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【摘 要】 本文分析了传统数学教学在培养学生创新能力方面的不足，指出如何培养学生的创新能力，并设计了一节课予以示范。
【关键词】 创新思维；教学设计；素质教育；数学
创新思维决定一个人能否创新及创新能力的大小，是素质教育的核心，注重对学生进行素质教育已成为国人的共识。而素质教育的核心是培养学生的创新精神和实践能力。因此，在数学教学中有意培养学生的创新思维，对开发学生的创新潜能，培养学生的创新能力至关重要。在这一过程中，数学因其特定的内容和方法有着得天独厚的优势，数学教师也就义不容辞地站在了时代的前列，责无旁贷地肩负起历史的使命，应该有所作为而且可以大有作为。
审视我们传统的数学教育，做得并不到位。不能否认，我们的数学教育有值得骄傲的地方，比如，学生基础知识扎实、基本技能娴熟、在国际数学测验中成绩不凡，国际数学奥林匹克竞赛中更是捷报频传。但也必须承认还存在着相当严重的问题，比如数学思维品质不高，缺乏灵活性、深刻性和批判性；创新精神和实践能力较差；数学学习方式单一、被动；对数学学习的情感体验消极等等。认真分析，除了教育制度和考试制度等原因，是我们的教学思想和观念、教学内容和方法使然，尤其是后者。在内容方面，传统的数学教材过分注重自身的逻辑性和完整性，高高在上，不重视数学知识的现实背景，与现实生活严重脱节，学生学到的东西在日常生活中用不着，而日常生活中需要的知识学生却没学到（据统计，70%的学生以后用不到小学以后的数学知识），从而让学生觉得数学无用进而无趣。而对于有价值的部分，传统的数学教学又掐头去尾，过分注重“成熟”知识（结论）的传授，而忽视了知识的“来龙”（如何来）和“去脉”（做何用），掐掉的“头”（知识的产生过程）和去掉的“尾”（知识的应用）则正是培养学生创新精神和实践能力的精彩部分。在教学方法上，我们过分强调“精讲多练”，而一味的精讲，固然使学生理解到知识的方方面面，但也剥夺了学生探索创新的时间和空间，致使学生创新的意识泯灭了，创新的精神懈怠了，创新的能力退化了。而学生的多练，强化的是模仿和服从，巩固的是重复和操作，获得的只是运算的技巧和速度，失去的则是能力提高的机会。大量的时间、有限的精力和残存的对于数学的兴趣和爱好在多练中“炼”掉了，换来了在现代社会看来似乎是屠龙之技的、与受益终身的创新能力相比价值不大的所谓“技能”。久而久之，人的思维发展为此而受到阻碍。因此，在强调素质教育的今天，当务之急是让学生由现在的被动接受知识转向主动的探索、积极的建构知识。与此相适应，教师的教育思想和观念、教学方式和手段要全面更新：数学观——从数学定律观转向数学过程观，即在传授知识的同时，注重表达一种探索精神；教育观——从“以教师为中心”转向“以学生发展为中心”，从“学知”转向“求知与发展”；教学观——强调分析问题和解决问题的能力的培养，从追求固定的教学方式转向一切有利于创造性思维培养的优异手法；教学手段——从纸笔演算转向以现代技术、信息工具为辅助的多种方式的训练。为此，笔者对“算术平均数与几何平均数”这节课进行了设计，在用《几何画板》制作的课件的支持下，试图再现數学知识的形成过程。
算术平均数和几何平均数
一、创设问题情景
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每1的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
二、基本概念
1、对任意两正数a与b，我们把叫做a、b的算术平均数；
2、对任意两正数a与b，我们把叫做a、b的几何平均数。
三、基本定理
1、提出问题
任意两正数a与b的算术平均数与它的几何平均数之间有什么样的大小关系？即：若a、bR，问与的大小关系如何？
2、探索发现
实验一（演示几何画板制作的课件，以下实验同）
A、B是平面内任意两点，l是线段AB的垂直平分线，P是平面内不和A、B重合的动点。度量线段PA、PB的长分别记为a、b，即
a==…
b==…
计算=…
=…
任意拖动P点，观察a、b及、的变化情况。
3、猜测定理
任意两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当这两个正数相等时，等号成立。即（a、b）
