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摘要：数学模型是培养学生理性思维和科学探究的重要科学方法，将其贯穿整个教学过程，以细菌问题入手，逐步改变条件，建构“J”型曲线、“S”型曲线，提升学生的建模能力和理性思维，突破教学重难点，区分两种模型成立条件，结合酵母菌数量变化的预实验，培养学生探究能力，感悟科学研究的严谨性。
关键词：数学模型;种群数量;理性思维;科学探究
1 教学背景分析
1.1课标分析
课程标准中关于本节的具体内容标准是：“尝试建立数学模型解释种群的数量变动”，并提出“探究培养液中酵母种群数量的动态变化”[1]。引导学生以数学关系描述生命现象，运用逻辑推理揭示生命活动规律是本节教学设计的重点。
1.2教材分析
“种群数量的变化”是人教版高中生物必修3《稳态与环境》第4章“种群和群落”的第2节内容，共三部分。第一部分，建构种群增长模型的方法;第二部分，种群数量的变化情况;包括种群增长的“J”型曲线、种群增长的“S”型曲线、种群数量的波动和下降;第三部分是“探究”——“培养液中酵母菌种群数量的变化”，共计2课时。为方便学生理解，第1课时的重点内容为数学模型的建构，引导学生建构“J”型曲线和“S”型曲线的数学模型，并将酵母菌实验作为预实验引入课堂;第2课时再详细讲解各曲线的生物学意义。
1.3学情分析
本课时主要以构建数学模型为主，需要学生有相应的数学基础。本节为高中必修3第4章的内容，对象是高二学生，他们已经学习了指数函数，具有一定的数学归纳能力，在教师的引导下能够构建简单的数学模型。本章第1节，学生已有种群密度的概念，掌握了种群的特征，根据提示，他们可以将生命现象进行量化，以数量关系描述生命现象，再运用逻辑推理、求解和运算等达到对生命现象进行研究的目的。
2 教学目标
2.1 知识目标 说出建构种群增长模型的方法;明确数学模型构建的步骤。
2.2 能力目标 学会建构种群增长的数学模型;用数学模型解释种群数量的变化趋势;运用种群数量变化规律解决生活中遇到的实际问题。
2.3 情感态度与价值观 通过学习，意识到环境因素（尤其是人类活动）对生物种群数量变化的影响;领悟建立模型的科学方法及其在科学研究中的作用。
3 课前准备
生物兴趣小组进行预实验——“探究培养液中酵母菌种群数量的变化”（详细过程见4.3.2）。
4 教学过程
4.1 案例引入，激发兴趣
教师用图片和文字讲述“水葫芦”（即凤眼莲）和大熊猫的种群数量差异。指出：在夏季的长江流域水葫芦泛滥成灾，环卫工人每日打捞515吨也难以控制其数量;大熊猫濒临灭绝，为增加数量，需建立自然保护区，进行人工繁殖。两者数量为何会有如此大的差异？从而引出本节内容。
设计意图：以日常生活常见现象为切入点，引出学习内容，激发学生兴趣，促使学生从简单问题中提炼生物学问题。
4.2 数学模型概念，探究细菌数量的变化
教师向学生介绍数学模型的概念，以及在种群数量研究中的重要作用，以细菌为例，学习数学模型的研究方法。
假设：若某细菌每20min 繁殖一代，一分为二，20min，40min，60min……后，会产生多少个细菌？填写教材第66页表格内容。提出以下问题：①你能否快速准确地说出10000h后细菌的数量？②若N表示繁殖后的细菌数量，n表示分裂次数，请写出1个细菌n次分裂后的数量计算公式。③除了公式，能不能换一种数学形式，可以直接看出细菌数量变化的趋势？④假如细菌的起始数不是1而是N0，n次分裂后细菌数量计算公式又是什么呢？⑤细菌可以一直按照这个公式增长吗？为什么？
