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【摘要】本文我们利用Sylow定理给出pq阶完全群的一个完全分类，其中p，q是素数.
【关键词】完全群；Sylow定理；分类
【基金项目】本工作由国家自然科学基金11561078资助.
一、前言
完全群是群论中一类特殊的群，关于完全群的分类问题，至今尚未完成，也较受关注.完全群中一个著名的问题是由G.A.Miller提出的是否存在奇数阶完全群的问题，该问题于1975年被R.S.Dark解决.除此之外，也存在大量已被证明是完全群的例子，如，Wielandt证明了任何一个非交换单群的自同构群是完全群，Holder证明对称群Sn是完全群（n≥3且n≠6）.在部分国外期刊上，完全群分类问题在解决广义脉冲方程的精确解、非线性波动方程、时滞微分方程等问题上得到了广泛的应用.
针对完全群分类问题的研究，国内一些学者也做了很多这方面的工作.在1981年郑燕生证明了定义在Galois域上的某一类上三角矩阵在n≥3的情况下，其自同构群是可解完全群[2].查建国于1982年发表的文章中，通过李型群得出一类可解完全群[3]，于1983年发表的论文中，通过对称群得出另一类完全群[4].1984年任永才将奇数阶Abel群全形是完全群的条件推广到无限Abel群[5].田东代于1994年证明了无限完全群的一个充要条件：G是所有以它为正规子群的大群的直积因子.黄平安于1996年给出了判断完全群的几个准则，并得出如下几个结论：（1）阶为p2q（pq都是奇素数）的完全群；（3）不存在阶为pqr（p，q，r都是素数）的完全群[6].
本文的目的是确定pq（p，q都是素数）阶完全群的分类.我们先利用Sylow定理对pq阶群归类，得到pq阶群可分为以下三类：直积Zp×Zp，循环群Zpq和亚循环群Zp∶Zq（其中，p=tq 1）.然后确定这些群的全自同构群，再由完全群的定义确定全体pq阶完全群，在此基础上得到如下结论：
定理pq阶完全群只有3次对称群S3.
为便于描述，下文的p，q都是素数.用Aut（G）表示群G的自同构群，Inn（G）表示群G的内自同构群，Z（G）表示G的中心.
二、预备知识
为了本文结果，以下首先给出完全群以及Sylow定理的描述.
定义1设G是有限群，如果Z（G）=1，且Aut（G）=Inn（G），则称群G为完全群.
Sylow定理（[1，定理2.2.1、定理2.2.2]）若G是有限群，则G中Sylow-p子群的个数np满足：
（ⅰ）np≡1（modp），
（ⅱ）np|G，
（ⅲ）任意两个Sylow-p子群共轭.
根据Sylow定理，显然可以得到如下两个简单的推论：
推论1若p||G|，则G中必含Sylow-p子群.
推论2若P是G中唯一的Sylow-p子群，必为正规子群.
群的分类问题一直都是有限群中的一类基本问题，通常人们在同构的意义下进行分类.此外还涉及群的合成，如，群的商群、直积、半直积等扩张，这样的表示方式有助于深化我们对有限群本身的理解.本文也不例外，除了构建pq阶有限群与剩余类加群的同构外，还需要借助一定的直积以及半直积分解.
下面将给出直积分解的概念[1]：
定义2群G称为其子群N，H的直积，如果满足：
（1）NG，HG；
（2）G=NH；
（3）N∩H=1.
此时记为G=N×H.
为了便于本文讨论，下面给出两个与交换群相关的引理：
引理1（[1，定理1.3.12]）阶为p2的群必为交换群.
引理2（[1，定理1.4.7]）交换群可分解为若干循环子群的直积.
以下给出半直积（可裂扩张）的定义：
定义3（[1，定理3.3.9]）假設N和H是两个群，若存在一个同态映射α：H→Aut（N），则利用N，H和α，可定义一个新群G如下：G={（a，x）|a∈N，x∈H}，
G中乘法定义为（a，x）（b，y）=（abα（x）-1，xy）.
G称为N和H的半直积，也记为G=N∶H.
