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“勾股定理”选自义务教育标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册第十八章，本节课的教学目标是让学生通过观察、计算、猜想、探索并证明勾股定理，发展学生归纳概括的能力，在用拼图的方法证明定理的过程中体会数形结合思想的重要性。
课堂实录
一、引入
今天老师准备了一个有关古希腊一位数学家的小故事，我们先一起听一下这个故事。（播放录音）
在公元前550年也就是2500年前，古希腊有一位著名的哲学家，数学家，天文学家毕达哥拉斯。有一次，他去朋友家作客，在宴席上朋友们尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯看着朋友家的方砖地板发呆，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，美观大方。主人看到毕达哥拉斯奇怪的表情，想去问他，谁知毕达哥拉斯突然间恍然大悟的样子，大笑着跑回家去了。
同学们知道毕达哥拉斯为什么会有这样奇怪的举动吗？他到底发现了什么呢？让我们也来观察一下这块地板，看看你能发现什么？
二、发现定理
师：这就是毕达哥拉斯朋友家的地板，你有什么发现吗？
师：让我们看看毕达哥拉斯是从什么角度观察这块地板的。你有什么新的发现吗？
生：两个蓝色小正方形面积之和等于红色正方形的面积，
即AB2+AC2=BC2
结论：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：原来毕达哥拉斯在朋友家地板的启发下，也发现了这个结论，而且他还进行了进一步的研究，他在想等腰直角三角形有这样的性质，其他的直角三角形是否也具有这样的性质呢？让我们沿着数学家的足迹进一步研究。
师：如图每个小正方格的面积均为1，请你分别算出图中正方形A,B,C的面积看看有什么发现。
师：正方形A,B的面积都好求，正方形C的面积如何求呢？
生：利用割补法来求面积。
正方形的面积如表所示：
发现：A的面积 ＋B的面积 = C的面积
直角边的平方＋直角边的平方＝ 斜边的平方
师：于是，我们猜想：
命题1 如果直角三角形两直角边分别为a、b , 斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
三 、 证明定理
师：这只是我们的猜想，能否证明它呢？其实早在公元前1100年，即距今约3000多年前我国古人赵爽就已经发现并证明了这个定理，他在证明时用到了一个图，现在被称作“ 赵爽弦图”。下面我们就用赵爽的方法来证明这个结论。
（1）拼图法 将图1剪两刀，拼成“ 赵爽弦图”。
图1的面积=a2+b2 图2的面积c2
因为剪拼前后面积不变，所以a2+b2=c2
师：你能用代数方法证明上述命题吗？
生：∵图形的面积＝4×（ab/2）+(b - a)2＝a2+b2
图形的面积又＝c2
∴a2+b2＝c2
师：于是我们得到勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b , 斜边为c，那么aa2+b2＝c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
书写：∵在ΔABC中，∠C=90°
∴a2+b2＝c2
师：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，三角形的三边关系为不等关系，而直角三角形的三边具有等量关系。那么勾股定理有什么作用呢？
生：已知直角三角形的任两边可求第三边。
师：为什么称这个定理为“勾股定理”呢?在我国古代将手臂伸出来，弯成直角，较短的手臂叫“勾”，较长的叫“股”，后来演化到直角三角形中较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”，所以此定理称为“勾股定理”，而在西方又称其为“毕达哥拉斯定理”。
赵爽对定理的发现和证明充分体现了我国古人的聪明才智，尤其是在勾股定理的应用方面，对其他国家也产生了很大的影响，这是我国人民对人类的重要贡献。因此，2002年在北京举办的国际数学家大会上就以“赵爽弦图”作为大会的会徽，这也是我们中国人的骄傲。
目前，许多科学家都试图寻找宇宙中的“外星人”，为此向宇宙中发射了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、文字等，我国著名数学家华罗庚先生建议，向宇宙中发射一种能反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“ 文明人”，他们就一定能识别这种“语言”，这更加说明了勾股定理是文明的象征。也是因为这个原因，从古到今人们对勾股定理的证明都颇感兴趣，下至平民上至帝王总统都愿意探讨它，到目前为止，勾股定理的证明方法已经有500多种了。同学们能不能也试着用几种不同的方法来证明勾股定理呢？现在请大家拿出准备的直角三角形和正方形纸板拼出图形并证明勾股定理。
生：方法一
∵S= (a+b)2
= a2+2ab+b2
S=c2+4×ab
=c2+2ab
∴a2+2ab+b2=c2+2ab
即a2+b2 =c2
