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摘要本文将介绍在有限反馈MIMO系统中,基于Grassmanian beamforming准则构造码书的基本原理和kerdock码书构造的基本原理。文中使用实际运用中比较常用的有限反馈MIMO系统——2根发射天线和2根接收天线的MIMO系统,此系统分级增益相对较高。然后利用这两种码本不同构造原理产生的码书,运用C++语言和MATLAB软件在同一MIMO系统中研究预编码码本的性能。最后给出仿真图。
中图分类号:TP31文献标识码:A
0 引言
众所周知,现在MIMO技术可以提高高速数据传输和频谱利用率,而其他无线通信技术却没有如此巨大的优势,而且在实际运用中,只是需要适当的增加天线数目。在3GLTE标准里,MIMO技术将会得到更大的研究和发展。在3GPP中,预编码也成为了其备选的发射方案之一。预编码技术就是在发射端利用信道状态信息(CSI)消除干扰提高系统的信道容量,现在实际运用中是基于码本的的预编码技术。该技术是当发射端和接收端同时已知固定码本,然后根据估计出的信道矩阵和某一准则选择出其中一个预编码矩阵,并将索引值反馈给发射端,发射端根据这个索引号在下一个时刻发射这个预编码矩阵。
本文讨论的是MIMO系统中的单用户预编码。注释①②提出了码本的构造方法,本文将针对两种码本在给定的模型里讨论它们的性能。第1节给出系统模型;第2,3节分别阐述Grassmanian beamforming准则和kerdock码书构造的基本原理;第4节给出仿真结果和讨论。最后一节总结。
1 系统模型概述
本文中MIMO系统包括发射波束成型和接收组合发射端Nt个天线,接收端Nr个天线。信道矩阵H为NrNt。它符合瑞利分布,并且服从复高斯分布CN(0,1)。所以得到离散时间的输入输出关系式如下:
x = zHHFs = zHn(1)
信号s是编码后的发射信号,矩阵F是预编码矩阵,Z为接收端的接受组合向量。假设F是波束成型向量,我们定义||z||2 = 1接收组合向量Z在本文中使用MRC接收,Z = HW/||HW||2。噪声n服从复高斯分布CN(0,N)。
2 Grassmanian line packing原理①
Grassmanian line packing 是一维子空间G(m,1)中关于最优化线包的问题。矩阵W = [w1w2…wN],wi的列空间就是第i条直线。我们定义G(m,1)中的距离表示为向量w1,w2生成的直线之间的距离,用两条直线间的夹角的正弦值表示:
d (w1,w2) = sin(1,2) = (3)
那么两条直线的最小距离就是在G(m,1)中任意两条直线之间的最小夹角的正弦值
(4)
GLP算法的核心是设计一个量化的码本。其Grassmannian波束成型的设计准则:设计一组码本向量:使得对应的码本矩阵W满足使最大化。以上准则利用数学中已经找到的N条直线的line packing,就可以得到所需要的量化码本。
3 Kerdock码书构造原理②
Kerdock码在编码理论中是一种比其他线性码包含更多码字的二进制非线性码。一个简单的Kerdock码本是在CDMA签名系列和MUB联系是提出的。一个MUB是两个或者多个正交基(ONB)的集合。比如S = [s1…sNt]andU = [u1…uNt]是NtNt ONBS(i.e.S*S=I)。并且满足|(sn,um)| = ,n,m=1,…Nt。Kerdock码本构建方法一般有Sylvester-Hadamard Construction及 Power Construction。下面简单介绍这两种方法。
3.1 Sylvester-Hadamard Construction
这个构造方法首先产生NtNt对角矩阵Dn,n = 0,1,…,Nt-1用来产生 Sylvester-Hadamard矩阵。每个转换矩阵Sn都是正交基。我们用表示Sylvester-Hadamard矩阵。NtNtSylvester-Hadamard矩阵是用Kronecker来计算的。
(8)其中Nt = 2B。
构建这个码书步骤为:
(1)构建对角生成矩阵Dn , n = 0,1,…Nt
(2)计算基
(3)S = [S0…SNt-1]
3.2 Power Construction
