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[摘 要] 学习反比例函数的图像与性质之后，会与很多数学知识、生活知识关联起来“生成”新的数学综合问题，学生在最初应对这类问题时常常感觉困难，为了帮助学生积极面对，突破问题，善于数形结合地分析，让教学环节开放，促进师生对话互动，追求适切的教学，是有效的教学尝试.
[关键词] 数形结合；反比例函数；开放教学；互动对话
写在前面
学习反比例函数的概念、图像和性质之后，学生初步具备了数形结合的思想方法和演算能力. 为了应用反比例函数的图像与性质研究生活、生产中变量之间的联系，应构建反比例函数模型解决问题，加深和拓展学生对数学的理解. 笔者近期执教了一节反比例函数性质应用的习题课，本文梳理该课的教学流程，并跟进解读，以提供研讨.
“实际问题与反比例函数”课
堂实录
1. 教学环节一：温故知新，引入新课
师：请每位同学打开几何画板的课件（见图1），用鼠标点击反比例函数k值框下面的箭头，改变k值的大小，并观察图形与k值的关系.
师：k值是正数时……
生1：k值是正数时，反比例函数的图像分布在第一、三象限.
生2：k值是正数时，在每个象限内，函数y的值随x值的增大而减小.
师：k值取正数时，函数图像与坐标轴的距离怎样？
生3：k值取正数时，k值越大，函数图像越靠近坐标轴；k值越小，函数图像越远离坐标轴.
师：k值是负数时……
生4：k值是负数时，反比例函数的图像分布在第二、四象限.
生5：k值是负数时，在每个象限内，函数y的值随x值的增大而增大.
师：k值取负数时，函数图像与坐标轴的距离怎样？
生6：k值取负数时，k值越大，函数图像越远离坐标轴；k值越小，函数图像越靠近坐标轴.
解读 这样设计的意图：（1）引导回忆旧知；（2）展现数形结合思想；（3）运用信息技术直观教学. 本课建立在旧知的基础上研究反比例函数的图像和性质，并运用反比例函数的图像与性质解决实际问题.
2. 教学环节二：基础练习，巩固训练
已知反比例函数y=的圖像经过点（2，3），则点A（-，-2），B（2，），C（0，6），D9，不在反比例函数y=图像上的是______.
生1：先求出k的值是6，然后依次把A，B，C，D的坐标代入，计算出k的值. 经过计算可确定不在反比例函数y=图像上的点是C.
师：由此可归纳出k值的第一个作用是什么？
生2：k值的第一个作用是判断“点”是否在反比例函数图像上.
解读 这样设计的意图是初步了解k的值，为进一步研究k值做铺垫.
3. 教学环节三：创设情境，继续研究
为控制沙漠化蔓延，我们在一些地区种植抗沙漠化的植被，现计划种植8 km2的植被. 如果按长方形种植，它们的长与宽（此处忽略长方形中“长>宽”这一条件）可以是：1，8；2，4；4，2；8，1…请问每个这样的长方形的长和宽呈什么比例关系？
生1：反比例关系.
师：理由呢？
生2：因为长与宽的乘积等于一个常数.
师：好！既然呈反比例关系，那我们把每个长方形的长作为横坐标，宽作为纵坐标，得到点（1，8），（2，4），（4，2），（8，1）…建立坐标系，这些点在什么函数图像上？
生3：在函数y=的图像上.
师：请小组讨论一下：由题目，长方形植被的面积值跟反比例函数y=有什么关系？
（小组讨论，教师巡视）
生4：我们小组的结论是，过反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，其与坐标轴围成的矩形面积等于k.
解读 通过情境教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反作用于实践的辩证唯物主义观念.
4. 教学环节四：例题讲评，巩固新知
例题 如图2，点P是反比例函数y=图像上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线PM和PN，垂足分别为点M和点N. （1）求四边形PMON的面积；（2）求△POM的面积.
师：根据刚才的学习可知什么？
生1：k就是四边形PMON的面积.
师：正确，谁来板演一下解题全过程？
生2（板书）：设P（a，b），因为PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，所以四边形PMON是矩形. 所以S=PN×PM=ab=k=8. 所以四边形PMON的面积为8.
师：很好，第（2）问中的三角形的面积和刚刚所求的四边形的面积有什么关系？
生3：△POM的面积等于四边形PMON面积的一半，即k=4.
师：各小组讨论一下刚才的解题规律.
（小组讨论，教师巡视）
生4：过反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，其与坐标轴围成的矩形面积等于k，若与原点相连，所构成的直角三角形的面积等于k.
解读 例题是“基础训练”部分的延续和拓展，学生的回答处理得比较直截了当，教师的引导激励了学生思考，引导其探索解题思路，促使学生自始至终处于积极的思维活动中. 学生的积极主动，也较好地把学习知识和培养分析探索能力融为一体.
