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摘 要：住房反向抵押贷款是我国创新以房养老模式的重要金融工具，而其产品定价则是金融机构能否成功开展该项业务的关键。基于风险中性定价思路构建住房反向抵押贷款定价模型并设计MATLAB程序，对我国住房反向抵押贷款业务的产品定价问题进行理论探索和实证模拟。研究结果显示，在一次趸领和终身年金方式下，借款人获得的贷款额均随其年龄增长而稳定增长；在浮动利率计息方式下借款人可获得贷款额大于其在固定利率计息方式下可获得的贷款额；借款人所获贷款额与贷款利率负相关，与房产价值正相关且对贷款利率的敏感性最强。
关键词：住房反向抵押贷款；风险中性模型；产品定价；蒙特卡洛模拟
中图分类号：F831.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3890（2017）04-0054-09
一、引言
随着我国步入老龄化社会，现行养老理念及模式的局限性日益凸显，养老市场供需缺口也不断加大，探索和开发适合我国国情的新型养老模式及产品势在必行。受传统消费理念的约束，我国老年人将大部分积蓄都优先投资于自住房产，退休后由于其收入来源相对单一、收入水平相对下降而成为典型的“房子富翁，现金穷人”，这导致其养老需求难以得到充分的满足。因此，盘活老年人拥有的房产使其获得稳定收入，以满足其养老需求并缓解社会养老压力，理应作为我国养老模式创新的突破点。其中，发展住房反向抵押市场，开展住房反向抵押贷款业务，在欧美发达国家已经是被实践证明行之有效的以房养老模式。
Venti et al.（1991）将住房反向抵押贷款定义为，具有养老需求的老年人以其拥有产权的住房向金融机构抵押贷款用于养老，同时保留房屋居住权直至其离世的一种与传统抵押贷款现金流流向相反的金融产品[1]。住房反向抵押贷款业务能否取得成功，很大程度上取决于该业务的产品定价是否合理[2]。Chinloy et al.（1994）认为，借款人在将自有产权的住房抵押给金融机构之后，其在有生之年内一次性（趸领）或定期定额（年金）获取的贷款额度，在很大程度上决定了住房反向抵押业务的市场供求关系及其业务前景[3]。如定价过低，住房反向抵押贷款业务会由于贷款数额达不到申请人以房养老的要求而面临需求不足的状况；如定价过高，住房反向抵押贷款业务又会面临由于亏损概率较大而导致的供给不足状况。
早在20世纪90年代，国内学者就开始关注国外住房反向抵押贷款业务并期待将之引入我国。近年来，我国政府已经认识到住房反向抵押贷款的潜在社会效用及其重大社会意义，并开始鼓励和支持某些金融机构试点开展该业务，但迄今为止业务开展情况并不理想，市场反响也不热烈，其直接原因就在于我国金融机构在住房反向抵押贷款定价方面缺乏经验与依据。作为一项重大的金融服务创新，住房反向抵押贷款业务具有周期长、不确定性高等风险特征，这导致其产品设计及定价的难度较大。因此，我国金融机构在住房反向抵押贷款产品设计中附加了很多价格以外的限制性条件以规避风险，这又进一步限制了产品定价对市场供求本应发挥的具有决定性的积极作用。可见，产品定价问题已经成为住房反向抵押贷款业务开展乃至其社会效用发挥的瓶颈。
因此，研究构建适合我国国情的住房反向抵押贷款定价模型并检验其合理性，可以为该业务在我国的加速推广提供实用工具，进而通过盘活老年人特别是那些急需改善养老状况的贫困老年人的自有房产加快缓解社会保障压力，促进社会整体效用，具有重要的现实意义[4]；同时，作为丰富和深化养老保障、住房金融等相关理论和方法的崭新视角，进行住房反向抵押贷款业务的产品定价研究也具有重要的理论价值。
二、文献回顾与研究路径
（一）文献回顾
1. 影響住房反向抵押贷款定价的风险因素。对影响住房反向抵押贷款定价的风险因素进行识别，是其产品定价及业务开展的前提。相对于其他贷款业务，住房反向抵押贷款业务的风险较高，因此金融机构介入该业务的积极性并不很高。Wang等（2007）的研究表明，即使在反向抵押贷款业务较为普及的美国，90%以上的业务也是由政府指定的金融机构开展的[5]。也正因如此，住房反向抵押贷款也表现出比其他贷款业务高的利润率。Davidoff et al.（2007）指出，住房反向抵押贷款业务尽管蕴含风险问题，但贷款机构可以收回本息和的时间一般都要早于预期[6]。
Phillips et al.（1993）首先将住房反向抵押贷款定价面临的风险界定为长寿风险、利率风险、整体住房价值风险、个体住房价值风险和费用风险[7]。基于此，Szymanoski（1994）、Chinloy et al.（1994）进一步将风险因素概括为寿命风险、利率风险和住房价值风险。总体而言，利率波动、房价波动、预期余命是研究者较为认同的影响住房反向抵押贷款业务产品定价的重要因素[8，3]。Wang等（2007）认为，相对于其他风险因素，这三大因素均为系统性、补偿性风险并且贷款机构可以通过承担这些风险相对获益[5]。
首先，住房反向抵押贷款定价将面临比普通抵押贷款更大的利率风险[7，9]。Boehm et al.（1994）发现，反向抵押贷款的利率风险远大于给定相同初始条件的普通住房抵押贷款和国债[9]。柴效武 等（2008）指出，只有将住房反向抵押贷款的贷款利率定得比较高并且给予贷款机构一定的贴息优惠，才能充分规避业务开办过程中的利率风险[10]。
其次，房价波动可能会造成住房反向抵押贷款业务中的房产价值，在贷款机构收回房产变现时因达不到的初始预期价值而使其蒙受损失[10]。Chen et al.（2010）进一步指出，在住房反向抵押贷款业务的产品定价中，贷款机构必须要考虑自然损耗、经济形势、交易行情等造成的房产价值的波动性，否则住房反向抵押贷款业务的产品定价会因房价波动而偏离合理区间[11]。
