平面几何中的证题和解题常常通过作辅助线得以解决。对称、旋转变换是解决平面几何问题常用的方法。当题设和结论中的某些元素,它们之间的关系在原来位置上往往不易发现,很难思考,这时采取适当的变换,将图形中分散的几何量集中起来,构成新的图形,便于找到解决问题的途径。下面是利用对称、旋转变换解几何极值问题的几个实例。
　　1.已知:P、Q是△ABC的AB、AC上的两个定点,在BC上求一点M,使△MPQ的周长为最小。
　　分析:P、Q是AB、AC上的两个定点,所以PQ 的常是一定的,要使△MPQ的周长为最小,只需MP+MQ为最短。
　　解:作P点关于BC的对称点P′,连结P′交BC于M, 连结PM, 则△MPQ的周长为最小。
　　2.已知:如图, △ABC为正三角形,P为正三角形外的任意一点。
　　求证:PB+PC≥PA
　　分析:如图,这是证明两条线段的和与第三条线段的关系,可将这三条线段集中到同一个三角形中。
　　证明:将△BCP绕B点逆时针旋转60°到△ABQ的位置,则AQ=CP,
　　并且△BPQ中,BQ=BP,∠PBQ=60°
　　则△BPQ为等边三角形,所以PQ=BP,在△APQ中,AQ+PQ>AP
　　当点Q落在线段PA上时,也就是∠BPA=60°时,有AQ+PQ=AP
　　∴AQ+PQ≥AP,即: BP+CP≥AP.
　　3.已知:正方形內一点E,E是A、B、C三点的距离和的最小值为2+6,求正方形的边长。
　　分析:EA+EB+E的最小值为2+6
　　我们设法用两点之 图 1间线段最短来解决这个问题,我们可以通过旋转变换将这三条线段首尾顺次相接成一条折线,再 (图1)做探索。
　　解:把△ABE绕点B按逆时针的方向旋转60°到△MBN的位置,连接ME,则△BEN为正三角形。∴EM=BE
　　∴EA+EB+EC=MN+EM+EC ≥ NC
　　当EA+EB+EC有最小值 2+6M、N、E、C四点共线,即图(2)
　　∴∠AEB=∠NMB=∠BEC=120°
　　∠MBN=∠ABE=∠EBC=45° 图 2
　　∴∠NBC=45°+60°+45°=150°
　　(图2)下面求正方形的边长
　　过C点NB的垂线交NB的延长线于F,
　　在Rt△NFC中,根据勾股定理得:
　　解得x=2,即正方形的边长为2
　　4.已知:A(2,-3),B(4,-1)在x轴上求两点C(a,0),D(a+3,0)使四边形的周长最短。
　　分析:AB和CD的 长一定, 要使四边形ABCD的周长为最短,只需 AC+BD 为最小,(可先确定C点的位置,然后确定D点的位置)
　　我们可以把线段AC和BD变成有公共端点的折线。
　　解:将B点向左平移三个单位至B′,作A点关于x轴的对称点A′,连结A′B′交x轴于C点, 将C点向右平移三个单位到点D,这时四边形ABDC的周长为最短,现在求C,D两点的坐标。
　　由三角形相似得
　　CECF=B′EA′E=13∴ CE=0.25
　　即:C (1.25, 0)∴D (4.25, 0)