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2010年高考解析几何的解答题如何考查?提及这一话题,相信同学们既高度关注又有些茫然,或许回顾近两年的江苏高考题会让我们明确方向:
一、高考命题趋势分析
题一:(2008江苏题18)设平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论。
题二:(2009江苏题18)在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
两年高考中解析几何题的位置相对固定(均为18题,属于有一定难度的中档题),基本上也只在直线和圆上做文章:其中题一从二次函数入手考查二次函数图象与性质的同时重点涉及圆方程的求法(含有参数b),最终落脚于考查圆系中的不动点问题.题二的第1小问主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,相对比较容易;第二小问则难度较大,其一是题涉背景复杂(有两条直线两个圆),其二是需抓住几何特征转化后才能正确列式(将弦长相等转化成两圆心到相应直线距离相等),其三则是含字母运算计算能力要求高(P点待定需要设出坐标).可见题二相比较题一而言,不但对圆的几何特征的考查有所加强,而且对运算求解、综合分析能力要求明显提升,相信这种变化趋势必然会引起同学们在备考中格外关注的.
2010年江苏高考考试说明解几的两个C级没有发生变化(仍然是直线方程和圆方程),估计今年仍然主要会在直线和圆上做文章,但难度会有所上升,而且会在圆的几何性质的考查上提高要求;在题目背景上也可能会出新,如增加向量知识或椭圆、抛物线的考查,也可能与其它知识(如函数最值、参数范围)结合.
二、典型例题解析
例1 已知圆C经过原点O,其圆心为函数y=2x图象上一点,设直线y=-2x+4与⊙C交于点M, N,若OM=ON,求圆C的方程.
图1
【分析】求圆方程是我们的基本功,一般采用的是待定系数法(直接设出圆方程,然后根据条件逐一列式),本题的难点是OM=ON如何转化?几何特征的分析便显得举足轻重了.
【解答】取弦MN的中点D∵OM = ON∴OD⊥MN,又CD⊥MN
故而OC⊥MN∴设直线OC方程为y=12x
y=12xy=2x C(2,1),又圆C经过原点O∴⊙C方程为(x-2)2+(y-1)2=5
【启示】一、设计求圆方程的问题时,我们按“三点变换法”,可得到不同难度层次的题型:
(1)直接给出3个基本条件a、b、r或D、E、F,就是容易题;(2)替换其中一,二个基本条件,得中档题;(3)三个基本条件全部替换,或有的条件替换较“远”,则得到高难题.如问题:“设圆⊙P满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x -2y =0的距离最小的圆的方程.”便属于第三层次的问题,你能将这3个条件分别转化为圆方程的三个参数条件式吗?
二、加强对圆的几何性质的考查是解析几何的主旋律.同学们对于常见的化归方式要“耳熟能详”,如直线与圆的问题一般转化为圆心到直线的距离,圆与圆的问题则考虑两圆心的距离与半径之和或差的比较,如“圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l的距离是22”可转化为“圆心到直线l的距离小于等于2”;又如图2,PA、PB为⊙C的两条切线,若求切线长PA则转化为求PC长,求数量积CA•CB则也在图示构造中求PC;又若P为直线l上一点(如图3),求PA长的最小值则沿着“PA→PC→C到直线l的距离”的化归思路设计算法;如果考虑求直线AB方程,则构造以PC为直径的圆(因为PA⊥AC),从而将直线AB视为⊙D(D为PC中点)与⊙C的相交弦,在此背景下解决问题.
图2 图3图4
例2 已知圆M:x2+(y-2)2=1,设点B,C是直线l:x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t+4(t∈R),点P在线段BC上,过P点作圆M的切线PA,切点为A.经过A,P,M三点的圆的圆心是D,求线段DO长的最小值L(t).
【分析】本题的求解关键在于对D点的准确定位,切线性质告诉我们PA⊥MA,这样我们便能得出D为MP中点的结论(经过A,P,M三点的圆以MP为直径);其次因为P点坐标范围有限制(在线段BC上),这样D点坐标也有了限制,考查DO长的最小值当然需要分类讨论.
图5
【解答】P(2a,a)(t≤2a≤t+4)
∵PA与圆M相切于点A,∴PA⊥MA
∴经过A,P,M三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
∵M(0,2)∴D点的坐标是(a,a2+1)
设DO2=f(a)∴f(a)=a2+(a2+1)2=54a2+a+1=54(a+25)2+45
①当t2>-25,即t>-45时,
f(a)min=f(t2)=516t2+t2+1;
②当t2≤-25≤t2+2,即-245≤t≤-45时,
f(a)min=f(-25)=45;
③当t2+2<-25,即t<-245时
f(a)min=f(t2+2)=54(t2+2)2+(t2+2)+1=
516t2+3t+8
则L(t)=145t2+8t+16,t>-45255,-245≤t≤-45145t2+48t+128,t<-245 .