最后，预期余命（即贷款机构预期借款人申请住房反向抵押贷款业务后的生存期）存在短于实际寿命的可能性，这同样是住房反向抵押贷款业务产品定价必须纳入的重要风险因素[3]。住房反向抵押贷款业务允许借款人保留对房屋的使用、支配权直至其死亡，而贷款机构则通过基于大数定律的生命表估算贷款期[8]，若借款人寿命超过估算的贷款期，贷款机构将遭受因累计贷款本利超过房产价值的损失。预期余命风险主要通过借款人在各年龄段的死亡概率反映[12]。 2. 住房反向抵押贷款业务的产品定价模型。住房反向抵押贷款业务的产品定价模型均源于金融资产定价理论。由于金融资产定价必须充分考虑由未来现金流不确定性造成的资产持有风险[13]，因此金融资产定价理论给出三种基本思路：一是风险调整折现率法。该方法基于对未来现金流的合理预测，设定一个可以反映资产风险水平的折现率或必要回报率进行金融资产定价[14]；二是确定性等价法，该方法使用经过风险调整的未来现金流预测值进行金融资产定价[15]；三是风险中性定价法，该方法不对未来现金流数值和必要回报率进行风险调整，而是对金融资产未来现金流的数学期望运用无风险回报率进行折现以实现定价[16]。Cox et al.（1976）推导期权定价公式时演绎得出该方法，其假设投资者的风险态度是中性的，所有资产的预期收益率均为无风险利率，因此可以用无风险利率折现求得资产价格[17]。
现有住房反向抵押贷款业务的产品定价模型，主要是基于上述三种定价思路中的前两种而建立的，而关于金融资产定价理论中的第三种定价思路——风险中性定价方法，目前还没有引起住房反向抵押贷款定价研究的关注。支付因子定价模型是基于第一种思路发展而来的，保险精算定价模型则是第二种思路的运用，由此形成了较为主流的两种以风险折现或调整为设计导向的定价模型：支付因子和保险精算。Chinloy et al.（1994）设计的支付因子模型通过调整精算系数对住房反向抵押贷款业务的必要回报率进行风险调整[3]。美国现有的主要反向抵押贷款产品——HECM（Home Equity Conversion Mortgage），其定价依据的就是基于调整精算系数以及房价波动率和贷款期限确定的支付因子[8]。而Mitchell et al.（2003）提出的保险精算定价模型根据期望收支平衡（即贷款机构未来可能发生收付的精算现值之和为零）原则，对未来现金流直接进行数值上的风险调整，进而推导出基于利率、房价增长率和死亡率的一次性支付和年金支付的住房反向抵押贷款价格[18]。
关于上述两类定价模型，由于我国缺乏支付因子定价所依赖的大量历史数据，支付因子定价模型不适于直接引入中国情境；相对而言，保险精算定价模型由于对经验数据的依赖较少，因而更适合应用于缺乏定价经验的国家，更多国内学者在建立住房反向抵押贷款定价模型时也更倾向于对保险精算模型进行修正和拓展，如在保险精算模型中修正或加入适合我国国情的房屋折旧因子、平均预期余命、预测房产价值等因素[10]。但在上述两种模型中，无论是通过事先设定与贷款发放机构所承担风险相适应的必要回报率来调整风险，还是基于预期收支平衡原则预测未来现金流数值来调整风险，未来风险均被视为由风险偏好决定的主观静态估计数值，在反映未来风险因素的动态性方面存在固有缺陷，当然更不能反映各种风险因素同时变化对定价的影响。
（二）研究路径
当前，在我国市场机制仍不完善且经济高速发展的状况下，那些对定价模型具有重要意义的参数如房价、利率等较国外市场具有更高的不确定性。然而，国内金融机构现有的定价模型较多采用固定参数如预先设定的贷款年利率和房价增长率，这些参数的设定反映了贷款机构的特定风险偏好因而具有较强的主观性，进而导致定价模型对真实风险状况的考量和调整也带有较强的主观性，其定价合理性值得商榷。而基于风险中性假设的定价思路恰好能够较好地规避现有反向抵押贷款定价模型进行风险折现或调整时带有主观性的缺陷。相对于风险偏好和风险厌恶的投资者，风险中性投资者不要求对自身承担的风险进行补偿。
在风险中性世界里，所有证券的预期收益率均为无风險利率[19]。当市场无任何套利空间时，衍生证券价格若仍依赖于可交易的基础证券，则该衍生证券价格与投资者的风险态度无关[16]。因此，体现投资者风险态度的变量不包含在衍生证券定价微分方程中。更值得注意的是，风险中性假设下的衍生物估值同样可用于非风险中性世界，这种定价原理与投资者的风险偏好无关，可以作为任何衍生证券定价的前提条件。Cox et al.（1976）证实，尽管现实中的投资者具有风险偏好差异，但当套利机会出现时都会采取套利行为，套利机会消除后的均衡价格与其风险偏好无关[17]。
可见，风险中性假设下的住房反向抵押贷款定价，既不用对必要回报率进行风险调整，也无需对未来现金流数值进行风险调整，一方面可以将复杂的定价问题简单化，另一方面也可以通过纳入重要风险因素而使定价模型更加系统和全面。因此，与现有主流定价模型相比，“风险中性定价”更适应尚未规范化、标准化的中国交易市场，并且，由于影响住房反向抵押贷款业务产品定价的主要风险因素在中国较易识别和表征，使得该方法的使用具有可行性。
在已有研究的基础上，本文基于住房反向抵押贷款风险中性定价思路，并综合考虑贷款利率、房价和预期余命三大风险因素，分别构建单生命状态下不具有赎回权的住房反向抵押贷款在一次性支付与年金式支付、固定利率计息与浮动利率计息方式下的定价模型，运用Matlab程序进行蒙特卡洛模拟并得出三大风险因素同时变化时的定价结果。
三、定价模型与方法构建
为实证模拟的可操作性，本文假定参与住房反向抵押贷款业务的借款人没有其他以住房为抵押的贷款；房产在借款人离世后随即以市场价格出售；贷款的成本费用为房产价值的一个固定比例数；借款人为单生命状态并且贷款不可提前赎回；借款人于生日当天投保并且离世时间也为其生日。
（一）基本参数界定