显然G=N∶H的充要条件是G=NH，N∩H=1，NG，H≤G.
最后，引理3、引理4给出下文将涉及的剩余类理论的相关知识：
定义4设m是正整数，r是整数，若r模的m阶等于f（m），则称r是模m的一个原根（其中，f（m）是欧拉函数）.
引理3将Zp视为模p（p是素数）的剩余类时，必存在原根r，使得r关于乘法可以生成Zp的简化剩余类，即〈r〉=（Zp，·），其中Zp=Zp＼{0}.
引理4若ab≡0（modp），有b≡0（modp-1）；
若ab≡0（modp），有a≡0（modp）或b≡0（modp）.
三、主要结果的证明
现对pq阶群进行分类.
若p=q，由引理1及引理2知G可分类为Zp2或Zp×Zp.
令p≠q，由推论1知有p阶子群N≌Zp和q阶子群H≌Zq，则G=NH且N∩H=1.
令G中p阶子群的个数为np，q阶子群的个数为nq，则由Sylow定理知：
np|q，np≡1（modp）， 且nq|p，nq≡1（modq）.
不妨令p>q，则有np=1，
此时NG，
若HG，则G=N×H≌Zp×Zq=Zpq.
若HG， 令N=〈a〉，H=〈b〉，b-1ab=ak，
则akq=（b-1）qabq=a，
akq-1=1，
kq≡1（modp），
q|p-1.
故有p=tq 1，
此时G≌Zp∶Zq.
故G可分类为Zp×Zq，Zpq和Zp∶Zq（其中，p=tq 1）.
Zp×Zq，Zpq是交换群，不可能是完全群.故只需讨论Zp∶Zq（其中，p=tq 1）中完全群的情形.
下面定理给出了群Zp：Zq的自同构群.
定理群G=Zp∶Zq的自同构群Aut（G）=Zp∶Zp-1.
证明令r是p的原根，定义：
σ：a→ar，b→b，
τ：a→a，b→ab.
显知〈σ〉≌Zp-1≤Aut（G），〈τ〉≌Zp≤Aut（G），
aσ-1τσ=a，bσ-1τσ=bτr，bτ-1σσ=a1-rb=bτ1-r.
知〈τ〉〈σ，τ〉，〈s〉〈s，t〉，
又〈σ〉∩〈τ〉=1，有Zp∶Zp-1≌〈σ，τ〉≤Aut（G）.
下证Aut（G）=Zp∶Zp-1，事实上，
若有ε∈Aut（G），
由〈a〉charG，G＼〈a〉中只有q阶元.
故可令ε：a→ars，b→aibj，
若j≡1（modq），则ε=σsτi∈〈σ，τ〉；
若j≡1（modq），必存在l∈Zp使τl：a→a，bj→a-ibj.
此时ετl：a→ars，b→bj，
则ετlσp-s-1：a→a，b→bj，
此时ak=b-1ab=（b-1ab）ετlσp-s-1=b-jabj=akj
k（kj-1-1）≡0（modp）kj-1≡1（modp）
j≡1（modp-1）≡1（modq）.
与j≡1（modq）矛盾，故有Aut（G）=Zp∶Zp-1，证毕.
由完全群的定义，G是完全群必有
Aut（G）=Inn（G）≌G，
结合定理则有p（p-1）=|Zp∶Zp-1|=|G|=pq
p=q 1，
而p，q是素數，有p=3，q=2.
显然Z3∶Z2=D6=S3是完全群，故S3是唯一的pq阶完全群.
【参考文献】
[1]徐明耀.有限群导引（上）[M].北京：科学出版社，1987.
[2]郑燕生，柳放，杨德荣.一类有限阶可解完全群[J].数学研究与评论，1981（2）：7-20.
[3]查建国.由李型群得出的一类可解完全群[J].数学杂志，1982（1）：11-22.
[4]查建国.从对称群得出的一类完全群[J].中国科学技术大学学报，1983（1）：29-38.
[5]任永才.论完全群的一个定理及其推广[J].四川大学学报（自然科学版），1984（2）：25-29.
