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摘要：类似三角形两边及夹角已知时的面积公式，已知四边形的三边及其所夹的两角时，可求四边形的面积。并推广到五边形中去。
关键词：面积；正弦定理；四边形；五边形
中图分类号：G633.63 文献标识码：E 文章编号：1006-5962（2013）01-0190-01
已知三角形的两边及其所夹角时，可求三角形的面积。那么，对于四边形，有无类似结论呢？下例从把四边形填补成为三角形的角度，进行求解。
例1：四边形中，，。求四边形的面积。
解：延长A1A2、A3A4交于点P，即：
三角形PA1A3中，由正弦定理得：。
即，（1）
则。
由"补法"得四边形的面积为
（2）
式（1）代入式（2）并注意到，得四边形的面积
（3）
故已知三边及其所夹的两角时，可求形成的四边形的面积。但这个结论能否再推广呢？即对于五边形，若已知四条线段及其所夹的三个角时，能否求成所形成的五边形的面积。 问题如下：
例2：已知五边形中，，。求五边形的面积。
解：延长A1A2、A3A4交于点Q，记。
三角形QA1A2中，，故。由正弦定理得：。令
，（4）
则。四边形中，，，，。利用前面结论式（3）可得四边形的面积，又A1QA4A5的面积A1A2A3A4A5。故凸五边形面积为
（5）
式（4）代入式（5）并注意到化简得
（6）
图3中，凸五边形A1A2A3A4A5由边长为l的正方形A1QA4A5去掉1/8后得到，其中A2、A3分别为A1Q、QA4的中点。易知，，。代入公式（6）得五边形面积为。这与用正方形A1QA4A5与三角形QA2A3的面积差所得的结果一致。
实际上，此公式也适用于凹多边形。若图3中的A2位置改动为A1A4的中点，则凹五边形A1A2A3A4A5由边长为l的正方形A1QA4A5去掉3/8后得到（见图4）。而根据公式（6）所得此凹五边形面积结果为5l2/8，从而验证了式（6）。
关键词：面积；正弦定理；四边形；五边形
中图分类号：G633.63 文献标识码：E 文章编号：1006-5962（2013）01-0190-01
已知三角形的两边及其所夹角时，可求三角形的面积。那么，对于四边形，有无类似结论呢？下例从把四边形填补成为三角形的角度，进行求解。
例1：四边形中，，。求四边形的面积。
解：延长A1A2、A3A4交于点P，即：
三角形PA1A3中，由正弦定理得：。
即，（1）
则。
由"补法"得四边形的面积为
（2）
式（1）代入式（2）并注意到，得四边形的面积
（3）
故已知三边及其所夹的两角时，可求形成的四边形的面积。但这个结论能否再推广呢？即对于五边形，若已知四条线段及其所夹的三个角时，能否求成所形成的五边形的面积。 问题如下：
例2：已知五边形中，，。求五边形的面积。
解：延长A1A2、A3A4交于点Q，记。
三角形QA1A2中，，故。由正弦定理得：。令
，（4）
则。四边形中，，，，。利用前面结论式（3）可得四边形的面积，又A1QA4A5的面积A1A2A3A4A5。故凸五边形面积为
（5）
式（4）代入式（5）并注意到化简得
（6）
图3中，凸五边形A1A2A3A4A5由边长为l的正方形A1QA4A5去掉1/8后得到，其中A2、A3分别为A1Q、QA4的中点。易知，，。代入公式（6）得五边形面积为。这与用正方形A1QA4A5与三角形QA2A3的面积差所得的结果一致。
实际上，此公式也适用于凹多边形。若图3中的A2位置改动为A1A4的中点，则凹五边形A1A2A3A4A5由边长为l的正方形A1QA4A5去掉3/8后得到（见图4）。而根据公式（6）所得此凹五边形面积结果为5l2/8，从而验证了式（6）。