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[摘要]“线性代数”在自然科学与社会科学的各个领域发挥着越来越重要的作用,但由于种种原因,课程的应用特色未能在教学中得到很好的体现。文章结合笔者在教学实践中的体会,从激发学生的学习兴趣、问题出发引入抽象的概念、利用计算机辅助教学、在教学中渗透数学建模、通过增加应用问题的作业与考题等方面,对如何在课程的教学中培养学生的应用能力进行一些探讨。
[关键词]应用能力 培养 线性代数 教学
[作者简介]韦兰英(1973- ),女,广西上林人,壮族,广西民族师范学院数学与计算机科学系,讲师,研究方向为数学学科教学论;张振强(1974- ),男,广西隆安人,壮族,广西民族师范学院数学与计算机科学系,讲师,硕士,研究方向为数学建模教学。(广西 崇左532200)
[基金项目]本文系广西民族师范学院科研经费资助项目“大学生数学应用意识与实践能力培养的研究”的研究成果。(项目编号:ybxm200913)
[中图分类号]G642.3[文献标识码]A[文章编号]1004-3985(2010)23-0137-01
“线性代数”课程是高等院校理、工科各专业一门重要的基础课。它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支,而且在自然科学与社会科学的各个领域发挥着越来越重要的作用。但由于种种原因,该课程的应用特色未能在教学中得到很好的体现,许多学生感受不到这门课程的重要性和应用价值。培养与提高学生应用数学知识解决实际问题的能力是每位数学教师应面对的课题。现结合笔者在教学实践中的体会,对如何在“线性代数”课程的教学中培养学生进行一些探讨。
一、与实际结合,激发学生对“线性代数”课程的兴趣
很多老师可能都有这样的经历,在教授“线性代数”课后一些学生会提出学习线性代数有什么用的问题。学生产生这样的困惑,原因在于大多数的教学都重视理论和计算,倾向于数学知识的灌输,轻视线性代数的产生理论背景,缺乏理论与实践相结合,这使课程成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程,不利于专业课程后续的深入学习。
教师在授课过程中可以有针对性地讲授相关知识点的具体应用领域,根据相应专业的需要选取其中重要的几方面的应用作详细研究,多列一些与人们生产、生活相关的例子,以激发学生的学习热情,调动学生学习的积极性。如内积空间中向量的正交性应用——最小二乘法;矩阵运算的应用——投入产出线性代数模型;四个城市间的单向航线可用矩阵表示;计算机中数据的存储,可以二维数组-矩阵的方式存储;矩阵乘法在密码学中的简单应用等。这些应用内容的引入,使学生了解了数学知识的应用性和重要性,达到学以致用的目的。教师在教学中强化应用意识,使学生在朴素的问题情景中,观察、思考、运用数学思想与方法,逐步形成良好的数学思维习惯,增强了其学习的兴趣。
二、问题驱动:从问题出发引入抽象的概念
问题驱动的课堂教学的目的是让学生参与到课堂教学当中,这种授课方法是从问题情景出发,来提出问题并解决问题。最初学生可能不会提问题,或者不知该提什么样的问题,这就需要教师在课堂教学中,提出具有启发性的问题,利用学生刨根问底的好奇心,引导学生进一步提出自己的问题,渐渐地学生就知道如何提问题了。
由于线性代数具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性,学生学习起来有许多的困难,因此,要求教师在讲授线性代数的过程中,努力将线性代数理论知识的产生背景作以介绍,让学生知道这些知识的来龙去脉,特别应注意从解决问题的需要引入概念和定义,可以举一些工程技术或经济管理上的实例,帮助学生理解抽象概念的应用背景。
如讲矩阵的概念时,从克莱姆法则人手。用克莱姆法则讨论方程组的解,其线性方程组的特点是有n个方程,n个未知量,方程组的系数可以构成行列式。“对于未知量与方程不等的方程组还可以用克莱姆法则讨论解的问题吗?”“为什么?”当学生想到这样的线性方程组已经不能用克莱姆法则求解的主要原因是方程组的系数已经不能构成行列式,由这个问题让学生注意到了方程组的系数的结构有了变化,它已经是一个矩形表,从而引出矩阵的定义。采用这一教学方式,能使学生理解到实际生活或生产实践中所涉及的表的内容都是矩阵的应用,让学生认识到矩阵应用的广泛性。
三、利用计算机辅助教学,提高课堂教学效果