4、逻辑证明
点拨学生用比较法证明，注意分析等式成立的条件。
四、定理的初步推广
1、类比定义
三个正数的算术平均数
三个正数的几何平均数
2、类比猜测三个正数的算术平均数与它们的几何平均数之间的关系：（
3、验证猜测
实验二A、B、C是平面内任一正三角形的三个顶点，O是中心，动点P是平面内不与A、B、C重合的任一点，度量线段PA、PB、PC的长分别记为.即
计算
任意拖动P点，观察以上值的变化情况，从而验证猜测。
五、定理的再推广
1、若四个正数呢？
2、若五个正数呢？
归纳：对于任意n（n≥2）个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即
（当且仅当时，等号成立）
六、应用
1、问题：若两正数的积是定值（比如9），和有何规律？若两正数的和为定值（比如9），积有何规律？
实验三如图是反比例函数y=的图象在第一象限中的部分，P是其上的任意一点。PA、PB分别是P到X轴、Y轴的垂线，A、B是垂足，度量线段PA、PB的长分别为a、b，即
a=
b=
计算a·b=9
a+b=…
任意拖动点P在曲线上移动，a·b=9是定值，而a+b在变。观察可得：如果两个正数的积是定值，则两数的和有最小值，当且仅当两数相等时，两数的和取最小值。
实验四线段AB的长是9，P为线段AB上不和A、B重合的任一点。度量线段AP、PB的长分别为a、b，即a=
b=
计算a+b=9
任意拖动点P在线段AB上移动，a+b=9是定值，而a·b在变，观察可得：如果两个正数的和是定值，则两数的积有最大值，当且仅当两数相等时，两数的积取最大值。
2、例：已知X、Y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2；
（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积x·y有最大值.
证明：略
解决开始提出的问题（略）
练习：一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
参考文献：
[1]齐建华等.现代数学教育.郑州：大象出版社，2001.3
【关键词】 创新思维；教学设计；素质教育；数学
创新思维决定一个人能否创新及创新能力的大小，是素质教育的核心，注重对学生进行素质教育已成为国人的共识。而素质教育的核心是培养学生的创新精神和实践能力。因此，在数学教学中有意培养学生的创新思维，对开发学生的创新潜能，培养学生的创新能力至关重要。在这一过程中，数学因其特定的内容和方法有着得天独厚的优势，数学教师也就义不容辞地站在了时代的前列，责无旁贷地肩负起历史的使命，应该有所作为而且可以大有作为。
审视我们传统的数学教育，做得并不到位。不能否认，我们的数学教育有值得骄傲的地方，比如，学生基础知识扎实、基本技能娴熟、在国际数学测验中成绩不凡，国际数学奥林匹克竞赛中更是捷报频传。但也必须承认还存在着相当严重的问题，比如数学思维品质不高，缺乏灵活性、深刻性和批判性；创新精神和实践能力较差；数学学习方式单一、被动；对数学学习的情感体验消极等等。认真分析，除了教育制度和考试制度等原因，是我们的教学思想和观念、教学内容和方法使然，尤其是后者。在内容方面，传统的数学教材过分注重自身的逻辑性和完整性，高高在上，不重视数学知识的现实背景，与现实生活严重脱节，学生学到的东西在日常生活中用不着，而日常生活中需要的知识学生却没学到（据统计，70%的学生以后用不到小学以后的数学知识），从而让学生觉得数学无用进而无趣。而对于有价值的部分，传统的数学教学又掐头去尾，过分注重“成熟”知识（结论）的传授，而忽视了知识的“来龙”（如何来）和“去脉”（做何用），掐掉的“头”（知识的产生过程）和去掉的“尾”（知识的应用）则正是培养学生创新精神和实践能力的精彩部分。在教学方法上，我们过分强调“精讲多练”，而一味的精讲，固然使学生理解到知识的方方面面，但也剥夺了学生探索创新的时间和空间，致使学生创新的意识泯灭了，创新的精神懈怠了，创新的能力退化了。而学生的多练，强化的是模仿和服从，巩固的是重复和操作，获得的只是运算的技巧和速度，失去的则是能力提高的机会。