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在数学教学中，应从现象出发，从观察出发，从实验出发，充分激发学生对数学的好奇心和求知欲，循循善诱，鼓励学生把数学的学习变成主动的、能动的和独立的不断生成、张扬、发展和提升的过程。鼓励学生在自主探索、合作交流中，由“学会”向“会学”进行科学的转化，对数学知识的反思、再创造，力求提高学生的“四基”，培養学生的数学思维。
一、感受数学创造的思维过程
世界著名教学教育权威弗赖登塔尔提出的“再创造”认为，数学是最容易创造的一个学科，学生可以按照自己的特点重新创造数学知识。教学中，老师立足于学生的知识基础和数学活动经验，注意创造性地使用教材，创设有利于学生进行创造性学习的教学活动，给学生思考的机会，给学生一个自主探索的过程；创设有利于学生拼发潜在创造力火花的课堂，通过学生的观察、思考、探究、设问、填空等方式，激活学生的思维，发展学生的聪明才智。
学习了一元二次方程的几种解法后，为了让学生探索发现一元二次方程根与系数的关系，在具备良好的数学建模前提下，对教学内容进行反思并加工、处理，培养学生的新思路、新想象和新发现，重新创造数学知识。
例如：对一元二次方程根与系数之间的关系研究
1.观察与猜想
创设解方程填空的问题情景，并让学生思考：从这些方程问题中发现了什么？如：
猜想是一种创造性的思维，是数学教学中不容忽视的重要内容。正如牛顿所言：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发明和发现”。因而老师及时诱导学生在交流、答问、发疑、阐述、议论中进行思考、概括和表达自己的猜想：任意的一元二次方程仍存在以上的关系。并让学生经历计算、观察、比较的过程，进而鼓励学生推测出一些规律来。如：
“一元二次方程根与系数之间的关系”这一知识点新教材虽然未作强调，但可以激励学生通过自主探索，通过学生与学生、学生与老师的交流与合作，通过其它途径如查找资料等对知识进行再创造，突破思维的禁锢，拓展学生的思维空间。
2.探究与发现
数学凝聚并积淀了一代代人创造和智慧的结晶，我们有理由引领学生探究与发现数学所凝聚的这一切，引领学生领略人类的智慧与文明。论证是探索活动的自然延续和必要发展，引导学生对猜想发现的结论进行说理和简单的论证，感受数学的严密性、逻辑性以及数学结论的确定性。
在老师的指导下，学生证明了自己的猜想，再次激起他们思维的火花和创造的欲望，最后让学生用自己的语言归纳出论证过的发现。
3.拓展与创新
为了让学生在一元二次方程有关的学习中有所突破，教学中注意引导他们从已有的知识中尽可能地扩展，学会从不同的方向、不同的角度、不同的层次思考问题、提出问题，并寻求问题解决的方法，体验数学活动的拓展与创新。
例如：借助一元二次方程根与系数之间的关系等有关知识，探索二次三项式 的因式分解。
这种分解二次三项式的一般方法是求根法。其步骤是先解出方程 的两个实数根，然后把 写成 。这种方法，也为以后学习和研究二次函数中，利用二次函数的图象沟通二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的联系，提高学生综合运用数学知识的能力打牢基础。在老师的启发诱导下，学生经历了探究性的数学研究活动，通过观察和实验，使知识、能力、方法等过程中创造得以自然建构与生成。还可以进行求根法因式分解的教学，通过观察与实验使学生得到训练，实践数学的深入探索与创新，实践数学的再创造。
二、领悟数学创造的思维规律
教材中，知识的呈现方式是逐个单独地展开的，学生在学习完每一个知识后，老师有意识地引导他们对逐个的单独的知识加以归纳整理，找出它们之间的联系和区别，让学生发现其中的规律，把单独学习的知识放在整体中认识，成为自己内化了的知识。创设让新知识的发现和原有的知识发生联系的氛围，在同化和顺应的相互作用下，发展和完善学生的数学认知结构。
学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形后，为了找出它们之间的联系，发现其中的规律，老师不是包办代替，而是把归纳的机会留给学生，鼓励学生认真观察，展开回顾和联想，大胆猜想，在探索交流的活动中，整理出合乎学生自己的认知结构的关系图。
利用此图式，直观地从边、或角、或对角线阐明了这四种四边形的特殊性，如矩形的特殊性是角，菱形的特殊性是边。只要把握住每一类图形的主要特征，就可以推出它的其余性质；认清各类图形的关系和区别，就可以认清它们性质的异同，从而明了可以利用每一类图形的特殊性质作为判断条件。