x为借款人年龄，r为年折现率，g为房屋资产年增值率，m为住房反向抵押贷款年利率，HEQ为抵押房屋资产现值（即参加住房反向抵押贷款业务时市场评估价值），L为借款人的预期余命，α为费率（即住房反向抵押贷款申请过程中的各项费用占期初房屋评估价值的比例，主要包括房屋的评估费用、办理住房保险发生的费用、房屋的修缮费用，等等），β为房屋的年折旧率，LS为一次趸领金额，PMT为年金领取金额（期初领取），L|qX为x岁的借款人在住房反向抵押贷款业务正式开始之后第L年内死亡的概率，T为假设借款人最多能活至生命表中人可能生存最大年龄时借款人可能的最长剩余寿命（我国现有的经验生命表中最大的生存年龄为105，即T=105-x+1）。 （二）基准定价模型
一次趸领和终生年金是住房反向抵押贷款业务的两种主要支付方式，基于“贷款机构经济利润为零”的原则，本文分别构建一次趸领基准定价模型和终身年金基准定价模型，前述三大风险因素在基准模型中均作为常量考虑。
1. 一次趸领基准定价模型。一次趸领即一次性支付，是指申请人与贷款机构签订住房反向抵押贷款合同后，贷款机构将贷款总额进行一次性支付，贷款机构在申请人离世后将房产收回并拍卖变现。其基本定价公式可以描述为：
贷款机构期初发放的一次性支付额累积到贷款结束时期的贷款余额=贷款结束时的房屋资产价值+贷款初始费用按贴现率累积到贷款结束时的数额。等式左边可表达为LS×（1+m）L；等式右边为HEQ×（1+g）L×（1-β）L+HEQ×α×（1+r）L，求解后可得到住房反向抵押贷款一次趸领基准定价模型：
2. 终身年金基准定价模型。终生年金是指借贷双方签订住房反向抵押贷款合同后，贷款机构按照固定时间间隔（年或月），将特定数额款项支付给申请人，直至借款人离世或迁离该住房为止。其基本的定价公式可以描述为：
各期支付的年金数额按照贷款利率累积到贷款结束时的贷款余额=贷款结束时的房屋资产价值+贷款初始费用按贴现率累积到贷款结束时的数额。等式左边为PMT×（1+m）L，等式右边为HEQ×（1+g）L+HEQ×α×（1+r）L，求解即得到住房反向抵押贷款终身年金形式支付的基准定价模型：
（三）住房反向抵押贷款风险中性定价模型
基于风险中性定价思路，本文将利率（区分为固定利率计息方式和浮动利率计息方式）变动、房价波动和预期余命等风险因素纳入基准定价模型，分别构建一次趸领和终身年金支付方式下的住房反向抵押贷款风险中性定价模型。
1. 一次趸领风险中性定价模型。固定利率计息方式下的定价模型为：
浮动利率计息方式下的定价模型为：
2. 终身年金风险中性定价模型。固定利率计息方式下的定价模型为：
浮动利率计息方式下的定价模型为：
四、数值模拟与结果分析
本文以60岁至80岁的男性借款人为例，设计MATLAB程序进行蒙特卡洛模拟定价，并以65岁的男性借款人为例对定价结果进行敏感性分析。模拟定价所用的时点数据均为2014年初的数据，历史数据均为2013年以前年度的数据。
（一）参数设定
1. 预期余命不确定性L|qx。L|qx虽然不能从生命表中直接查出，但可以利用生命表中给出的死亡率计算得出。预期余命不确定性所涉及变量：px为生存率（x岁的人到x+1岁时仍生存的概率），qx为死亡率（x岁的人在1年内死亡的概率），Lqx为x岁的人在L年内死亡的概率，Lqx为岁的人在L年后仍生存的概率，L|qx为x岁的人在申请住房反向抵押贷款后第L年内死亡的概率。
以上变量遵循三个等式关系：px+qx=1，Lqx+Lpx=1，L|qx=Lpx-L+Lpx。据L|px定义，由Lpx=px×px+1×px+2×px+L-1=（1-qx）×（1-qx+1）×…×（1-qx+L-1）得出：
L|qx=（1-qx）×（1-qx+1）×…×（1-qx+L-1）×qx+L（7）
据（7）式及《中国人寿保险业经验生命表（2000—2003）》中的CL3、CL4（养老金业务表），可计算得出定价模型中所需的L|qx。以年龄为60、65、70、75、80的男性借款人为例，计算结果如表1所示。
2. 年折现率r。根据宋健（2005）的研究结论[20]，本文选取2014年初的金融机构人民币5年期存款基准利率为年折現率r并作为无风险利率，取值为4.75%。
3. 房屋资产年增值率gt。以上海为例，假定房产初值HV0为100万元人民币，根据陈近（2010）建立的房产价值波动模型[21]，上海房产价值遵循随机游走过程：HVt=HV0exp（0.010 578 98×t+Bt），其中Bt～N（0，0.016 053 455×），该模型为月度游走模型，可计算转换为相应的年度房产增值率：gt=（HVt*12-HV（t-1）*12）/HV（t-1）*12。
4. 住房反向抵押贷款年利率m。将初始值m0设为2014年初金融机构人民币5年以上贷款基准利率，取值6.55%。根据陈近（2010）的研究结论[21]，贷款利率在未来服从以下单纯跳跃过程：dmt=Kt*dp，其中，Kt服从正态分布N（0，11.57%*mt），dp服从参数为0.118的泊松分布。此游走过程也是月度游走过程，如果当年内金融机构人民币5年以上贷款基准利率发生调整，则下一年采取浮动利率计息方式的住房反向抵押贷款将按新的贷款利率计息。
5. 费率α。参照美国HECM的标准，将α设为6%。
6. 房屋的年折旧率β。我国住宅使用寿命以70年计，按直线折旧法则每年折旧率为1.43%。在我国，住宅价格既包括地上建筑物的价格也包括土地使用权的价格，土地稀缺性导致土地价格通常只升不降，据此将房屋年折旧率β适当调低为1.2%[21]。
（二）一次趸领实证模拟定价结果
1. 固定利率计息定价结果。首先，借款人所能获得的一次性支付额及其变化趋势如表2和图1所示。随年龄增长，借款人获得的一次性支付额也相应增长且增长趋势较平稳，符合借款人年龄越大剩余寿命越短则合同结束时房屋价值的贴现值越大的要求。如：同样拥有价值100万元房产的男性借款人，60岁的人一次性可获得约35万元，70岁的人可获得约52万元，80岁的人可获得约68万元。按近年来我国城镇居民生活成本测算，在不失去原住所的前提下，借款人获得的金额能在改善其生活质量方面发挥较大作用。