随着信息化程度的加快,学生对新知识的需求增多,课程授课中面临知识量的增多与学时减少的两难局面。适当利用计算机辅助教学手段,可使讲解更直观、更清晰、更具吸引力,更容易建立新旧知识之间的联系,提高学生直感新知识的速度,加深学生对知识的理解程度,有效地解决课程内容多与学时少的矛盾。因此,结合多媒体进行教学,保留了传统教学法的优点,又增大了课堂容量,提高了课堂教学效率。
虽然计算机的发展速度很快,但在“线性代数”课中教师不教学生利用计算机来解题,这成为我国线性代数教育界与发达国家的明显差距。课本上介绍的线性代数知识相当一部分是计算方面的,教师花了大量的时间在计算方法的讲解与训练上。然而,实际生活中遇到的线性问题,绝大部分由于数据的庞大与复杂,都不可能靠手算出来。因此,为了使学生在将来的工作中能用所学的线性代数知识来更好地服务社会,教师在教学中可引入目前美国大学工科中最流行的数学工具——Matlab语言。它不仅能快速准确地计算行列式、逆矩阵、方程组、特值与特征向量等许多问题,而且能加深学生对许多抽象概念的理解,使学生在学习过程中也能发现线性代数的形象、简明与精彩。
采用“多媒体+黑板”的教学模式,以计算机为手段,以数学软件为工具,通过直观的演示,使学生对数学教学中的有关概念和结论产生更深刻的认识。增强了学生利用现代数学工具解决实际问题的能力,使数学不再是孤立的公式和结论。还可以充分利用网络资源给学生提供丰富的参考资料,多介绍一些线性代数在专业上的应用,介绍数学的最新发展状况,扩大学生的知识视野,提高学生的应用能力。
四、数学建模——培养数学应用能力的有效途径
21世纪课程改革的一个重要目标就是注重知识的综合性和应用性,使其与学生的实际生活和社会实践相联系。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁。当前,在教学中渗透数学建模对于数学课程改革具有深远的意义。教师通过“问题情景—建立模型—解释应用与拓展”的叙述方式,使学生在熟悉的问题情境中思考,养成良好的数学思维习惯,从而把所学数学知识与实际应用结合起来。因此,结合线性代数课程的特点,将数学实验与数学建模思想融入课堂教学中,教师利用生活中的实例或热点问题作背景编拟题目,加强数学与实际的联系,就能使学生意识到数学源于生活,数学知识可以解决实际问题。如在讲解方程组时,可以以化学方程式的配平、网络流与交通流量等实际问题为例。在介绍向量空间时,城市间的人口迁徙、农场某种动物各年龄段的分布比例等有关马尔可夫链的数学模型将会给学生带来极大的学习兴趣。这些应用内容的引入,不仅使学生得到建立数学模型及解决实际问题的初步训练,还能提高学生学习兴趣,培养学生的应用能力。
五、通过增加应用问题的作业、考题,增强应用意识
由于课时的限制,应用能力的培养不应局限于课堂,还可以融入作业与考试之中。教师可以结合课程内容提出某些典型的实际应用问题,让学生建立数学模型,亲自动手去搜集资料,寻找答案,最后以书面作业或小论文的形式完成。一是可以扩大学生的视野,使学生将所学的线性代数知识融会贯通;二是可以改变传统的作业形式,使得数学的学习变得生动,由过去的被动接受变为主动探寻;三是可以培养学生的科研能力,提高学生运用数学知识去解决实际问题的能力。
考试是教学过程中的一个重要环节,是检验学生学习情况,评估教学质量的手段。对于线性代数课程的考试,多年来一直沿用闭卷笔试的方式,只有平时成绩和期末考试两种形式。这种考试方式对于维持正常的教学秩序能起到一定的作用,但不利于学生的应用能力的培养。基于应用能力培养的线性代数的考核要以重视应用、考查能力、注重思想、淡化技巧为原则,采取灵活多样的考核形式,在教学中用互动方式进行考核,试卷中要有数学应用方面的考题。以此引导学生重视应用问题的学习,从而培养学生的综合应用能力。
六、结束语
线性问题广泛存在于自然科学和社会科学的各个领域,某些非线性问题在一定条件下也可以转化为线性问题来处理。尤其在计算机普遍推广应用的情况下,线性代数的概念和方法,广泛地应用于各个领域,成为从事自然科学和工程技术工作的不可缺少的工具。因此,在教学中重视线性代数的应用,对学习这门课程是非常必要的,它能使学生体会到通过数学知识解决实际问题的乐趣,摆脱数学乏味的思想,并能自觉地通过数学知识和数学方法去观察和解决生活中、科技中遇到的问题,这也是素质教育的根本所在。
[参考文献]
[1]吴纯.高职高专《线性代数》教学探讨[J].职业圈,2007(14).
[2]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究,2008(4).