[6]黄平安.关于完全群的几个准则[J].长沙电力学院学报（自然科学版），1996（1）.
【关键词】完全群；Sylow定理；分类
【基金项目】本工作由国家自然科学基金11561078资助.
一、前言
完全群是群论中一类特殊的群，关于完全群的分类问题，至今尚未完成，也较受关注.完全群中一个著名的问题是由G.A.Miller提出的是否存在奇数阶完全群的问题，该问题于1975年被R.S.Dark解决.除此之外，也存在大量已被证明是完全群的例子，如，Wielandt证明了任何一个非交换单群的自同构群是完全群，Holder证明对称群Sn是完全群（n≥3且n≠6）.在部分国外期刊上，完全群分类问题在解决广义脉冲方程的精确解、非线性波动方程、时滞微分方程等问题上得到了广泛的应用.
针对完全群分类问题的研究，国内一些学者也做了很多这方面的工作.在1981年郑燕生证明了定义在Galois域上的某一类上三角矩阵在n≥3的情况下，其自同构群是可解完全群[2].查建国于1982年发表的文章中，通过李型群得出一类可解完全群[3]，于1983年发表的论文中，通过对称群得出另一类完全群[4].1984年任永才将奇数阶Abel群全形是完全群的条件推广到无限Abel群[5].田东代于1994年证明了无限完全群的一个充要条件：G是所有以它为正规子群的大群的直积因子.黄平安于1996年给出了判断完全群的几个准则，并得出如下几个结论：（1）阶为p2q（p
本文的目的是确定pq（p，q都是素数）阶完全群的分类.我们先利用Sylow定理对pq阶群归类，得到pq阶群可分为以下三类：直积Zp×Zp，循环群Zpq和亚循环群Zp∶Zq（其中，p=tq 1）.然后确定这些群的全自同构群，再由完全群的定义确定全体pq阶完全群，在此基础上得到如下结论：
定理pq阶完全群只有3次对称群S3.
为便于描述，下文的p，q都是素数.用Aut（G）表示群G的自同构群，Inn（G）表示群G的内自同构群，Z（G）表示G的中心.
二、预备知识
为了本文结果，以下首先给出完全群以及Sylow定理的描述.
定义1设G是有限群，如果Z（G）=1，且Aut（G）=Inn（G），则称群G为完全群.
Sylow定理（[1，定理2.2.1、定理2.2.2]）若G是有限群，则G中Sylow-p子群的个数np满足：
（ⅰ）np≡1（modp），
（ⅱ）np|G，
（ⅲ）任意两个Sylow-p子群共轭.
根据Sylow定理，显然可以得到如下两个简单的推论：
推论1若p||G|，则G中必含Sylow-p子群.
推论2若P是G中唯一的Sylow-p子群，必为正规子群.
群的分类问题一直都是有限群中的一类基本问题，通常人们在同构的意义下进行分类.此外还涉及群的合成，如，群的商群、直积、半直积等扩张，这样的表示方式有助于深化我们对有限群本身的理解.本文也不例外，除了构建pq阶有限群与剩余类加群的同构外，还需要借助一定的直积以及半直积分解.
下面将给出直积分解的概念[1]：
定义2群G称为其子群N，H的直积，如果满足：
（1）NG，HG；
（2）G=NH；
（3）N∩H=1.
此时记为G=N×H.
为了便于本文讨论，下面给出两个与交换群相关的引理：
引理1（[1，定理1.3.12]）阶为p2的群必为交换群.
引理2（[1，定理1.4.7]）交换群可分解为若干循环子群的直积.
以下给出半直积（可裂扩张）的定义：
定义3（[1，定理3.3.9]）假設N和H是两个群，若存在一个同态映射α：H→Aut（N），则利用N，H和α，可定义一个新群G如下：G={（a，x）|a∈N，x∈H}，
G中乘法定义为（a，x）（b，y）=（abα（x）-1，xy）.
G称为N和H的半直积，也记为G=N∶H.
显然G=N∶H的充要条件是G=NH，N∩H=1，NG，H≤G.
