b2≥1；
又∵b>0，故b的最小值为1。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
一、两种求解模式
模式１，参数法：从揭示主从动点的内在联系入手，选择恰当的参数或参数组，以参数为媒介，使已知和求解之间处于隐含状态下的联系得以明朗化，然后逐步消参，使问题获得解决。
模式2，方程法：从分析主从动点的数量关系入手，选择点坐标为变元，运用数学语言把问题中的已知量和求解量之间的数量关系转化为n-1个独立的方程式（n为主从动点之间的变元个数），然后通过适当的消元技巧，使问题获得解决。
例1，（2010年高考题广东卷第20题），已知双曲线 -y2=1的左右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)、Q(x1，-y1)是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A1P与A2Q的交点的轨迹E的方程。
（2）若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值。
分析：（1）本题的主动点的条件为：①主动点P、 Q在双曲线上；②点P、 Q关于x轴对称。故本小节可采用“方程法模式”求解较好。
（2）这是一个与存在性有关的求值题，可采用多动点轨迹的“参数法模式”求解较好。
解：（1）（方程法模式）由题设知:|x1|> 2，A1（- 2，0），A2（ 2，0），则有直线A1P的方程为：
y=（x+ 2） ①
直线A2Q的方程为：y=（x- 2）②
又P(x1，y1)在双曲线 -y2=1上,∴ -y12=1。 ③
由①②解得x1= ，y1= （x≠0，|x|< 2）； ④
由③④消去x1、y1,可得轨迹E的方程为： +y2=1（x≠0且|x|≠ 2）。
（2）（参数法模式）∵l1和l2都过点H(0，h)(h>1)且l1⊥l2，故可设直线l1的方程为：
于是直线l2的方程为：
把l1的方程代入E： +y2=1,并整理得：
（cos2a+2sin2a）t2+4hsina·t+2h2-2=0
∵l1和曲线E只有一个交点，
∴△1=（4hsina）2-4（cos2a+2sin2a）（2h2-2）=0
tan2a= …………（A）
把l2的方程代入E： +y2=1，并整理得：
（sin2a+2cos2a）t2+4hcosa·t+2h2-2=0
∵l2和曲线E只有一个交点，
∴△2=（4hcosa）2-4（sin2a+2cos2a）（2h2-2）=0
tan2a= …………（B）
由（A）、（B）消去a可得： = （h2-1）2=4；
又h>1，∴h= 3。
另一方面，在轨迹E的方程 +y2=1（x≠0且|x|≠ 2） 中，
轨迹E上的点不含A1（- 2，0）、A2（ 2，0）。
过点A1，A2分别引直线l1和l2，且通过y轴上的点H(0，h)（h>1）并使l1⊥l2，此时l1和l2与曲线E也只有一个交点，则有A1H⊥A2H，
故有： ·（-）=-1h= 2。
于是l1，l2的方程分别为：y=x+ 2与y=-x+ 2
它们与轨迹E分别仅有一个交点（-，）与（ ，）；
故满足条件h的值为 3或 2。
二、多动点轨迹的相关问题
在解析几何中，许多与点的运动有关的问题（如参数的取值范围、最值问题、存在性问题等），在一定程度上，都可以看作是多动点之间相互制约运动时其隐含的内在规律的一种必然体现。因此，如果从探求动点相互运动的规律入手，采用求动点轨迹的分析方法，把问题看作是多动点轨迹的相关问题，有时能很快地找到解题途径，使问题迅速获解。
例2，如果椭圆 ＋ =1（b>0），以C（0，b）为直角顶点的内接等腰直角三角形ABC有且只有一个，求b的最小值。
分析：这是一个与存在性有关的最值问题，可采用多动点轨迹的参数法模式求解。
解：（参数法模式）∵C（0，b）为等腰直角三角形ABC的直角顶点，
故可设AC为
于是有BC为
把AC的方程代入椭圆方程，并整理得：
（b2cos2a+3sin2a）t2+6btsina=0
同理有：（b2sins2a+3cos2a）t2+6btcosa=0
由|AC|=|BC|可得：
∵cosa≠0，b>0，
故有tana=
=
∴（tana-1）[b2tan2a+（b2-3）tana+b2]=0
由题设△ABC有且只有一个，所以上述关于tana的方程有且只有唯一解tana=1，于是关于tana的二次方程[b2tan2a+（b2-3）tana+b2]=0无实根或是有两个都等于1的实根。
从而有：△=（b2-3）2-4b4<0或
∴b2>1或b2=1即b2≥1；
又∵b>0，故b的最小值为1。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”