方法二
∵S =×(a+b)(a+b)
=a2+ab+b2
S=2×ab+c2
= ab + c2
∴a2+ab+b2= ab +c2
即a2+b2 = c2
四、課堂小结
今天我们沿着大数学家的足迹，一起探究发现并证明了勾股定理。我们知道毕达哥拉斯能够发现勾股定理就是源于生活对他的启发，其实在我们的生活中看似平淡无奇的现象往往隐藏着深刻的道理，只要你有一双善于发现的眼睛！
五、作业
1.用拼图法证明勾股定理
2.习题18.1第1，2，3题
课后记：
“勾股定理”的课时安排为两节课，第一节课是通过观察发现结论得出猜想。第二节课是利用拼图方法证明勾股定理并利用勾股定理解决实际问题。在这里将其合并成一节课是想让学生们经历发现、猜想、证明定理的完整过程，也比较符合学生的认知规律。
本节课的引入是用录音的形式播放了一个关于毕达哥拉斯发现勾股定理的小故事，这个小故事大大激发了学生的探究热情。在发现了直角三角形三边关系的猜想后，介绍其实早在3000多年前我国的赵爽就已经发现并证明了定理，更激起了学生强烈的民族自豪感，使德育教育渗透到日常的教学中。这时老师又介绍了一个学生感兴趣的话题，科学家为了寻找外星人，向宇宙中发射了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、文字等，我国著名数学家华罗庚先生建议，向宇宙中发射一种能反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“ 文明人”，他们就一定能识别这种“语言”。这说明了勾股定理是文明的象征，也使学生意识到了这个定理的重要性，此时的课堂气氛也达到了一个高潮。接下来就是证明定理，从古到今人们对勾股定理的证明都颇感兴趣，下至平民上至帝王总统都愿意探讨它，因此勾股定理的证明方法已经有500多种了。这使平时不太愿意动脑筋的同学也跃跃欲试，充分调动了所有学生的积极性。纵观整节课，教师为学生设置问题情境，而得出猜想和证明定理都主要依靠学生自己动手动脑、合作交流来完成，达到了锻炼学生思维能力的目的，让学生真正体会到了探索知识的乐趣和获得成功的喜悦。通过这节课还让学生体会到任何科学真理都源于生活，只要善于观察生活、领悟生活。
本节课也有不足之处，由于将两节课合成了一节课，所以学生证明定理的时间较短，只得出了两种证明方法，很多学生还意犹未尽。在拼图证明定理的过程中学生准备的各种直角三角形和正方形纸板也不够，导致拼图时思维受到限制。
以后可以考虑把这节课作为一节大课来上，这样就可以趁热打铁得到更多的证明方法，并给学生展示其方法的机会，锻炼学的表达能力，使一节课更圆满更充实。
作者简介：
侯玲玲，职称：中教二级，学校：乌鲁木齐市第五中学。
“勾股定理”选自义务教育标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册第十八章，本节课的教学目标是让学生通过观察、计算、猜想、探索并证明勾股定理，发展学生归纳概括的能力，在用拼图的方法证明定理的过程中体会数形结合思想的重要性。
课堂实录
一、引入
今天老师准备了一个有关古希腊一位数学家的小故事，我们先一起听一下这个故事。（播放录音）
在公元前550年也就是2500年前，古希腊有一位著名的哲学家，数学家，天文学家毕达哥拉斯。有一次，他去朋友家作客，在宴席上朋友们尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯看着朋友家的方砖地板发呆，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，美观大方。主人看到毕达哥拉斯奇怪的表情，想去问他，谁知毕达哥拉斯突然间恍然大悟的样子，大笑着跑回家去了。
同学们知道毕达哥拉斯为什么会有这样奇怪的举动吗？他到底发现了什么呢？让我们也来观察一下这块地板，看看你能发现什么？
二、发现定理
师：这就是毕达哥拉斯朋友家的地板，你有什么发现吗？
师：让我们看看毕达哥拉斯是从什么角度观察这块地板的。你有什么新的发现吗？
生：两个蓝色小正方形面积之和等于红色正方形的面积，
即AB2+AC2=BC2
结论：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：原来毕达哥拉斯在朋友家地板的启发下，也发现了这个结论，而且他还进行了进一步的研究，他在想等腰直角三角形有这样的性质，其他的直角三角形是否也具有这样的性质呢？让我们沿着数学家的足迹进一步研究。
师：如图每个小正方格的面积均为1，请你分别算出图中正方形A,B,C的面积看看有什么发现。
师：正方形A,B的面积都好求，正方形C的面积如何求呢？
生：利用割补法来求面积。
正方形的面积如表所示：
发现：A的面积 ＋B的面积 = C的面积
直角边的平方＋直角边的平方＝ 斜边的平方
师：于是，我们猜想：
命题1 如果直角三角形两直角边分别为a、b , 斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
三 、 证明定理
师：这只是我们的猜想，能否证明它呢？其实早在公元前1100年，即距今约3000多年前我国古人赵爽就已经发现并证明了这个定理，他在证明时用到了一个图，现在被称作“ 赵爽弦图”。下面我们就用赵爽的方法来证明这个结论。