大量的时间、有限的精力和残存的对于数学的兴趣和爱好在多练中“炼”掉了，换来了在现代社会看来似乎是屠龙之技的、与受益终身的创新能力相比价值不大的所谓“技能”。久而久之，人的思维发展为此而受到阻碍。因此，在强调素质教育的今天，当务之急是让学生由现在的被动接受知识转向主动的探索、积极的建构知识。与此相适应，教师的教育思想和观念、教学方式和手段要全面更新：数学观——从数学定律观转向数学过程观，即在传授知识的同时，注重表达一种探索精神；教育观——从“以教师为中心”转向“以学生发展为中心”，从“学知”转向“求知与发展”；教学观——强调分析问题和解决问题的能力的培养，从追求固定的教学方式转向一切有利于创造性思维培养的优异手法；教学手段——从纸笔演算转向以现代技术、信息工具为辅助的多种方式的训练。为此，笔者对“算术平均数与几何平均数”这节课进行了设计，在用《几何画板》制作的课件的支持下，试图再现數学知识的形成过程。
算术平均数和几何平均数
一、创设问题情景
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800，深为3m，如果池底每1的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
二、基本概念
1、对任意两正数a与b，我们把叫做a、b的算术平均数；
2、对任意两正数a与b，我们把叫做a、b的几何平均数。
三、基本定理
1、提出问题
任意两正数a与b的算术平均数与它的几何平均数之间有什么样的大小关系？即：若a、bR，问与的大小关系如何？
2、探索发现
实验一（演示几何画板制作的课件，以下实验同）
A、B是平面内任意两点，l是线段AB的垂直平分线，P是平面内不和A、B重合的动点。度量线段PA、PB的长分别记为a、b，即
a==…
b==…
计算=…
=…
任意拖动P点，观察a、b及、的变化情况。
3、猜测定理
任意两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当这两个正数相等时，等号成立。即（a、b）
4、逻辑证明
点拨学生用比较法证明，注意分析等式成立的条件。
四、定理的初步推广
1、类比定义
三个正数的算术平均数
三个正数的几何平均数
2、类比猜测三个正数的算术平均数与它们的几何平均数之间的关系：（
3、验证猜测
实验二A、B、C是平面内任一正三角形的三个顶点，O是中心，动点P是平面内不与A、B、C重合的任一点，度量线段PA、PB、PC的长分别记为.即
计算
任意拖动P点，观察以上值的变化情况，从而验证猜测。
五、定理的再推广
1、若四个正数呢？
2、若五个正数呢？
归纳：对于任意n（n≥2）个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即
（当且仅当时，等号成立）
六、应用
1、问题：若两正数的积是定值（比如9），和有何规律？若两正数的和为定值（比如9），积有何规律？
实验三如图是反比例函数y=的图象在第一象限中的部分，P是其上的任意一点。PA、PB分别是P到X轴、Y轴的垂线，A、B是垂足，度量线段PA、PB的长分别为a、b，即
a=
b=
计算a·b=9
a+b=…
任意拖动点P在曲线上移动，a·b=9是定值，而a+b在变。观察可得：如果两个正数的积是定值，则两数的和有最小值，当且仅当两数相等时，两数的和取最小值。
实验四线段AB的长是9，P为线段AB上不和A、B重合的任一点。度量线段AP、PB的长分别为a、b，即a=
b=
计算a+b=9
任意拖动点P在线段AB上移动，a+b=9是定值，而a·b在变，观察可得：如果两个正数的和是定值，则两数的积有最大值，当且仅当两数相等时，两数的积取最大值。
2、例：已知X、Y都是正数，求证：
（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2；
（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积x·y有最大值.
证明：略
解决开始提出的问题（略）
练习：一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
参考文献：
[1]齐建华等.现代数学教育.郑州：大象出版社，2001.3