利用此图式，简捷地阐明了这四种四边形内涵上的关系。它按照认知过程，分别有序地展现出学生对这四种四边形的主要特征的认识和把握，如对矩形的认识是：首先，它是平行四边形；然后，它有一个角是直角（90°）；这是矩形的定义的含义。突出了它们之间的联系和区别。
方法（3）如下图：
此图式，简捷地阐明了这四种四边形外延上的关系。矩形、菱形、正方形的集合都包含在平行四边形集合里作为它的一部分，表示它们是特殊的平行四边形；其中矩形和菱形各成
一个集合，表示它们是两种不同的特殊的平行四边形，而且这两个集合有一部分是重叠的，这重叠部分又组成一个集合，就是正方形集合，表示正方形既是一种特殊的矩形，也是一种特殊的菱形。
因此，在知识的学习上，让学生在自主探索、合作交流中学会从系统、整体的角度去学习，置知识于系统、整体之中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入本质。
三、掌握探求数学知识创造的思维方法
加涅在其建立的信息加工学习理论认为，学习过程是学生把知识进行内在的认知加工的过程。教学中充分利用教材上已有的题材，恰当地运用教学手段，激发学生的学习兴趣和求知欲望，让他们经历和体验数学的探索、交流和反思，以利于学生理解并掌握相关的知识与方法、形成良好的数学思维的基础上发现教材以外教师未讲的知识。 学习用消元法和图象法解二元一次方程组后，学生普遍认为只要是一个二元一次方程组都可以求得其唯一解。为了帮助学生发现自己的认知错误，老师和学生一起可以进行以下的探究。
例1.二元一次方程组解的几何意义及其情况的探究
（1）设疑
让学生回顾二元一次方程组求解的步骤和依据：根据方程中未知数系数的特点，灵活运用代入法或加减消元法转化为一个一元一次方程，解这个一元一次方程求出其中一个未知数的值；然后运用等量代换的技能，把这个未知数的值代入另一个方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值；使学生在确信求解的步骤和依据正确的情况下激起学生的质疑和思考。
（2）解惑
学生用消元法解方程组（A）后，照样子去解方程组（B）和（C），但却解不下去。面对知识的困惑，当学生用充满期待的眼神等待老师那权威性的答案时，老师不要急于说出自己的看法，而是启发引导他们换个角度、换个方法重新思考，把方程问题转化为函数问题。诱导学生通过列表，描点，连线，作出函数图象。（如下）
数形结合是中学数学阶段重要的数学思想和方法，利用图象的直观性可以深入地考察数学对象的性质。因此，引导学生观察分析画出的函数图象可以直观地获得问题的结果。在平面直角坐标系中，直线2x+y=4和直线2x-3y=12是两条相交的直线（如图1），其交点（3，2）是方程组 的解；直线x+y=2和直线4x+4y=8是两条重合的直线（如图2），而直线2x-3y=12和直线2x-3y=3是两条没有交点的直线即平行线（如图3）。学生容易把方程组C的解的情况判断出来，而对方程组B却无法有一个肯定的结论。这时，老师启发引导学生在激烈的争论中继续进行以下的尝试：
①在直线x+y=2中找出任意的一点（x，y），把这个点的x、y的值代入到直线4x+4y=8的等式中是否成立？
②象这样的点有多少个？
于是学生对方程组B的解的情况困惑会迎刃而解。在这基础上，学生进一步体会到二元一次方程与一次函数图象之间的关系、二元一次方程组的解与函数图象交点之间的关系，体会到数形结合的作用。
（3）互动
在课堂上，老师发挥引导者和合作者的作用，诱导学生借助先前的实例开展探究活动，进行适时的指导和点拨，师生互动交流，倾情投入。学生在探究過程中发现的某些结论，如果可以让全体学生参与解决的，不要放弃机会；而对学生所发现的不同观点，注意引导学生进行分析、比较，去伪存真；对创新答案的及时鼓励，更激发起学生重在参与的积极性。这样，既能让学生张扬个性，明白要善于容纳异议，又能发挥学生的合作与评估能力，对学生创造能力的培养有积极的推动和促进作用。乘着学生的这股实验探索热情，引导学生把实验探索得到的感性认识上升为理性认识，最终明确了二元一次方程组的解的情况有唯一解、无数解和无解三种，
可见，在教学中，老师善于由此及彼，螺旋式地引导学生去探索，去引申，不仅让学生发现新知、认识新知，更重要的是让学生深刻地认识了探求数学知识的思维方法。