我们认为D是可逆酉矩陣NtNt,并且满足DNt+1 = I。D的行列式值等于1。如果D,D2,…DNt+1 = I产生Nt+1 对相互无偏置基(MUBS),并且所有D的子集都满足四进制字母表。那么将产生Sn =DN=n+1 n = 0…Nt(下转第79页)(上接第77页)
上面两种方法中产生的矩阵S,在波束成型中,我们构造码字可以用S表示为
F = {f1 = [S0]1,f2 = [S0]2,,,,fN = [SNt]Nt}
4 仿真结果
本文的仿真使用的信道模型是多径瑞利信道,Nt = Nr = 2,波束成型向量F是个2*1向量,采用BPSK调制。接收端采用最大比组合接收,并且在判决的时候,采用最大似然准则。程序在VC6.0环境里运行,最后结果用MATLAB软件仿真。
图1为反馈比特数分别问2bit和3bit,kerdock码本和Grassmannian理论形成的码本的仿真图。当反馈比特数为2时,码本数N= 4,两个码本通过上述系统,在相同的误码率下,利用Grassmannian理论形成的码本比Kerdock构造的码本性能相比好了0.3db,反馈比特数为3bit时,码本数N=8,性能相差了大概1db。由此看出,在2发2收的系统中,反馈比特数为2bit和3bit时,Kerdock码本和Grassmannian码本相比,误码性能没有后者好。图中可以看出,在随着反馈比特数的增加,两个码本的性能越来越好。
5 结束语
本文只是在对文献1,2提出的码本理论在不同的MIMO系统中进行了仿真,在2发2收的系统中,Kerdock码本的性能比Grassmannian理论产生的码本的性能要差上少许。所以在实际运用中,对于该系统,如果利用预编码码本的话,可以考虑Grassmannian理论产生的码本。我们对于进一步研究的问题还有很多,比如在多用户MIMO系统中,码本的性能如何。当考虑反馈信道的延迟和噪声时,反馈比特数的增加与码本性能如何协调才能获得最大。
注释
①David J.Love,R.W.Heath,Jr, and T.Stronmer, ”Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems”.
②Takao Inoue and Robert W.Heath,Jr “Kerdock Codes for Limited Feedback Precoded MIMO Systems”.
中图分类号:TP31文献标识码:A
0 引言
众所周知,现在MIMO技术可以提高高速数据传输和频谱利用率,而其他无线通信技术却没有如此巨大的优势,而且在实际运用中,只是需要适当的增加天线数目。在3GLTE标准里,MIMO技术将会得到更大的研究和发展。在3GPP中,预编码也成为了其备选的发射方案之一。预编码技术就是在发射端利用信道状态信息(CSI)消除干扰提高系统的信道容量,现在实际运用中是基于码本的的预编码技术。该技术是当发射端和接收端同时已知固定码本,然后根据估计出的信道矩阵和某一准则选择出其中一个预编码矩阵,并将索引值反馈给发射端,发射端根据这个索引号在下一个时刻发射这个预编码矩阵。
本文讨论的是MIMO系统中的单用户预编码。注释①②提出了码本的构造方法,本文将针对两种码本在给定的模型里讨论它们的性能。第1节给出系统模型;第2,3节分别阐述Grassmanian beamforming准则和kerdock码书构造的基本原理;第4节给出仿真结果和讨论。最后一节总结。
1 系统模型概述
本文中MIMO系统包括发射波束成型和接收组合发射端Nt个天线,接收端Nr个天线。信道矩阵H为NrNt。它符合瑞利分布,并且服从复高斯分布CN(0,1)。所以得到离散时间的输入输出关系式如下:
x = zHHFs = zHn(1)
信号s是编码后的发射信号,矩阵F是预编码矩阵,Z为接收端的接受组合向量。假设F是波束成型向量,我们定义||z||2 = 1接收组合向量Z在本文中使用MRC接收,Z = HW/||HW||2。噪声n服从复高斯分布CN(0,N)。
2 Grassmanian line packing原理①
Grassmanian line packing 是一维子空间G(m,1)中关于最优化线包的问题。矩阵W = [w1w2…wN],wi的列空间就是第i条直线。我们定义G(m,1)中的距离表示为向量w1,w2生成的直线之间的距离,用两条直线间的夹角的正弦值表示:
d (w1,w2) = sin(1,2) = (3)
那么两条直线的最小距离就是在G(m,1)中任意两条直线之间的最小夹角的正弦值
(4)
GLP算法的核心是设计一个量化的码本。其Grassmannian波束成型的设计准则:设计一组码本向量:使得对应的码本矩阵W满足使最大化。以上准则利用数学中已经找到的N条直线的line packing,就可以得到所需要的量化码本。
3 Kerdock码书构造原理②
Kerdock码在编码理论中是一种比其他线性码包含更多码字的二进制非线性码。一个简单的Kerdock码本是在CDMA签名系列和MUB联系是提出的。一个MUB是两个或者多个正交基(ONB)的集合。比如S = [s1…sNt]andU = [u1…uNt]是NtNt ONBS(i.e.S*S=I)。并且满足|(sn,um)| = ,n,m=1,…Nt。Kerdock码本构建方法一般有Sylvester-Hadamard Construction及 Power Construction。下面简单介绍这两种方法。
3.1 Sylvester-Hadamard Construction
这个构造方法首先产生NtNt对角矩阵Dn,n = 0,1,…,Nt-1用来产生 Sylvester-Hadamard矩阵。每个转换矩阵Sn都是正交基。我们用表示Sylvester-Hadamard矩阵。NtNtSylvester-Hadamard矩阵是用Kronecker来计算的。
(8)其中Nt = 2B。
构建这个码书步骤为:
(1)构建对角生成矩阵Dn , n = 0,1,…Nt
(2)计算基
(3)S = [S0…SNt-1]
3.2 Power Construction
我们认为D是可逆酉矩陣NtNt,并且满足DNt+1 = I。D的行列式值等于1。如果D,D2,…DNt+1 = I产生Nt+1 对相互无偏置基(MUBS),并且所有D的子集都满足四进制字母表。那么将产生Sn =DN=n+1 n = 0…Nt(下转第79页)(上接第77页)
上面两种方法中产生的矩阵S,在波束成型中,我们构造码字可以用S表示为
F = {f1 = [S0]1,f2 = [S0]2,,,,fN = [SNt]Nt}
4 仿真结果
本文的仿真使用的信道模型是多径瑞利信道,Nt = Nr = 2,波束成型向量F是个2*1向量,采用BPSK调制。接收端采用最大比组合接收,并且在判决的时候,采用最大似然准则。程序在VC6.0环境里运行,最后结果用MATLAB软件仿真。
图1为反馈比特数分别问2bit和3bit,kerdock码本和Grassmannian理论形成的码本的仿真图。当反馈比特数为2时,码本数N= 4,两个码本通过上述系统,在相同的误码率下,利用Grassmannian理论形成的码本比Kerdock构造的码本性能相比好了0.3db,反馈比特数为3bit时,码本数N=8,性能相差了大概1db。由此看出,在2发2收的系统中,反馈比特数为2bit和3bit时,Kerdock码本和Grassmannian码本相比,误码性能没有后者好。图中可以看出,在随着反馈比特数的增加,两个码本的性能越来越好。
5 结束语
本文只是在对文献1,2提出的码本理论在不同的MIMO系统中进行了仿真,在2发2收的系统中,Kerdock码本的性能比Grassmannian理论产生的码本的性能要差上少许。所以在实际运用中,对于该系统,如果利用预编码码本的话,可以考虑Grassmannian理论产生的码本。我们对于进一步研究的问题还有很多,比如在多用户MIMO系统中,码本的性能如何。当考虑反馈信道的延迟和噪声时,反馈比特数的增加与码本性能如何协调才能获得最大。
注释
①David J.Love,R.W.Heath,Jr, and T.Stronmer, ”Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems”.
②Takao Inoue and Robert W.Heath,Jr “Kerdock Codes for Limited Feedback Precoded MIMO Systems”.