其次，本文以65岁的男性借款人为例，对初始贷款利率、贷款费用率、房屋折旧率等参数适当调整后，通过对照各参照组进行敏感性分析（表3）。研究结果表明，定价结果对贷款利率的敏感性显著高于其对贷款初始费率和房屋折旧率的敏感性；定价结果与贷款利率负相关，这表明贷款利率越高，贷款成本就越高，借款人可获得的贷款金额就越少；定价结果与房屋评估值正相关，表明房屋价值越高可获得的贷款金额越多；定价结果与贷款初始费率正相关，表明扣减的初始费用越多可获得的贷款金额越多；定价结果与房屋折旧率负相关，表明房屋折旧率越高可获得贷款金额越少。 2. 浮动利率计息定价结果。为简化模拟过程，浮动利率计息方式定价结果以60、65、70、75、80岁的男性借款人为例。借款人所能获得的一次性支付额如表2所示。图2则直观反映出随着年龄的增长借款人所能获得的一次性支付额也随之相应增长且增长趋势平稳。值得注意的是，由于浮动利率计息方式下借款人与贷款机构一起分担了利率风险，借款人所能获得的贷款额度均大于固定利率计息方式下的额度。而通过对65岁男性借款人定价结果进行的敏感性分析（表3）可知，定价结果与房屋评估值成正比，与贷款初始费率成正比，与贷款利率成反比，与房屋折旧率成反比，定价结果对贷款利率的敏感性显著高于其对贷款初始费率以及房屋折旧率的敏感性。
（三）终身年金实证模拟定价结果
1. 固定利率计息定价结果。首先，借款人所能获得的年金支付额及变化趋势如表2和图3所示。研究结果显示，随着年龄的增长借款人所能获得的年金支付额也随之相应的增长且增长趋势平稳，如：同样是拥有100万元房产的男性借款申请人，60岁的人可年领约4.7万元，70岁年领约9.4万元，80岁则可年领约18.5万元。按照近年来我国城镇居民生活成本测算，借款人通过抵押房产在不失去原住所的前提下每年度可领取的贷款金额相当大，这将在很大程度上提高老年人的生活、医疗水平。
其次，以65岁的男性借款人为例，分别对初始贷款利率、贷款费用率、房屋折旧率等参数调整后，通过对照参照组进行敏感性分析，结果见表3。可见，定价结果对贷款利率的敏感性显著高于其对贷款初始费率和房屋折旧率的敏感性，定价结果与房屋评估值成正比，与贷款初始费率成正比，与贷款利率成反比，与房屋折旧率成反比。
2. 浮动利率计息定价结果。为简化模拟过程，浮动利率计息方式定价结果以60、65、70、75、80岁的男性借款人为例。借款人所能获得的年金支付额及变化趋势如表2和图4所示。研究结果显示，随年龄增长，借款人可获得的年金支付额也随之增长且增长趋势平稳。并且，同样由于借款人与贷款机构在浮动利率计息方式下共担利率风险，浮动利率计息方式下借款人所能获得的贷款额度均大于固定利率计息方式下的额度。通过对65岁男性借款人定价结果的敏感性分析（表3）可知，定价结果与房屋评估值成正比，与贷款初始费率成正比，与贷款利率成反比，与房屋折旧率成反比，并且对贷款利率的敏感性要显著高于其对贷款初始费率以及房屋折旧率的敏感性。
五、结论与展望
住房反向抵押贷款风险中性定价模型克服了以往定价模型使用静态参数的缺陷，模拟定价结果对住房反向抵押贷款供求双方都具有一定的吸引力，既可以使老年人的收入增加以满足其晚年养老需求，又可以使金融机构在充分考虑重大风险的基础上提升盈利水平，具体表现为：
一方面，无论是住房反向抵押贷款业务的一次趸领还是终身年金支付方式，借款人所能获得的贷款额都随年龄增长而相应增长且增长趋势较为平稳，但由于在浮动利率支付方式下借款人与贷款机构共担利率风险，借款人可获得贷款额比其在固定利率支付方式下可获得贷款额要多一些。这表明，拥有住房且具有养老需求的老年人，在不失去原住所的前提下可以通过住房反向抵押贷款业务获取额外现金，通过合理定价获得的资金能在很大程度上改善和提高老年人的生活保障水平。并且，积极开展住房反向抵押贷款业务，鼓励老年人以房养老，既可以减少其晚年生活的后顾之忧，也能增强老年人的经济能力，刺激“银发”市场的消费潜力，促进经济发展，同时也能通过提高房产的流动性起到平抑房價缓解社会矛盾的作用。
另一方面，住房反向抵押贷款业务在一次趸领和终身年金支付方式下的敏感性分析结果基本一致，即住房反向抵押贷款风险中性定价结果对贷款利率的敏感性最高，定价结果与贷款利率负相关，与房屋评估值正相关，与贷款初始费率成正比，与房屋折旧率成反比。这表明，本文建立的住房反向抵押贷款风险中性定价模型能够较好地反映利率波动、房价波动等重大风险对定价结果的影响，贷款机构可以在综合考虑重大风险的前提下进行产品定价并达到预期的利润水平；同时，住房反向抵押贷款风险中性定价模型也揭示了其他一些风险因素如贷款初始费率、房屋折旧率等与定价结果之间的影响关系，这反映出该模型如能纳入其他重要风险因素，定价结果可能会得到进一步优化。
综上所述，住房反向抵押贷款风险中性定价模型对我国住房反向抵押贷款业务的产品定价具有一定的参考意义。但住房反向抵押贷款定价作为反向抵押贷款研究领域的难点，仍有待在中国情境下继续深化和完善。首先，由于住房反向抵押贷款定价所涉及风险因素复杂多变，本文在构建风险中性定价模型时仅考虑了利率变动、房价波动和预期余命三大风险因素，不能全面反映真实世界中对定价产生影响的各类风险，诸如借款人获得贷款后无足够动力去维护、修缮住房而使房产价值贬损的道德风险，涉及住宅、土地相关法律的法规风险，以及金融保险、社会保障等政策风险，都会对反向抵押贷款的产品定价产生重要影响。因此，后续研究可以在风险中性定价模型中进一步纳入其他风险因素，从而使定价模型趋于完善，定价结果更加合理。其次，由于政府在金融机构开展住房反向抵押贷款业务的产品定价中也发挥重要作用，与住房反向抵押贷款业务的产品定价相关的政策要求和实施标准，如贷款机构必须披露的包括利率、费用等的定价信息，均需政府出台政策规范统一。因此，关于住房反向抵押贷款业务产品定价的政策研究也是下一步需要关注的重点。