数学新课程无论从数学教学的理念，还是教材的内容、教学模式、教学方法等方面，均作了全方位的改革。让我们从每一项教学活动做起，真正把学生看成是“发展中的人”，让他们在老师的循循诱导下，透过自主探索和合作交流，放飞思维，学会学习，学会创造。
一、感受数学创造的思维过程
世界著名教学教育权威弗赖登塔尔提出的“再创造”认为，数学是最容易创造的一个学科，学生可以按照自己的特点重新创造数学知识。教学中，老师立足于学生的知识基础和数学活动经验，注意创造性地使用教材，创设有利于学生进行创造性学习的教学活动，给学生思考的机会，给学生一个自主探索的过程；创设有利于学生拼发潜在创造力火花的课堂，通过学生的观察、思考、探究、设问、填空等方式，激活学生的思维，发展学生的聪明才智。
学习了一元二次方程的几种解法后，为了让学生探索发现一元二次方程根与系数的关系，在具备良好的数学建模前提下，对教学内容进行反思并加工、处理，培养学生的新思路、新想象和新发现，重新创造数学知识。
例如：对一元二次方程根与系数之间的关系研究
1.观察与猜想
创设解方程填空的问题情景，并让学生思考：从这些方程问题中发现了什么？如：
猜想是一种创造性的思维，是数学教学中不容忽视的重要内容。正如牛顿所言：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发明和发现”。因而老师及时诱导学生在交流、答问、发疑、阐述、议论中进行思考、概括和表达自己的猜想：任意的一元二次方程仍存在以上的关系。并让学生经历计算、观察、比较的过程，进而鼓励学生推测出一些规律来。如：
“一元二次方程根与系数之间的关系”这一知识点新教材虽然未作强调，但可以激励学生通过自主探索，通过学生与学生、学生与老师的交流与合作，通过其它途径如查找资料等对知识进行再创造，突破思维的禁锢，拓展学生的思维空间。
2.探究与发现
数学凝聚并积淀了一代代人创造和智慧的结晶，我们有理由引领学生探究与发现数学所凝聚的这一切，引领学生领略人类的智慧与文明。论证是探索活动的自然延续和必要发展，引导学生对猜想发现的结论进行说理和简单的论证，感受数学的严密性、逻辑性以及数学结论的确定性。
在老师的指导下，学生证明了自己的猜想，再次激起他们思维的火花和创造的欲望，最后让学生用自己的语言归纳出论证过的发现。
3.拓展与创新
为了让学生在一元二次方程有关的学习中有所突破，教学中注意引导他们从已有的知识中尽可能地扩展，学会从不同的方向、不同的角度、不同的层次思考问题、提出问题，并寻求问题解决的方法，体验数学活动的拓展与创新。
例如：借助一元二次方程根与系数之间的关系等有关知识，探索二次三项式 的因式分解。
这种分解二次三项式的一般方法是求根法。其步骤是先解出方程 的两个实数根，然后把 写成 。这种方法，也为以后学习和研究二次函数中，利用二次函数的图象沟通二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的联系，提高学生综合运用数学知识的能力打牢基础。在老师的启发诱导下，学生经历了探究性的数学研究活动，通过观察和实验，使知识、能力、方法等过程中创造得以自然建构与生成。还可以进行求根法因式分解的教学，通过观察与实验使学生得到训练，实践数学的深入探索与创新，实践数学的再创造。
二、领悟数学创造的思维规律
教材中，知识的呈现方式是逐个单独地展开的，学生在学习完每一个知识后，老师有意识地引导他们对逐个的单独的知识加以归纳整理，找出它们之间的联系和区别，让学生发现其中的规律，把单独学习的知识放在整体中认识，成为自己内化了的知识。创设让新知识的发现和原有的知识发生联系的氛围，在同化和顺应的相互作用下，发展和完善学生的数学认知结构。
学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形后，为了找出它们之间的联系，发现其中的规律，老师不是包办代替，而是把归纳的机会留给学生，鼓励学生认真观察，展开回顾和联想，大胆猜想，在探索交流的活动中，整理出合乎学生自己的认知结构的关系图。
利用此图式，直观地从边、或角、或对角线阐明了这四种四边形的特殊性，如矩形的特殊性是角，菱形的特殊性是边。只要把握住每一类图形的主要特征，就可以推出它的其余性质；认清各类图形的关系和区别，就可以认清它们性质的异同，从而明了可以利用每一类图形的特殊性质作为判断条件。