（1）拼图法 将图1剪两刀，拼成“ 赵爽弦图”。
图1的面积=a2+b2 图2的面积c2
因为剪拼前后面积不变，所以a2+b2=c2
师：你能用代数方法证明上述命题吗？
生：∵图形的面积＝4×（ab/2）+(b - a)2＝a2+b2
图形的面积又＝c2
∴a2+b2＝c2
师：于是我们得到勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b , 斜边为c，那么aa2+b2＝c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
书写：∵在ΔABC中，∠C=90°
∴a2+b2＝c2
师：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，三角形的三边关系为不等关系，而直角三角形的三边具有等量关系。那么勾股定理有什么作用呢？
生：已知直角三角形的任两边可求第三边。
师：为什么称这个定理为“勾股定理”呢?在我国古代将手臂伸出来，弯成直角，较短的手臂叫“勾”，较长的叫“股”，后来演化到直角三角形中较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”，所以此定理称为“勾股定理”，而在西方又称其为“毕达哥拉斯定理”。
赵爽对定理的发现和证明充分体现了我国古人的聪明才智，尤其是在勾股定理的应用方面，对其他国家也产生了很大的影响，这是我国人民对人类的重要贡献。因此，2002年在北京举办的国际数学家大会上就以“赵爽弦图”作为大会的会徽，这也是我们中国人的骄傲。
目前，许多科学家都试图寻找宇宙中的“外星人”，为此向宇宙中发射了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、文字等，我国著名数学家华罗庚先生建议，向宇宙中发射一种能反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“ 文明人”，他们就一定能识别这种“语言”，这更加说明了勾股定理是文明的象征。也是因为这个原因，从古到今人们对勾股定理的证明都颇感兴趣，下至平民上至帝王总统都愿意探讨它，到目前为止，勾股定理的证明方法已经有500多种了。同学们能不能也试着用几种不同的方法来证明勾股定理呢？现在请大家拿出准备的直角三角形和正方形纸板拼出图形并证明勾股定理。
生：方法一
∵S= (a+b)2
= a2+2ab+b2
S=c2+4×ab
=c2+2ab
∴a2+2ab+b2=c2+2ab
即a2+b2 =c2
方法二
∵S =×(a+b)(a+b)
=a2+ab+b2
S=2×ab+c2
= ab + c2
∴a2+ab+b2= ab +c2
即a2+b2 = c2
四、課堂小结
今天我们沿着大数学家的足迹，一起探究发现并证明了勾股定理。我们知道毕达哥拉斯能够发现勾股定理就是源于生活对他的启发，其实在我们的生活中看似平淡无奇的现象往往隐藏着深刻的道理，只要你有一双善于发现的眼睛！
五、作业
1.用拼图法证明勾股定理
2.习题18.1第1，2，3题
课后记：
“勾股定理”的课时安排为两节课，第一节课是通过观察发现结论得出猜想。第二节课是利用拼图方法证明勾股定理并利用勾股定理解决实际问题。在这里将其合并成一节课是想让学生们经历发现、猜想、证明定理的完整过程，也比较符合学生的认知规律。
本节课的引入是用录音的形式播放了一个关于毕达哥拉斯发现勾股定理的小故事，这个小故事大大激发了学生的探究热情。在发现了直角三角形三边关系的猜想后，介绍其实早在3000多年前我国的赵爽就已经发现并证明了定理，更激起了学生强烈的民族自豪感，使德育教育渗透到日常的教学中。这时老师又介绍了一个学生感兴趣的话题，科学家为了寻找外星人，向宇宙中发射了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、文字等，我国著名数学家华罗庚先生建议，向宇宙中发射一种能反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“ 文明人”，他们就一定能识别这种“语言”。这说明了勾股定理是文明的象征，也使学生意识到了这个定理的重要性，此时的课堂气氛也达到了一个高潮。接下来就是证明定理，从古到今人们对勾股定理的证明都颇感兴趣，下至平民上至帝王总统都愿意探讨它，因此勾股定理的证明方法已经有500多种了。这使平时不太愿意动脑筋的同学也跃跃欲试，充分调动了所有学生的积极性。纵观整节课，教师为学生设置问题情境，而得出猜想和证明定理都主要依靠学生自己动手动脑、合作交流来完成，达到了锻炼学生思维能力的目的，让学生真正体会到了探索知识的乐趣和获得成功的喜悦。通过这节课还让学生体会到任何科学真理都源于生活，只要善于观察生活、领悟生活。
本节课也有不足之处，由于将两节课合成了一节课，所以学生证明定理的时间较短，只得出了两种证明方法，很多学生还意犹未尽。在拼图证明定理的过程中学生准备的各种直角三角形和正方形纸板也不够，导致拼图时思维受到限制。
以后可以考虑把这节课作为一节大课来上，这样就可以趁热打铁得到更多的证明方法，并给学生展示其方法的机会，锻炼学的表达能力，使一节课更圆满更充实。
作者简介：
侯玲玲，职称：中教二级，学校：乌鲁木齐市第五中学。