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责任编辑：高钟庭
关键词：住房反向抵押贷款；风险中性模型；产品定价；蒙特卡洛模拟
中图分类号：F831.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3890（2017）04-0054-09
一、引言
随着我国步入老龄化社会，现行养老理念及模式的局限性日益凸显，养老市场供需缺口也不断加大，探索和开发适合我国国情的新型养老模式及产品势在必行。受传统消费理念的约束，我国老年人将大部分积蓄都优先投资于自住房产，退休后由于其收入来源相对单一、收入水平相对下降而成为典型的“房子富翁，现金穷人”，这导致其养老需求难以得到充分的满足。因此，盘活老年人拥有的房产使其获得稳定收入，以满足其养老需求并缓解社会养老压力，理应作为我国养老模式创新的突破点。其中，发展住房反向抵押市场，开展住房反向抵押贷款业务，在欧美发达国家已经是被实践证明行之有效的以房养老模式。
Venti et al.（1991）将住房反向抵押贷款定义为，具有养老需求的老年人以其拥有产权的住房向金融机构抵押贷款用于养老，同时保留房屋居住权直至其离世的一种与传统抵押贷款现金流流向相反的金融产品[1]。住房反向抵押贷款业务能否取得成功，很大程度上取决于该业务的产品定价是否合理[2]。Chinloy et al.（1994）认为，借款人在将自有产权的住房抵押给金融机构之后，其在有生之年内一次性（趸领）或定期定额（年金）获取的贷款额度，在很大程度上决定了住房反向抵押业务的市场供求关系及其业务前景[3]。如定价过低，住房反向抵押贷款业务会由于贷款数额达不到申请人以房养老的要求而面临需求不足的状况；如定价过高，住房反向抵押贷款业务又会面临由于亏损概率较大而导致的供给不足状况。
早在20世纪90年代，国内学者就开始关注国外住房反向抵押贷款业务并期待将之引入我国。近年来，我国政府已经认识到住房反向抵押贷款的潜在社会效用及其重大社会意义，并开始鼓励和支持某些金融机构试点开展该业务，但迄今为止业务开展情况并不理想，市场反响也不热烈，其直接原因就在于我国金融机构在住房反向抵押贷款定价方面缺乏经验与依据。作为一项重大的金融服务创新，住房反向抵押贷款业务具有周期长、不确定性高等风险特征，这导致其产品设计及定价的难度较大。因此，我国金融机构在住房反向抵押贷款产品设计中附加了很多价格以外的限制性条件以规避风险，这又进一步限制了产品定价对市场供求本应发挥的具有决定性的积极作用。可见，产品定价问题已经成为住房反向抵押贷款业务开展乃至其社会效用发挥的瓶颈。
因此，研究构建适合我国国情的住房反向抵押贷款定价模型并检验其合理性，可以为该业务在我国的加速推广提供实用工具，进而通过盘活老年人特别是那些急需改善养老状况的贫困老年人的自有房产加快缓解社会保障压力，促进社会整体效用，具有重要的现实意义[4]；同时，作为丰富和深化养老保障、住房金融等相关理论和方法的崭新视角，进行住房反向抵押贷款业务的产品定价研究也具有重要的理论价值。
二、文献回顾与研究路径
（一）文献回顾
1. 影響住房反向抵押贷款定价的风险因素。对影响住房反向抵押贷款定价的风险因素进行识别，是其产品定价及业务开展的前提。相对于其他贷款业务，住房反向抵押贷款业务的风险较高，因此金融机构介入该业务的积极性并不很高。Wang等（2007）的研究表明，即使在反向抵押贷款业务较为普及的美国，90%以上的业务也是由政府指定的金融机构开展的[5]。也正因如此，住房反向抵押贷款也表现出比其他贷款业务高的利润率。Davidoff et al.（2007）指出，住房反向抵押贷款业务尽管蕴含风险问题，但贷款机构可以收回本息和的时间一般都要早于预期[6]。
Phillips et al.（1993）首先将住房反向抵押贷款定价面临的风险界定为长寿风险、利率风险、整体住房价值风险、个体住房价值风险和费用风险[7]。基于此，Szymanoski（1994）、Chinloy et al.（1994）进一步将风险因素概括为寿命风险、利率风险和住房价值风险。总体而言，利率波动、房价波动、预期余命是研究者较为认同的影响住房反向抵押贷款业务产品定价的重要因素[8，3]。Wang等（2007）认为，相对于其他风险因素，这三大因素均为系统性、补偿性风险并且贷款机构可以通过承担这些风险相对获益[5]。
首先，住房反向抵押贷款定价将面临比普通抵押贷款更大的利率风险[7，9]。Boehm et al.（1994）发现，反向抵押贷款的利率风险远大于给定相同初始条件的普通住房抵押贷款和国债[9]。柴效武 等（2008）指出，只有将住房反向抵押贷款的贷款利率定得比较高并且给予贷款机构一定的贴息优惠，才能充分规避业务开办过程中的利率风险[10]。
其次，房价波动可能会造成住房反向抵押贷款业务中的房产价值，在贷款机构收回房产变现时因达不到的初始预期价值而使其蒙受损失[10]。Chen et al.（2010）进一步指出，在住房反向抵押贷款业务的产品定价中，贷款机构必须要考虑自然损耗、经济形势、交易行情等造成的房产价值的波动性，否则住房反向抵押贷款业务的产品定价会因房价波动而偏离合理区间[11]。