利用此图式，简捷地阐明了这四种四边形内涵上的关系。它按照认知过程，分别有序地展现出学生对这四种四边形的主要特征的认识和把握，如对矩形的认识是：首先，它是平行四边形；然后，它有一个角是直角（90°）；这是矩形的定义的含义。突出了它们之间的联系和区别。
方法（3）如下图：
此图式，简捷地阐明了这四种四边形外延上的关系。矩形、菱形、正方形的集合都包含在平行四边形集合里作为它的一部分，表示它们是特殊的平行四边形；其中矩形和菱形各成
一个集合，表示它们是两种不同的特殊的平行四边形，而且这两个集合有一部分是重叠的，这重叠部分又组成一个集合，就是正方形集合，表示正方形既是一种特殊的矩形，也是一种特殊的菱形。
因此，在知识的学习上，让学生在自主探索、合作交流中学会从系统、整体的角度去学习，置知识于系统、整体之中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入本质。
三、掌握探求数学知识创造的思维方法
加涅在其建立的信息加工学习理论认为，学习过程是学生把知识进行内在的认知加工的过程。教学中充分利用教材上已有的题材，恰当地运用教学手段，激发学生的学习兴趣和求知欲望，让他们经历和体验数学的探索、交流和反思，以利于学生理解并掌握相关的知识与方法、形成良好的数学思维的基础上发现教材以外教师未讲的知识。 学习用消元法和图象法解二元一次方程组后，学生普遍认为只要是一个二元一次方程组都可以求得其唯一解。为了帮助学生发现自己的认知错误，老师和学生一起可以进行以下的探究。
例1.二元一次方程组解的几何意义及其情况的探究
（1）设疑
让学生回顾二元一次方程组求解的步骤和依据：根据方程中未知数系数的特点，灵活运用代入法或加减消元法转化为一个一元一次方程，解这个一元一次方程求出其中一个未知数的值；然后运用等量代换的技能，把这个未知数的值代入另一个方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值；使学生在确信求解的步骤和依据正确的情况下激起学生的质疑和思考。
（2）解惑
学生用消元法解方程组（A）后，照样子去解方程组（B）和（C），但却解不下去。面对知识的困惑，当学生用充满期待的眼神等待老师那权威性的答案时，老师不要急于说出自己的看法，而是启发引导他们换个角度、换个方法重新思考，把方程问题转化为函数问题。诱导学生通过列表，描点，连线，作出函数图象。（如下）
数形结合是中学数学阶段重要的数学思想和方法，利用图象的直观性可以深入地考察数学对象的性质。因此，引导学生观察分析画出的函数图象可以直观地获得问题的结果。在平面直角坐标系中，直线2x+y=4和直线2x-3y=12是两条相交的直线（如图1），其交点（3，2）是方程组 的解；直线x+y=2和直线4x+4y=8是两条重合的直线（如图2），而直线2x-3y=12和直线2x-3y=3是两条没有交点的直线即平行线（如图3）。学生容易把方程组C的解的情况判断出来，而对方程组B却无法有一个肯定的结论。这时，老师启发引导学生在激烈的争论中继续进行以下的尝试：
①在直线x+y=2中找出任意的一点（x，y），把这个点的x、y的值代入到直线4x+4y=8的等式中是否成立？
②象这样的点有多少个？
于是学生对方程组B的解的情况困惑会迎刃而解。在这基础上，学生进一步体会到二元一次方程与一次函数图象之间的关系、二元一次方程组的解与函数图象交点之间的关系，体会到数形结合的作用。
（3）互动
在课堂上，老师发挥引导者和合作者的作用，诱导学生借助先前的实例开展探究活动，进行适时的指导和点拨，师生互动交流，倾情投入。学生在探究過程中发现的某些结论，如果可以让全体学生参与解决的，不要放弃机会；而对学生所发现的不同观点，注意引导学生进行分析、比较，去伪存真；对创新答案的及时鼓励，更激发起学生重在参与的积极性。这样，既能让学生张扬个性，明白要善于容纳异议，又能发挥学生的合作与评估能力，对学生创造能力的培养有积极的推动和促进作用。乘着学生的这股实验探索热情，引导学生把实验探索得到的感性认识上升为理性认识，最终明确了二元一次方程组的解的情况有唯一解、无数解和无解三种，
可见，在教学中，老师善于由此及彼，螺旋式地引导学生去探索，去引申，不仅让学生发现新知、认识新知，更重要的是让学生深刻地认识了探求数学知识的思维方法。
数学新课程无论从数学教学的理念，还是教材的内容、教学模式、教学方法等方面，均作了全方位的改革。让我们从每一项教学活动做起，真正把学生看成是“发展中的人”，让他们在老师的循循诱导下，透过自主探索和合作交流，放飞思维，学会学习，学会创造。