组织学生进行3分钟的讨论，再请学生逐一回答上述问题。根据问题①和问题②，得出1个细菌n次分裂后的数量计算公式N=2n;由问题③总结数学模型的两种表现形式——公式N=N02n和曲线图，并由此比较两种方式的优缺点;问题④将具体问题普遍化;问题⑤强调公式成立的条件——“环境和資源无限多”的理想条件。
教师出示资料：科学家在实验室条件下培养细菌，定期分装，并向其中加入营养物质，使细菌始终生活在营养和空间资源无限多的环境中。经过反复实验，统计数据，绘制出曲线图，和学生的曲线图对比，进行验证，由此提出“J”型曲线。结合细菌数量变化的探究历程，总结数学模型的建构过程。
设计意图：用问题启发式进行教学，层层递进，启发学生推测出一个细菌的增长公式，N0个细菌增长公式，归纳公式成立的条件;引导学生体验数学模型的建构过程，总结数学模型研究方法的一般步骤。
4.3 数学模型的运用
4.3.1 模型一 种群增长的“J”型曲线
教师提问：科学家在人工实验的条件下，为细菌提供了一个理想条件，使它呈“J”型增长。那同学们猜一下，自然界中会存在这种资源空间无限多的的理想条件吗？根据学生的回答，检查预习效果。
教师结合教材，出示环颈稚和澳大利亚野兔在一定时间内数量增长的图文资料，两者均呈“J”型增长。由学生归纳野兔疯狂增长原因：气候适宜，食物充足，缺少天敌，生存空间大，教师指出这就是理想条件的具体含义。质疑：野兔和环颈稚“J”型增长的方程式也能用细菌N=N02n来表示吗？组织学生进行分组合作、交流讨论，学生根据细菌个案，建构模型一。
提示学生易错点：①对类似环颈稚、野兔数量的检验修正可通过对实际数量进行统计后绘制;②“J”型增长的公式表达N=N0入t和曲线图均要在理想条件下才能形成，可以通过实验室条件设置，也可以把种群迁入新环境的最初一段时间看成理想条件。
设计意图：引导学生从细菌个案分析一般种群，能运用类比的方法研究问题;学会从资料中归纳提取关键词，总结规律;学会数学模型的应用，鼓励学生小组讨论，学会合作。
关键词：数学模型;种群数量;理性思维;科学探究
1 教学背景分析
1.1课标分析
课程标准中关于本节的具体内容标准是：“尝试建立数学模型解释种群的数量变动”，并提出“探究培养液中酵母种群数量的动态变化”[1]。引导学生以数学关系描述生命现象，运用逻辑推理揭示生命活动规律是本节教学设计的重点。
1.2教材分析
“种群数量的变化”是人教版高中生物必修3《稳态与环境》第4章“种群和群落”的第2节内容，共三部分。第一部分，建构种群增长模型的方法;第二部分，种群数量的变化情况;包括种群增长的“J”型曲线、种群增长的“S”型曲线、种群数量的波动和下降;第三部分是“探究”——“培养液中酵母菌种群数量的变化”，共计2课时。为方便学生理解，第1课时的重点内容为数学模型的建构，引导学生建构“J”型曲线和“S”型曲线的数学模型，并将酵母菌实验作为预实验引入课堂;第2课时再详细讲解各曲线的生物学意义。
1.3学情分析
本课时主要以构建数学模型为主，需要学生有相应的数学基础。本节为高中必修3第4章的内容，对象是高二学生，他们已经学习了指数函数，具有一定的数学归纳能力，在教师的引导下能够构建简单的数学模型。本章第1节，学生已有种群密度的概念，掌握了种群的特征，根据提示，他们可以将生命现象进行量化，以数量关系描述生命现象，再运用逻辑推理、求解和运算等达到对生命现象进行研究的目的。
2 教学目标
2.1 知识目标 说出建构种群增长模型的方法;明确数学模型构建的步骤。