最后，预期余命（即贷款机构预期借款人申请住房反向抵押贷款业务后的生存期）存在短于实际寿命的可能性，这同样是住房反向抵押贷款业务产品定价必须纳入的重要风险因素[3]。住房反向抵押贷款业务允许借款人保留对房屋的使用、支配权直至其死亡，而贷款机构则通过基于大数定律的生命表估算贷款期[8]，若借款人寿命超过估算的贷款期，贷款机构将遭受因累计贷款本利超过房产价值的损失。预期余命风险主要通过借款人在各年龄段的死亡概率反映[12]。 2. 住房反向抵押贷款业务的产品定价模型。住房反向抵押贷款业务的产品定价模型均源于金融资产定价理论。由于金融资产定价必须充分考虑由未来现金流不确定性造成的资产持有风险[13]，因此金融资产定价理论给出三种基本思路：一是风险调整折现率法。该方法基于对未来现金流的合理预测，设定一个可以反映资产风险水平的折现率或必要回报率进行金融资产定价[14]；二是确定性等价法，该方法使用经过风险调整的未来现金流预测值进行金融资产定价[15]；三是风险中性定价法，该方法不对未来现金流数值和必要回报率进行风险调整，而是对金融资产未来现金流的数学期望运用无风险回报率进行折现以实现定价[16]。Cox et al.（1976）推导期权定价公式时演绎得出该方法，其假设投资者的风险态度是中性的，所有资产的预期收益率均为无风险利率，因此可以用无风险利率折现求得资产价格[17]。
现有住房反向抵押贷款业务的产品定价模型，主要是基于上述三种定价思路中的前两种而建立的，而关于金融资产定价理论中的第三种定价思路——风险中性定价方法，目前还没有引起住房反向抵押贷款定价研究的关注。支付因子定价模型是基于第一种思路发展而来的，保险精算定价模型则是第二种思路的运用，由此形成了较为主流的两种以风险折现或调整为设计导向的定价模型：支付因子和保险精算。Chinloy et al.（1994）设计的支付因子模型通过调整精算系数对住房反向抵押贷款业务的必要回报率进行风险调整[3]。美国现有的主要反向抵押贷款产品——HECM（Home Equity Conversion Mortgage），其定价依据的就是基于调整精算系数以及房价波动率和贷款期限确定的支付因子[8]。而Mitchell et al.（2003）提出的保险精算定价模型根据期望收支平衡（即贷款机构未来可能发生收付的精算现值之和为零）原则，对未来现金流直接进行数值上的风险调整，进而推导出基于利率、房价增长率和死亡率的一次性支付和年金支付的住房反向抵押贷款价格[18]。
关于上述两类定价模型，由于我国缺乏支付因子定价所依赖的大量历史数据，支付因子定价模型不适于直接引入中国情境；相对而言，保险精算定价模型由于对经验数据的依赖较少，因而更适合应用于缺乏定价经验的国家，更多国内学者在建立住房反向抵押贷款定价模型时也更倾向于对保险精算模型进行修正和拓展，如在保险精算模型中修正或加入适合我国国情的房屋折旧因子、平均预期余命、预测房产价值等因素[10]。但在上述两种模型中，无论是通过事先设定与贷款发放机构所承担风险相适应的必要回报率来调整风险，还是基于预期收支平衡原则预测未来现金流数值来调整风险，未来风险均被视为由风险偏好决定的主观静态估计数值，在反映未来风险因素的动态性方面存在固有缺陷，当然更不能反映各种风险因素同时变化对定价的影响。
（二）研究路径
当前，在我国市场机制仍不完善且经济高速发展的状况下，那些对定价模型具有重要意义的参数如房价、利率等较国外市场具有更高的不确定性。然而，国内金融机构现有的定价模型较多采用固定参数如预先设定的贷款年利率和房价增长率，这些参数的设定反映了贷款机构的特定风险偏好因而具有较强的主观性，进而导致定价模型对真实风险状况的考量和调整也带有较强的主观性，其定价合理性值得商榷。而基于风险中性假设的定价思路恰好能够较好地规避现有反向抵押贷款定价模型进行风险折现或调整时带有主观性的缺陷。相对于风险偏好和风险厌恶的投资者，风险中性投资者不要求对自身承担的风险进行补偿。
在风险中性世界里，所有证券的预期收益率均为无风險利率[19]。当市场无任何套利空间时，衍生证券价格若仍依赖于可交易的基础证券，则该衍生证券价格与投资者的风险态度无关[16]。因此，体现投资者风险态度的变量不包含在衍生证券定价微分方程中。更值得注意的是，风险中性假设下的衍生物估值同样可用于非风险中性世界，这种定价原理与投资者的风险偏好无关，可以作为任何衍生证券定价的前提条件。Cox et al.（1976）证实，尽管现实中的投资者具有风险偏好差异，但当套利机会出现时都会采取套利行为，套利机会消除后的均衡价格与其风险偏好无关[17]。
可见，风险中性假设下的住房反向抵押贷款定价，既不用对必要回报率进行风险调整，也无需对未来现金流数值进行风险调整，一方面可以将复杂的定价问题简单化，另一方面也可以通过纳入重要风险因素而使定价模型更加系统和全面。因此，与现有主流定价模型相比，“风险中性定价”更适应尚未规范化、标准化的中国交易市场，并且，由于影响住房反向抵押贷款业务产品定价的主要风险因素在中国较易识别和表征，使得该方法的使用具有可行性。
在已有研究的基础上，本文基于住房反向抵押贷款风险中性定价思路，并综合考虑贷款利率、房价和预期余命三大风险因素，分别构建单生命状态下不具有赎回权的住房反向抵押贷款在一次性支付与年金式支付、固定利率计息与浮动利率计息方式下的定价模型，运用Matlab程序进行蒙特卡洛模拟并得出三大风险因素同时变化时的定价结果。
三、定价模型与方法构建
为实证模拟的可操作性，本文假定参与住房反向抵押贷款业务的借款人没有其他以住房为抵押的贷款；房产在借款人离世后随即以市场价格出售；贷款的成本费用为房产价值的一个固定比例数；借款人为单生命状态并且贷款不可提前赎回；借款人于生日当天投保并且离世时间也为其生日。
（一）基本参数界定
x为借款人年龄，r为年折现率，g为房屋资产年增值率，m为住房反向抵押贷款年利率，HEQ为抵押房屋资产现值（即参加住房反向抵押贷款业务时市场评估价值），L为借款人的预期余命，α为费率（即住房反向抵押贷款申请过程中的各项费用占期初房屋评估价值的比例，主要包括房屋的评估费用、办理住房保险发生的费用、房屋的修缮费用，等等），β为房屋的年折旧率，LS为一次趸领金额，PMT为年金领取金额（期初领取），L|qX为x岁的借款人在住房反向抵押贷款业务正式开始之后第L年内死亡的概率，T为假设借款人最多能活至生命表中人可能生存最大年龄时借款人可能的最长剩余寿命（我国现有的经验生命表中最大的生存年龄为105，即T=105-x+1）。 （二）基准定价模型