5. 教学环节五：课堂小结
师：今天我们复习反比例函数的图像与性质，你有哪些收获？哪位同学小结一下？
生：今天我们学习了……
（教师在黑板上板书）
解读 本环节是对教学过程的回顾，也是对学习中的得与失进行归纳，突出这节课的要点、难点、重点、易错点. 教后反思
1. 重视数形结合思想方法的渗透
我们知道，“数无形，少直观；形无数，难入微. ”初中函数教学强调的就是数形结合. 本节课教学的基本目的是让学生能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题，其重点是k的几何意义的归纳和使用. 为了达到这节课的教学目的，教师创设教学情境，极大地调动学生的学习积极性，采用启发式教学，自主探究、小组合作贯穿始终，师生共同分析、解决教学中遇到的问题，学生在学习知识的同时，提高了观察、分析、归纳、总结的能力，以及团结合作的意识. 刚开始，从复习旧知入手，通过动手操作、合作交流活跃课堂气氛，渗透数形结合思想方法，做好本节课思想方法的铺垫；其次，利用几何画板动态演示反比例函数图像上点的横、纵坐标的关系和规律，让学生发挥观察、分析、归纳等能力的作用，提炼出k的几何意义，并明确其在解题中的实际作用；再次，为巩固学习成果，进行经典例题探究，强化变式训练，即一题多解，一题多变，一法多用；最后，“当堂检测”环节要求限时完成，正确率较高，最终验证了这节课是一节非常成功的课.
2. 预设开放问题，倡导互动对话
为了充分发挥每个学生思维的积极性，本课设计了多个师生互动环节，有的是集体讨论环节，有的是小组合作交流环节，有的是人机互动环节，有的是當堂检测互批互评环节……真正尊重学生在教育教学中的主体位置，又竭尽全力地发挥学生的主观能动性. 学生收获的不仅是知识、方法，更是成功经验和体验.
3. 做好“多与少、快与慢”的协调与平衡
多放手，少代劳. 每当学生遇到疑难和困惑的时候，我们是不是要做一个“有求必应”的老师呢？现实教学中，有些老师或家长打着“教育”或“亲情”的名义，手把手地解决学生学习过程中遇到的问题，事无巨细，这样不是爱护，而是剥夺了他们锻炼的机会，是溺爱，是代劳，我们应该对孩子多一点儿信任，少一点儿包办，应启发、引导、尊重他们的学习主动权.
快节奏，慢过程. 由于教学内容上有难易、主次之分，教学步骤上有复习、引入、归纳、例题、练习、检测等不同环节，而一节课的时间毕竟有限，所以要想达到一节课的教学目标，就要突破这节课的难点，教学速度上必然要有缓急之分，要遵循知识的发生、发展规律，合理安排时间，当快则快，不拖泥带水，否则浪费时间，当慢则慢，细嚼慢咽，慢工出细活，否则欲速则不达.
[关键词] 数形结合；反比例函数；开放教学；互动对话
写在前面
学习反比例函数的概念、图像和性质之后，学生初步具备了数形结合的思想方法和演算能力. 为了应用反比例函数的图像与性质研究生活、生产中变量之间的联系，应构建反比例函数模型解决问题，加深和拓展学生对数学的理解. 笔者近期执教了一节反比例函数性质应用的习题课，本文梳理该课的教学流程，并跟进解读，以提供研讨.
“实际问题与反比例函数”课
堂实录
1. 教学环节一：温故知新，引入新课
师：请每位同学打开几何画板的课件（见图1），用鼠标点击反比例函数k值框下面的箭头，改变k值的大小，并观察图形与k值的关系.
师：k值是正数时……
生1：k值是正数时，反比例函数的图像分布在第一、三象限.
生2：k值是正数时，在每个象限内，函数y的值随x值的增大而减小.
师：k值取正数时，函数图像与坐标轴的距离怎样？
生3：k值取正数时，k值越大，函数图像越靠近坐标轴；k值越小，函数图像越远离坐标轴.
师：k值是负数时……
生4：k值是负数时，反比例函数的图像分布在第二、四象限.
生5：k值是负数时，在每个象限内，函数y的值随x值的增大而增大.
师：k值取负数时，函数图像与坐标轴的距离怎样？
生6：k值取负数时，k值越大，函数图像越远离坐标轴；k值越小，函数图像越靠近坐标轴.
解读 这样设计的意图：（1）引导回忆旧知；（2）展现数形结合思想；（3）运用信息技术直观教学. 本课建立在旧知的基础上研究反比例函数的图像和性质，并运用反比例函数的图像与性质解决实际问题.
2. 教学环节二：基础练习，巩固训练
已知反比例函数y=的圖像经过点（2，3），则点A（-，-2），B（2，），C（0，6），D9，不在反比例函数y=图像上的是______.
生1：先求出k的值是6，然后依次把A，B，C，D的坐标代入，计算出k的值. 经过计算可确定不在反比例函数y=图像上的点是C.
师：由此可归纳出k值的第一个作用是什么？
生2：k值的第一个作用是判断“点”是否在反比例函数图像上.
解读 这样设计的意图是初步了解k的值，为进一步研究k值做铺垫.