2.2 能力目标 学会建构种群增长的数学模型;用数学模型解释种群数量的变化趋势;运用种群数量变化规律解决生活中遇到的实际问题。
2.3 情感态度与价值观 通过学习，意识到环境因素（尤其是人类活动）对生物种群数量变化的影响;领悟建立模型的科学方法及其在科学研究中的作用。
3 课前准备
生物兴趣小组进行预实验——“探究培养液中酵母菌种群数量的变化”（详细过程见4.3.2）。
4 教学过程
4.1 案例引入，激发兴趣
教师用图片和文字讲述“水葫芦”（即凤眼莲）和大熊猫的种群数量差异。指出：在夏季的长江流域水葫芦泛滥成灾，环卫工人每日打捞515吨也难以控制其数量;大熊猫濒临灭绝，为增加数量，需建立自然保护区，进行人工繁殖。两者数量为何会有如此大的差异？从而引出本节内容。
设计意图：以日常生活常见现象为切入点，引出学习内容，激发学生兴趣，促使学生从简单问题中提炼生物学问题。
4.2 数学模型概念，探究细菌数量的变化
教师向学生介绍数学模型的概念，以及在种群数量研究中的重要作用，以细菌为例，学习数学模型的研究方法。
假设：若某细菌每20min 繁殖一代，一分为二，20min，40min，60min……后，会产生多少个细菌？填写教材第66页表格内容。提出以下问题：①你能否快速准确地说出10000h后细菌的数量？②若N表示繁殖后的细菌数量，n表示分裂次数，请写出1个细菌n次分裂后的数量计算公式。③除了公式，能不能换一种数学形式，可以直接看出细菌数量变化的趋势？④假如细菌的起始数不是1而是N0，n次分裂后细菌数量计算公式又是什么呢？⑤细菌可以一直按照这个公式增长吗？为什么？
组织学生进行3分钟的讨论，再请学生逐一回答上述问题。根据问题①和问题②，得出1个细菌n次分裂后的数量计算公式N=2n;由问题③总结数学模型的两种表现形式——公式N=N02n和曲线图，并由此比较两种方式的优缺点;问题④将具体问题普遍化;问题⑤强调公式成立的条件——“环境和資源无限多”的理想条件。
教师出示资料：科学家在实验室条件下培养细菌，定期分装，并向其中加入营养物质，使细菌始终生活在营养和空间资源无限多的环境中。经过反复实验，统计数据，绘制出曲线图，和学生的曲线图对比，进行验证，由此提出“J”型曲线。结合细菌数量变化的探究历程，总结数学模型的建构过程。
设计意图：用问题启发式进行教学，层层递进，启发学生推测出一个细菌的增长公式，N0个细菌增长公式，归纳公式成立的条件;引导学生体验数学模型的建构过程，总结数学模型研究方法的一般步骤。
4.3 数学模型的运用
4.3.1 模型一 种群增长的“J”型曲线
教师提问：科学家在人工实验的条件下，为细菌提供了一个理想条件，使它呈“J”型增长。那同学们猜一下，自然界中会存在这种资源空间无限多的的理想条件吗？根据学生的回答，检查预习效果。
教师结合教材，出示环颈稚和澳大利亚野兔在一定时间内数量增长的图文资料，两者均呈“J”型增长。由学生归纳野兔疯狂增长原因：气候适宜，食物充足，缺少天敌，生存空间大，教师指出这就是理想条件的具体含义。质疑：野兔和环颈稚“J”型增长的方程式也能用细菌N=N02n来表示吗？组织学生进行分组合作、交流讨论，学生根据细菌个案，建构模型一。
提示学生易错点：①对类似环颈稚、野兔数量的检验修正可通过对实际数量进行统计后绘制;②“J”型增长的公式表达N=N0入t和曲线图均要在理想条件下才能形成，可以通过实验室条件设置，也可以把种群迁入新环境的最初一段时间看成理想条件。
设计意图：引导学生从细菌个案分析一般种群，能运用类比的方法研究问题;学会从资料中归纳提取关键词，总结规律;学会数学模型的应用，鼓励学生小组讨论，学会合作。