一次趸领和终生年金是住房反向抵押贷款业务的两种主要支付方式，基于“贷款机构经济利润为零”的原则，本文分别构建一次趸领基准定价模型和终身年金基准定价模型，前述三大风险因素在基准模型中均作为常量考虑。
1. 一次趸领基准定价模型。一次趸领即一次性支付，是指申请人与贷款机构签订住房反向抵押贷款合同后，贷款机构将贷款总额进行一次性支付，贷款机构在申请人离世后将房产收回并拍卖变现。其基本定价公式可以描述为：
贷款机构期初发放的一次性支付额累积到贷款结束时期的贷款余额=贷款结束时的房屋资产价值+贷款初始费用按贴现率累积到贷款结束时的数额。等式左边可表达为LS×（1+m）L；等式右边为HEQ×（1+g）L×（1-β）L+HEQ×α×（1+r）L，求解后可得到住房反向抵押贷款一次趸领基准定价模型：
2. 终身年金基准定价模型。终生年金是指借贷双方签订住房反向抵押贷款合同后，贷款机构按照固定时间间隔（年或月），将特定数额款项支付给申请人，直至借款人离世或迁离该住房为止。其基本的定价公式可以描述为：
各期支付的年金数额按照贷款利率累积到贷款结束时的贷款余额=贷款结束时的房屋资产价值+贷款初始费用按贴现率累积到贷款结束时的数额。等式左边为PMT×（1+m）L，等式右边为HEQ×（1+g）L+HEQ×α×（1+r）L，求解即得到住房反向抵押贷款终身年金形式支付的基准定价模型：
（三）住房反向抵押贷款风险中性定价模型
基于风险中性定价思路，本文将利率（区分为固定利率计息方式和浮动利率计息方式）变动、房价波动和预期余命等风险因素纳入基准定价模型，分别构建一次趸领和终身年金支付方式下的住房反向抵押贷款风险中性定价模型。
1. 一次趸领风险中性定价模型。固定利率计息方式下的定价模型为：
浮动利率计息方式下的定价模型为：
2. 终身年金风险中性定价模型。固定利率计息方式下的定价模型为：
浮动利率计息方式下的定价模型为：
四、数值模拟与结果分析
本文以60岁至80岁的男性借款人为例，设计MATLAB程序进行蒙特卡洛模拟定价，并以65岁的男性借款人为例对定价结果进行敏感性分析。模拟定价所用的时点数据均为2014年初的数据，历史数据均为2013年以前年度的数据。
（一）参数设定
1. 预期余命不确定性L|qx。L|qx虽然不能从生命表中直接查出，但可以利用生命表中给出的死亡率计算得出。预期余命不确定性所涉及变量：px为生存率（x岁的人到x+1岁时仍生存的概率），qx为死亡率（x岁的人在1年内死亡的概率），Lqx为x岁的人在L年内死亡的概率，Lqx为岁的人在L年后仍生存的概率，L|qx为x岁的人在申请住房反向抵押贷款后第L年内死亡的概率。
以上变量遵循三个等式关系：px+qx=1，Lqx+Lpx=1，L|qx=Lpx-L+Lpx。据L|px定义，由Lpx=px×px+1×px+2×px+L-1=（1-qx）×（1-qx+1）×…×（1-qx+L-1）得出：
L|qx=（1-qx）×（1-qx+1）×…×（1-qx+L-1）×qx+L（7）
据（7）式及《中国人寿保险业经验生命表（2000—2003）》中的CL3、CL4（养老金业务表），可计算得出定价模型中所需的L|qx。以年龄为60、65、70、75、80的男性借款人为例，计算结果如表1所示。
2. 年折现率r。根据宋健（2005）的研究结论[20]，本文选取2014年初的金融机构人民币5年期存款基准利率为年折現率r并作为无风险利率，取值为4.75%。
3. 房屋资产年增值率gt。以上海为例，假定房产初值HV0为100万元人民币，根据陈近（2010）建立的房产价值波动模型[21]，上海房产价值遵循随机游走过程：HVt=HV0exp（0.010 578 98×t+Bt），其中Bt～N（0，0.016 053 455×），该模型为月度游走模型，可计算转换为相应的年度房产增值率：gt=（HVt*12-HV（t-1）*12）/HV（t-1）*12。
4. 住房反向抵押贷款年利率m。将初始值m0设为2014年初金融机构人民币5年以上贷款基准利率，取值6.55%。根据陈近（2010）的研究结论[21]，贷款利率在未来服从以下单纯跳跃过程：dmt=Kt*dp，其中，Kt服从正态分布N（0，11.57%*mt），dp服从参数为0.118的泊松分布。此游走过程也是月度游走过程，如果当年内金融机构人民币5年以上贷款基准利率发生调整，则下一年采取浮动利率计息方式的住房反向抵押贷款将按新的贷款利率计息。
5. 费率α。参照美国HECM的标准，将α设为6%。
6. 房屋的年折旧率β。我国住宅使用寿命以70年计，按直线折旧法则每年折旧率为1.43%。在我国，住宅价格既包括地上建筑物的价格也包括土地使用权的价格，土地稀缺性导致土地价格通常只升不降，据此将房屋年折旧率β适当调低为1.2%[21]。
（二）一次趸领实证模拟定价结果
1. 固定利率计息定价结果。首先，借款人所能获得的一次性支付额及其变化趋势如表2和图1所示。随年龄增长，借款人获得的一次性支付额也相应增长且增长趋势较平稳，符合借款人年龄越大剩余寿命越短则合同结束时房屋价值的贴现值越大的要求。如：同样拥有价值100万元房产的男性借款人，60岁的人一次性可获得约35万元，70岁的人可获得约52万元，80岁的人可获得约68万元。按近年来我国城镇居民生活成本测算，在不失去原住所的前提下，借款人获得的金额能在改善其生活质量方面发挥较大作用。