[3]田晓娟.重视“数学应用”,渗透“数学建模”[J].科学教育,2008(2).
[4]李小新,桂旺生.《线性代数》课程教学改革的实践与思考[J].池州学院学报,2008(5).
[关键词]应用能力 培养 线性代数 教学
[作者简介]韦兰英(1973- ),女,广西上林人,壮族,广西民族师范学院数学与计算机科学系,讲师,研究方向为数学学科教学论;张振强(1974- ),男,广西隆安人,壮族,广西民族师范学院数学与计算机科学系,讲师,硕士,研究方向为数学建模教学。(广西 崇左532200)
[基金项目]本文系广西民族师范学院科研经费资助项目“大学生数学应用意识与实践能力培养的研究”的研究成果。(项目编号:ybxm200913)
[中图分类号]G642.3[文献标识码]A[文章编号]1004-3985(2010)23-0137-01
“线性代数”课程是高等院校理、工科各专业一门重要的基础课。它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支,而且在自然科学与社会科学的各个领域发挥着越来越重要的作用。但由于种种原因,该课程的应用特色未能在教学中得到很好的体现,许多学生感受不到这门课程的重要性和应用价值。培养与提高学生应用数学知识解决实际问题的能力是每位数学教师应面对的课题。现结合笔者在教学实践中的体会,对如何在“线性代数”课程的教学中培养学生进行一些探讨。
一、与实际结合,激发学生对“线性代数”课程的兴趣
很多老师可能都有这样的经历,在教授“线性代数”课后一些学生会提出学习线性代数有什么用的问题。学生产生这样的困惑,原因在于大多数的教学都重视理论和计算,倾向于数学知识的灌输,轻视线性代数的产生理论背景,缺乏理论与实践相结合,这使课程成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程,不利于专业课程后续的深入学习。
教师在授课过程中可以有针对性地讲授相关知识点的具体应用领域,根据相应专业的需要选取其中重要的几方面的应用作详细研究,多列一些与人们生产、生活相关的例子,以激发学生的学习热情,调动学生学习的积极性。如内积空间中向量的正交性应用——最小二乘法;矩阵运算的应用——投入产出线性代数模型;四个城市间的单向航线可用矩阵表示;计算机中数据的存储,可以二维数组-矩阵的方式存储;矩阵乘法在密码学中的简单应用等。这些应用内容的引入,使学生了解了数学知识的应用性和重要性,达到学以致用的目的。教师在教学中强化应用意识,使学生在朴素的问题情景中,观察、思考、运用数学思想与方法,逐步形成良好的数学思维习惯,增强了其学习的兴趣。
二、问题驱动:从问题出发引入抽象的概念
问题驱动的课堂教学的目的是让学生参与到课堂教学当中,这种授课方法是从问题情景出发,来提出问题并解决问题。最初学生可能不会提问题,或者不知该提什么样的问题,这就需要教师在课堂教学中,提出具有启发性的问题,利用学生刨根问底的好奇心,引导学生进一步提出自己的问题,渐渐地学生就知道如何提问题了。
由于线性代数具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性,学生学习起来有许多的困难,因此,要求教师在讲授线性代数的过程中,努力将线性代数理论知识的产生背景作以介绍,让学生知道这些知识的来龙去脉,特别应注意从解决问题的需要引入概念和定义,可以举一些工程技术或经济管理上的实例,帮助学生理解抽象概念的应用背景。
如讲矩阵的概念时,从克莱姆法则人手。用克莱姆法则讨论方程组的解,其线性方程组的特点是有n个方程,n个未知量,方程组的系数可以构成行列式。“对于未知量与方程不等的方程组还可以用克莱姆法则讨论解的问题吗?”“为什么?”当学生想到这样的线性方程组已经不能用克莱姆法则求解的主要原因是方程组的系数已经不能构成行列式,由这个问题让学生注意到了方程组的系数的结构有了变化,它已经是一个矩形表,从而引出矩阵的定义。采用这一教学方式,能使学生理解到实际生活或生产实践中所涉及的表的内容都是矩阵的应用,让学生认识到矩阵应用的广泛性。
三、利用计算机辅助教学,提高课堂教学效果
随着信息化程度的加快,学生对新知识的需求增多,课程授课中面临知识量的增多与学时减少的两难局面。适当利用计算机辅助教学手段,可使讲解更直观、更清晰、更具吸引力,更容易建立新旧知识之间的联系,提高学生直感新知识的速度,加深学生对知识的理解程度,有效地解决课程内容多与学时少的矛盾。因此,结合多媒体进行教学,保留了传统教学法的优点,又增大了课堂容量,提高了课堂教学效率。
