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一
数学概念是构建数学理论大厦的基石;是导出数学定理和数学法则的逻辑基础;是提高解题能力的前提;是数学学科的灵魂和精髓。因此,数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务,是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分,应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础,概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因,因此抓好概念教学对提高中学数学教学质量有重要的意义。
那么,作为教师应如何进行数学概念的教学呢?
1.注重体现概念的来龙去脉
高中数学课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,应注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质。
引入是概念教学的第一步,也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想,如在立体几何中异面直线距离的概念教学,可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念,如两点之间的距离,点到直线的距离,两平行线之间的距离,引导学生思考这些距离有什么特点,发现共同的特点是最短与垂直。然后,启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点,它们间的距离是最短的?如果存在,应当有什么特征?这样做,不仅使学生得到了概括能力的训练,还尝到了数学发现的滋味,认识到距离这个概念的本质属性。
2.要根据概念的不同特点,采取不同的教学方法
案例教学法。有的概念是描述性的,可以在例题教学中实施概念教学。比如,变量相关关系的概念是描述性的,不必追求形式化上的严格,可以采用案例教学法。
统计分析方法。例如对比函数关系,重点突出相关关系的两个本质特征在:关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时,伴随另一个变量有一定的变化趋势;不确定性是指当一个变量取定值时,与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性,才有研究的必要性。因为其不确定性,从少量的变量观测值,很难估计误差的大小,因此必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差,为了消除误差的影响,揭示变量间的本质联系,就必须要用统计分析方法。
直观演示法。有些概念也可以借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如在双曲线的渐近线概念教学时,可以借助多媒体对双曲线和它的的渐近线无限接近但是永不相交这一特性进行直观演示。
渗透教学法。还有的概念教学我们要在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施,比如“函数”一课。下面本文就以“函数的概念”一课的教学设计为例,谈谈概念教学各个环节的实施。
二
【案例】 “函数的概念”教学设计
1.教学任务分析
(1)正确理解函数的概念
通过丰富的实例,使学生建立起函数概念的背景,体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,能用集合与对应的语言来刻画函数,了解函数的三个要素。
(2)通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养学生的抽象概括能力。
在丰富的实例中,通过对关键词的强调和引导,使学生发现、概括出它们的共同特征,在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
2.教学重点与难点
重点:体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念。
难点:函数概念及符号的理解。
3.教学情境设计
问题1
对教科书(人教版必修一)的实例1,你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s时距地面高度h吗?其中t的变化范围是多少?
设计意图:体会用解析式刻画变量之间的对应关系,关注t与h的范围。
教师:启发学生用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系:在t的变化范围内,任给一个t,按照给定的解析式,都有唯一的一个高度h与之相对应。
学生:用计算器计算然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
问题2
对教科书中的实例2,你能从图中看出哪一年臭氧空洞面积大约为1500万平方千米?其中t的取值范围是什么?
设计意图:体会用图像刻画变量之间的对应关系,关注t与S的范围。
教师:引导学生看图,并启发:在t的变化范围内,任给一个t,按照给定的图像,都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。
学生:动手测量后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
问题3
在教科书的实例3中,恩格尔系数与时间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似?如何用集合和对应的语言来描述这个关系?
问题设计意图:体会用表格刻画两个变量之间的对应关系。
师生共同读表然后用集合与对应的语言两个变量之间的依赖关系。
问题4
以上三个实例的共同特点是什么?
设计意图:概括出函数的定义.
学生:分组讨论三个实例的共同特点,然后归纳出函数定义在全班交流。
教师:概括出函数的定义,指出解析式、图像、表格都是一种对应关系
问题5
初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么?
设计意图:使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义,加深对函数概念的理解。
问题6
你对“函数是描述变量的依赖关系的重要数学模型”这句话有什么体会?构成函数的要素有哪些?你能举出生活中的一些函数的例子吗?
设计意图:启发学生对本节课的内容进行总结,提醒学生重视研究问题的方法和过程。
师生:讨论,交流,从不同的具体实例中发现函数,通过比较加深对函数概念的理解。
这个教学设计用三个实例(以解析式、图像、表格三种形式给出)设计情景,以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素,又通过初中所学函数的例子以及现实生活中函数的例子层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学。
数学概念是构建数学理论大厦的基石;是导出数学定理和数学法则的逻辑基础;是提高解题能力的前提;是数学学科的灵魂和精髓。因此,数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务,是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分,应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础,概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因,因此抓好概念教学对提高中学数学教学质量有重要的意义。
那么,作为教师应如何进行数学概念的教学呢?