最后，引理3、引理4给出下文将涉及的剩余类理论的相关知识：
定义4设m是正整数，r是整数，若r模的m阶等于f（m），则称r是模m的一个原根（其中，f（m）是欧拉函数）.
引理3将Zp视为模p（p是素数）的剩余类时，必存在原根r，使得r关于乘法可以生成Zp的简化剩余类，即〈r〉=（Zp，·），其中Zp=Zp＼{0}.
引理4若ab≡0（modp），有b≡0（modp-1）；
若ab≡0（modp），有a≡0（modp）或b≡0（modp）.
三、主要结果的证明
现对pq阶群进行分类.
若p=q，由引理1及引理2知G可分类为Zp2或Zp×Zp.
令p≠q，由推论1知有p阶子群N≌Zp和q阶子群H≌Zq，则G=NH且N∩H=1.
令G中p阶子群的个数为np，q阶子群的个数为nq，则由Sylow定理知：
np|q，np≡1（modp）， 且nq|p，nq≡1（modq）.
不妨令p>q，则有np=1，
此时NG，
若HG，则G=N×H≌Zp×Zq=Zpq.
若HG， 令N=〈a〉，H=〈b〉，b-1ab=ak，
则akq=（b-1）qabq=a，
akq-1=1，
kq≡1（modp），
q|p-1.
故有p=tq 1，
此时G≌Zp∶Zq.
故G可分类为Zp×Zq，Zpq和Zp∶Zq（其中，p=tq 1）.
Zp×Zq，Zpq是交换群，不可能是完全群.故只需讨论Zp∶Zq（其中，p=tq 1）中完全群的情形.
下面定理给出了群Zp：Zq的自同构群.
定理群G=Zp∶Zq的自同构群Aut（G）=Zp∶Zp-1.
证明令r是p的原根，定义：
σ：a→ar，b→b，
τ：a→a，b→ab.
显知〈σ〉≌Zp-1≤Aut（G），〈τ〉≌Zp≤Aut（G），
aσ-1τσ=a，bσ-1τσ=bτr，bτ-1σσ=a1-rb=bτ1-r.
知〈τ〉〈σ，τ〉，〈s〉〈s，t〉，
又〈σ〉∩〈τ〉=1，有Zp∶Zp-1≌〈σ，τ〉≤Aut（G）.
下证Aut（G）=Zp∶Zp-1，事实上，
若有ε∈Aut（G），
由〈a〉charG，G＼〈a〉中只有q阶元.
故可令ε：a→ars，b→aibj，
若j≡1（modq），则ε=σsτi∈〈σ，τ〉；
若j≡1（modq），必存在l∈Zp使τl：a→a，bj→a-ibj.
此时ετl：a→ars，b→bj，
则ετlσp-s-1：a→a，b→bj，
此时ak=b-1ab=（b-1ab）ετlσp-s-1=b-jabj=akj
k（kj-1-1）≡0（modp）kj-1≡1（modp）
j≡1（modp-1）≡1（modq）.
与j≡1（modq）矛盾，故有Aut（G）=Zp∶Zp-1，证毕.
由完全群的定义，G是完全群必有
Aut（G）=Inn（G）≌G，
结合定理则有p（p-1）=|Zp∶Zp-1|=|G|=pq
p=q 1，
而p，q是素數，有p=3，q=2.
显然Z3∶Z2=D6=S3是完全群，故S3是唯一的pq阶完全群.
【参考文献】
[1]徐明耀.有限群导引（上）[M].北京：科学出版社，1987.
[2]郑燕生，柳放，杨德荣.一类有限阶可解完全群[J].数学研究与评论，1981（2）：7-20.
[3]查建国.由李型群得出的一类可解完全群[J].数学杂志，1982（1）：11-22.
[4]查建国.从对称群得出的一类完全群[J].中国科学技术大学学报，1983（1）：29-38.
[5]任永才.论完全群的一个定理及其推广[J].四川大学学报（自然科学版），1984（2）：25-29.
[6]黄平安.关于完全群的几个准则[J].长沙电力学院学报（自然科学版），1996（1）.