其次，本文以65岁的男性借款人为例，对初始贷款利率、贷款费用率、房屋折旧率等参数适当调整后，通过对照各参照组进行敏感性分析（表3）。研究结果表明，定价结果对贷款利率的敏感性显著高于其对贷款初始费率和房屋折旧率的敏感性；定价结果与贷款利率负相关，这表明贷款利率越高，贷款成本就越高，借款人可获得的贷款金额就越少；定价结果与房屋评估值正相关，表明房屋价值越高可获得的贷款金额越多；定价结果与贷款初始费率正相关，表明扣减的初始费用越多可获得的贷款金额越多；定价结果与房屋折旧率负相关，表明房屋折旧率越高可获得贷款金额越少。 2. 浮动利率计息定价结果。为简化模拟过程，浮动利率计息方式定价结果以60、65、70、75、80岁的男性借款人为例。借款人所能获得的一次性支付额如表2所示。图2则直观反映出随着年龄的增长借款人所能获得的一次性支付额也随之相应增长且增长趋势平稳。值得注意的是，由于浮动利率计息方式下借款人与贷款机构一起分担了利率风险，借款人所能获得的贷款额度均大于固定利率计息方式下的额度。而通过对65岁男性借款人定价结果进行的敏感性分析（表3）可知，定价结果与房屋评估值成正比，与贷款初始费率成正比，与贷款利率成反比，与房屋折旧率成反比，定价结果对贷款利率的敏感性显著高于其对贷款初始费率以及房屋折旧率的敏感性。
（三）终身年金实证模拟定价结果
1. 固定利率计息定价结果。首先，借款人所能获得的年金支付额及变化趋势如表2和图3所示。研究结果显示，随着年龄的增长借款人所能获得的年金支付额也随之相应的增长且增长趋势平稳，如：同样是拥有100万元房产的男性借款申请人，60岁的人可年领约4.7万元，70岁年领约9.4万元，80岁则可年领约18.5万元。按照近年来我国城镇居民生活成本测算，借款人通过抵押房产在不失去原住所的前提下每年度可领取的贷款金额相当大，这将在很大程度上提高老年人的生活、医疗水平。
其次，以65岁的男性借款人为例，分别对初始贷款利率、贷款费用率、房屋折旧率等参数调整后，通过对照参照组进行敏感性分析，结果见表3。可见，定价结果对贷款利率的敏感性显著高于其对贷款初始费率和房屋折旧率的敏感性，定价结果与房屋评估值成正比，与贷款初始费率成正比，与贷款利率成反比，与房屋折旧率成反比。
2. 浮动利率计息定价结果。为简化模拟过程，浮动利率计息方式定价结果以60、65、70、75、80岁的男性借款人为例。借款人所能获得的年金支付额及变化趋势如表2和图4所示。研究结果显示，随年龄增长，借款人可获得的年金支付额也随之增长且增长趋势平稳。并且，同样由于借款人与贷款机构在浮动利率计息方式下共担利率风险，浮动利率计息方式下借款人所能获得的贷款额度均大于固定利率计息方式下的额度。通过对65岁男性借款人定价结果的敏感性分析（表3）可知，定价结果与房屋评估值成正比，与贷款初始费率成正比，与贷款利率成反比，与房屋折旧率成反比，并且对贷款利率的敏感性要显著高于其对贷款初始费率以及房屋折旧率的敏感性。
五、结论与展望
住房反向抵押贷款风险中性定价模型克服了以往定价模型使用静态参数的缺陷，模拟定价结果对住房反向抵押贷款供求双方都具有一定的吸引力，既可以使老年人的收入增加以满足其晚年养老需求，又可以使金融机构在充分考虑重大风险的基础上提升盈利水平，具体表现为：
一方面，无论是住房反向抵押贷款业务的一次趸领还是终身年金支付方式，借款人所能获得的贷款额都随年龄增长而相应增长且增长趋势较为平稳，但由于在浮动利率支付方式下借款人与贷款机构共担利率风险，借款人可获得贷款额比其在固定利率支付方式下可获得贷款额要多一些。这表明，拥有住房且具有养老需求的老年人，在不失去原住所的前提下可以通过住房反向抵押贷款业务获取额外现金，通过合理定价获得的资金能在很大程度上改善和提高老年人的生活保障水平。并且，积极开展住房反向抵押贷款业务，鼓励老年人以房养老，既可以减少其晚年生活的后顾之忧，也能增强老年人的经济能力，刺激“银发”市场的消费潜力，促进经济发展，同时也能通过提高房产的流动性起到平抑房價缓解社会矛盾的作用。
另一方面，住房反向抵押贷款业务在一次趸领和终身年金支付方式下的敏感性分析结果基本一致，即住房反向抵押贷款风险中性定价结果对贷款利率的敏感性最高，定价结果与贷款利率负相关，与房屋评估值正相关，与贷款初始费率成正比，与房屋折旧率成反比。这表明，本文建立的住房反向抵押贷款风险中性定价模型能够较好地反映利率波动、房价波动等重大风险对定价结果的影响，贷款机构可以在综合考虑重大风险的前提下进行产品定价并达到预期的利润水平；同时，住房反向抵押贷款风险中性定价模型也揭示了其他一些风险因素如贷款初始费率、房屋折旧率等与定价结果之间的影响关系，这反映出该模型如能纳入其他重要风险因素，定价结果可能会得到进一步优化。
综上所述，住房反向抵押贷款风险中性定价模型对我国住房反向抵押贷款业务的产品定价具有一定的参考意义。但住房反向抵押贷款定价作为反向抵押贷款研究领域的难点，仍有待在中国情境下继续深化和完善。首先，由于住房反向抵押贷款定价所涉及风险因素复杂多变，本文在构建风险中性定价模型时仅考虑了利率变动、房价波动和预期余命三大风险因素，不能全面反映真实世界中对定价产生影响的各类风险，诸如借款人获得贷款后无足够动力去维护、修缮住房而使房产价值贬损的道德风险，涉及住宅、土地相关法律的法规风险，以及金融保险、社会保障等政策风险，都会对反向抵押贷款的产品定价产生重要影响。因此，后续研究可以在风险中性定价模型中进一步纳入其他风险因素，从而使定价模型趋于完善，定价结果更加合理。其次，由于政府在金融机构开展住房反向抵押贷款业务的产品定价中也发挥重要作用，与住房反向抵押贷款业务的产品定价相关的政策要求和实施标准，如贷款机构必须披露的包括利率、费用等的定价信息，均需政府出台政策规范统一。因此，关于住房反向抵押贷款业务产品定价的政策研究也是下一步需要关注的重点。
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责任编辑：高钟庭