3. 教学环节三：创设情境，继续研究
为控制沙漠化蔓延，我们在一些地区种植抗沙漠化的植被，现计划种植8 km2的植被. 如果按长方形种植，它们的长与宽（此处忽略长方形中“长>宽”这一条件）可以是：1，8；2，4；4，2；8，1…请问每个这样的长方形的长和宽呈什么比例关系？
生1：反比例关系.
师：理由呢？
生2：因为长与宽的乘积等于一个常数.
师：好！既然呈反比例关系，那我们把每个长方形的长作为横坐标，宽作为纵坐标，得到点（1，8），（2，4），（4，2），（8，1）…建立坐标系，这些点在什么函数图像上？
生3：在函数y=的图像上.
师：请小组讨论一下：由题目，长方形植被的面积值跟反比例函数y=有什么关系？
（小组讨论，教师巡视）
生4：我们小组的结论是，过反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，其与坐标轴围成的矩形面积等于k.
解读 通过情境教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反作用于实践的辩证唯物主义观念.
4. 教学环节四：例题讲评，巩固新知
例题 如图2，点P是反比例函数y=图像上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线PM和PN，垂足分别为点M和点N. （1）求四边形PMON的面积；（2）求△POM的面积.
师：根据刚才的学习可知什么？
生1：k就是四边形PMON的面积.
师：正确，谁来板演一下解题全过程？
生2（板书）：设P（a，b），因为PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，所以四边形PMON是矩形. 所以S=PN×PM=ab=k=8. 所以四边形PMON的面积为8.
师：很好，第（2）问中的三角形的面积和刚刚所求的四边形的面积有什么关系？
生3：△POM的面积等于四边形PMON面积的一半，即k=4.
师：各小组讨论一下刚才的解题规律.
（小组讨论，教师巡视）
生4：过反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，其与坐标轴围成的矩形面积等于k，若与原点相连，所构成的直角三角形的面积等于k.
解读 例题是“基础训练”部分的延续和拓展，学生的回答处理得比较直截了当，教师的引导激励了学生思考，引导其探索解题思路，促使学生自始至终处于积极的思维活动中. 学生的积极主动，也较好地把学习知识和培养分析探索能力融为一体.
5. 教学环节五：课堂小结
师：今天我们复习反比例函数的图像与性质，你有哪些收获？哪位同学小结一下？
生：今天我们学习了……
（教师在黑板上板书）
解读 本环节是对教学过程的回顾，也是对学习中的得与失进行归纳，突出这节课的要点、难点、重点、易错点. 教后反思
1. 重视数形结合思想方法的渗透
我们知道，“数无形，少直观；形无数，难入微. ”初中函数教学强调的就是数形结合. 本节课教学的基本目的是让学生能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题，其重点是k的几何意义的归纳和使用. 为了达到这节课的教学目的，教师创设教学情境，极大地调动学生的学习积极性，采用启发式教学，自主探究、小组合作贯穿始终，师生共同分析、解决教学中遇到的问题，学生在学习知识的同时，提高了观察、分析、归纳、总结的能力，以及团结合作的意识. 刚开始，从复习旧知入手，通过动手操作、合作交流活跃课堂气氛，渗透数形结合思想方法，做好本节课思想方法的铺垫；其次，利用几何画板动态演示反比例函数图像上点的横、纵坐标的关系和规律，让学生发挥观察、分析、归纳等能力的作用，提炼出k的几何意义，并明确其在解题中的实际作用；再次，为巩固学习成果，进行经典例题探究，强化变式训练，即一题多解，一题多变，一法多用；最后，“当堂检测”环节要求限时完成，正确率较高，最终验证了这节课是一节非常成功的课.
2. 预设开放问题，倡导互动对话
为了充分发挥每个学生思维的积极性，本课设计了多个师生互动环节，有的是集体讨论环节，有的是小组合作交流环节，有的是人机互动环节，有的是當堂检测互批互评环节……真正尊重学生在教育教学中的主体位置，又竭尽全力地发挥学生的主观能动性. 学生收获的不仅是知识、方法，更是成功经验和体验.
3. 做好“多与少、快与慢”的协调与平衡
多放手，少代劳. 每当学生遇到疑难和困惑的时候，我们是不是要做一个“有求必应”的老师呢？现实教学中，有些老师或家长打着“教育”或“亲情”的名义，手把手地解决学生学习过程中遇到的问题，事无巨细，这样不是爱护，而是剥夺了他们锻炼的机会，是溺爱，是代劳，我们应该对孩子多一点儿信任，少一点儿包办，应启发、引导、尊重他们的学习主动权.
快节奏，慢过程. 由于教学内容上有难易、主次之分，教学步骤上有复习、引入、归纳、例题、练习、检测等不同环节，而一节课的时间毕竟有限，所以要想达到一节课的教学目标，就要突破这节课的难点，教学速度上必然要有缓急之分，要遵循知识的发生、发展规律，合理安排时间，当快则快，不拖泥带水，否则浪费时间，当慢则慢，细嚼慢咽，慢工出细活，否则欲速则不达.