虽然计算机的发展速度很快,但在“线性代数”课中教师不教学生利用计算机来解题,这成为我国线性代数教育界与发达国家的明显差距。课本上介绍的线性代数知识相当一部分是计算方面的,教师花了大量的时间在计算方法的讲解与训练上。然而,实际生活中遇到的线性问题,绝大部分由于数据的庞大与复杂,都不可能靠手算出来。因此,为了使学生在将来的工作中能用所学的线性代数知识来更好地服务社会,教师在教学中可引入目前美国大学工科中最流行的数学工具——Matlab语言。它不仅能快速准确地计算行列式、逆矩阵、方程组、特值与特征向量等许多问题,而且能加深学生对许多抽象概念的理解,使学生在学习过程中也能发现线性代数的形象、简明与精彩。
采用“多媒体+黑板”的教学模式,以计算机为手段,以数学软件为工具,通过直观的演示,使学生对数学教学中的有关概念和结论产生更深刻的认识。增强了学生利用现代数学工具解决实际问题的能力,使数学不再是孤立的公式和结论。还可以充分利用网络资源给学生提供丰富的参考资料,多介绍一些线性代数在专业上的应用,介绍数学的最新发展状况,扩大学生的知识视野,提高学生的应用能力。
四、数学建模——培养数学应用能力的有效途径
21世纪课程改革的一个重要目标就是注重知识的综合性和应用性,使其与学生的实际生活和社会实践相联系。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁。当前,在教学中渗透数学建模对于数学课程改革具有深远的意义。教师通过“问题情景—建立模型—解释应用与拓展”的叙述方式,使学生在熟悉的问题情境中思考,养成良好的数学思维习惯,从而把所学数学知识与实际应用结合起来。因此,结合线性代数课程的特点,将数学实验与数学建模思想融入课堂教学中,教师利用生活中的实例或热点问题作背景编拟题目,加强数学与实际的联系,就能使学生意识到数学源于生活,数学知识可以解决实际问题。如在讲解方程组时,可以以化学方程式的配平、网络流与交通流量等实际问题为例。在介绍向量空间时,城市间的人口迁徙、农场某种动物各年龄段的分布比例等有关马尔可夫链的数学模型将会给学生带来极大的学习兴趣。这些应用内容的引入,不仅使学生得到建立数学模型及解决实际问题的初步训练,还能提高学生学习兴趣,培养学生的应用能力。
五、通过增加应用问题的作业、考题,增强应用意识
由于课时的限制,应用能力的培养不应局限于课堂,还可以融入作业与考试之中。教师可以结合课程内容提出某些典型的实际应用问题,让学生建立数学模型,亲自动手去搜集资料,寻找答案,最后以书面作业或小论文的形式完成。一是可以扩大学生的视野,使学生将所学的线性代数知识融会贯通;二是可以改变传统的作业形式,使得数学的学习变得生动,由过去的被动接受变为主动探寻;三是可以培养学生的科研能力,提高学生运用数学知识去解决实际问题的能力。
考试是教学过程中的一个重要环节,是检验学生学习情况,评估教学质量的手段。对于线性代数课程的考试,多年来一直沿用闭卷笔试的方式,只有平时成绩和期末考试两种形式。这种考试方式对于维持正常的教学秩序能起到一定的作用,但不利于学生的应用能力的培养。基于应用能力培养的线性代数的考核要以重视应用、考查能力、注重思想、淡化技巧为原则,采取灵活多样的考核形式,在教学中用互动方式进行考核,试卷中要有数学应用方面的考题。以此引导学生重视应用问题的学习,从而培养学生的综合应用能力。
六、结束语
线性问题广泛存在于自然科学和社会科学的各个领域,某些非线性问题在一定条件下也可以转化为线性问题来处理。尤其在计算机普遍推广应用的情况下,线性代数的概念和方法,广泛地应用于各个领域,成为从事自然科学和工程技术工作的不可缺少的工具。因此,在教学中重视线性代数的应用,对学习这门课程是非常必要的,它能使学生体会到通过数学知识解决实际问题的乐趣,摆脱数学乏味的思想,并能自觉地通过数学知识和数学方法去观察和解决生活中、科技中遇到的问题,这也是素质教育的根本所在。
[参考文献]
[1]吴纯.高职高专《线性代数》教学探讨[J].职业圈,2007(14).
[2]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究,2008(4).
[3]田晓娟.重视“数学应用”,渗透“数学建模”[J].科学教育,2008(2).
[4]李小新,桂旺生.《线性代数》课程教学改革的实践与思考[J].池州学院学报,2008(5).