1.注重体现概念的来龙去脉
高中数学课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,应注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质。
引入是概念教学的第一步,也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想,如在立体几何中异面直线距离的概念教学,可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念,如两点之间的距离,点到直线的距离,两平行线之间的距离,引导学生思考这些距离有什么特点,发现共同的特点是最短与垂直。然后,启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点,它们间的距离是最短的?如果存在,应当有什么特征?这样做,不仅使学生得到了概括能力的训练,还尝到了数学发现的滋味,认识到距离这个概念的本质属性。
2.要根据概念的不同特点,采取不同的教学方法
案例教学法。有的概念是描述性的,可以在例题教学中实施概念教学。比如,变量相关关系的概念是描述性的,不必追求形式化上的严格,可以采用案例教学法。
统计分析方法。例如对比函数关系,重点突出相关关系的两个本质特征在:关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时,伴随另一个变量有一定的变化趋势;不确定性是指当一个变量取定值时,与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性,才有研究的必要性。因为其不确定性,从少量的变量观测值,很难估计误差的大小,因此必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差,为了消除误差的影响,揭示变量间的本质联系,就必须要用统计分析方法。
直观演示法。有些概念也可以借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如在双曲线的渐近线概念教学时,可以借助多媒体对双曲线和它的的渐近线无限接近但是永不相交这一特性进行直观演示。
渗透教学法。还有的概念教学我们要在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施,比如“函数”一课。下面本文就以“函数的概念”一课的教学设计为例,谈谈概念教学各个环节的实施。
二
【案例】 “函数的概念”教学设计
1.教学任务分析
(1)正确理解函数的概念
通过丰富的实例,使学生建立起函数概念的背景,体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,能用集合与对应的语言来刻画函数,了解函数的三个要素。
(2)通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养学生的抽象概括能力。
在丰富的实例中,通过对关键词的强调和引导,使学生发现、概括出它们的共同特征,在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
2.教学重点与难点
重点:体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念。
难点:函数概念及符号的理解。
3.教学情境设计
问题1
对教科书(人教版必修一)的实例1,你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s时距地面高度h吗?其中t的变化范围是多少?
设计意图:体会用解析式刻画变量之间的对应关系,关注t与h的范围。
教师:启发学生用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系:在t的变化范围内,任给一个t,按照给定的解析式,都有唯一的一个高度h与之相对应。
学生:用计算器计算然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
问题2
对教科书中的实例2,你能从图中看出哪一年臭氧空洞面积大约为1500万平方千米?其中t的取值范围是什么?
设计意图:体会用图像刻画变量之间的对应关系,关注t与S的范围。
教师:引导学生看图,并启发:在t的变化范围内,任给一个t,按照给定的图像,都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。
学生:动手测量后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
问题3
在教科书的实例3中,恩格尔系数与时间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似?如何用集合和对应的语言来描述这个关系?
问题设计意图:体会用表格刻画两个变量之间的对应关系。
师生共同读表然后用集合与对应的语言两个变量之间的依赖关系。
问题4
以上三个实例的共同特点是什么?
设计意图:概括出函数的定义.
学生:分组讨论三个实例的共同特点,然后归纳出函数定义在全班交流。
教师:概括出函数的定义,指出解析式、图像、表格都是一种对应关系
问题5
初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么?
设计意图:使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义,加深对函数概念的理解。
问题6
你对“函数是描述变量的依赖关系的重要数学模型”这句话有什么体会?构成函数的要素有哪些?你能举出生活中的一些函数的例子吗?
设计意图:启发学生对本节课的内容进行总结,提醒学生重视研究问题的方法和过程。
师生:讨论,交流,从不同的具体实例中发现函数,通过比较加深对函数概念的理解。
这个教学设计用三个实例(以解析式、图像、表格三种形式给出)设计情景,以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素,又通过初中所学函数的例子以及现实生活中函数的例子层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学。