【启示】本题通过匠心独具的构造(线段BC为直线l上定长可动线段,P为线段BC上一动点),从而将解析几何问题转化为二次函数问题(题中f(a)即为动区间t2,t2+2上的二次函数,故而需要讨论),这就启示我们高考命题讲究考查“知识的交汇点”,一方面我们需要对题目的考查方向有所预见,因为如果能让最终结果在解题前就“观念地存在着”,这显然对解题的进程把握是大有裨益的,当然在这点上也体现着能力的差异;同时也要求我们熟练掌握相关知识点,如本题中对圆的切线性质的认识也是解题成败的关键,又
例3 已知椭圆x2m2+m+y2m=1的右焦点为F,右准线为l,且直线y=x与l相交于A点.
(1)若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程;
(2)当m变化时, 求证:⊙C经过除原点O外的另一个定点B;
(3)若AF•AB<5时,求椭圆离心率e的范围.
图6
【分析】本题中⊙C的方程中含有参数m,m不同圆方程不一样,但⊙C经过定点B,此为不动点问题.
【解答】(1)∵a2=m2+m,b2=m,c2=m2
即c=m∴F(m,0),准线x=1+m,
∴A(1+m,1+m)
一、高考命题趋势分析
题一:(2008江苏题18)设平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论。
题二:(2009江苏题18)在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
两年高考中解析几何题的位置相对固定(均为18题,属于有一定难度的中档题),基本上也只在直线和圆上做文章:其中题一从二次函数入手考查二次函数图象与性质的同时重点涉及圆方程的求法(含有参数b),最终落脚于考查圆系中的不动点问题.题二的第1小问主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,相对比较容易;第二小问则难度较大,其一是题涉背景复杂(有两条直线两个圆),其二是需抓住几何特征转化后才能正确列式(将弦长相等转化成两圆心到相应直线距离相等),其三则是含字母运算计算能力要求高(P点待定需要设出坐标).可见题二相比较题一而言,不但对圆的几何特征的考查有所加强,而且对运算求解、综合分析能力要求明显提升,相信这种变化趋势必然会引起同学们在备考中格外关注的.
2010年江苏高考考试说明解几的两个C级没有发生变化(仍然是直线方程和圆方程),估计今年仍然主要会在直线和圆上做文章,但难度会有所上升,而且会在圆的几何性质的考查上提高要求;在题目背景上也可能会出新,如增加向量知识或椭圆、抛物线的考查,也可能与其它知识(如函数最值、参数范围)结合.
二、典型例题解析
例1 已知圆C经过原点O,其圆心为函数y=2x图象上一点,设直线y=-2x+4与⊙C交于点M, N,若OM=ON,求圆C的方程.
图1
【分析】求圆方程是我们的基本功,一般采用的是待定系数法(直接设出圆方程,然后根据条件逐一列式),本题的难点是OM=ON如何转化?几何特征的分析便显得举足轻重了.
【解答】取弦MN的中点D∵OM = ON∴OD⊥MN,又CD⊥MN
故而OC⊥MN∴设直线OC方程为y=12x
y=12xy=2x C(2,1),又圆C经过原点O∴⊙C方程为(x-2)2+(y-1)2=5
【启示】一、设计求圆方程的问题时,我们按“三点变换法”,可得到不同难度层次的题型:
(1)直接给出3个基本条件a、b、r或D、E、F,就是容易题;(2)替换其中一,二个基本条件,得中档题;(3)三个基本条件全部替换,或有的条件替换较“远”,则得到高难题.如问题:“设圆⊙P满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x -2y =0的距离最小的圆的方程.”便属于第三层次的问题,你能将这3个条件分别转化为圆方程的三个参数条件式吗?
二、加强对圆的几何性质的考查是解析几何的主旋律.同学们对于常见的化归方式要“耳熟能详”,如直线与圆的问题一般转化为圆心到直线的距离,圆与圆的问题则考虑两圆心的距离与半径之和或差的比较,如“圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l的距离是22”可转化为“圆心到直线l的距离小于等于2”;又如图2,PA、PB为⊙C的两条切线,若求切线长PA则转化为求PC长,求数量积CA•CB则也在图示构造中求PC;又若P为直线l上一点(如图3),求PA长的最小值则沿着“PA→PC→C到直线l的距离”的化归思路设计算法;如果考虑求直线AB方程,则构造以PC为直径的圆(因为PA⊥AC),从而将直线AB视为⊙D(D为PC中点)与⊙C的相交弦,在此背景下解决问题.
图2 图3图4
例2 已知圆M:x2+(y-2)2=1,设点B,C是直线l:x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t+4(t∈R),点P在线段BC上,过P点作圆M的切线PA,切点为A.经过A,P,M三点的圆的圆心是D,求线段DO长的最小值L(t).
【分析】本题的求解关键在于对D点的准确定位,切线性质告诉我们PA⊥MA,这样我们便能得出D为MP中点的结论(经过A,P,M三点的圆以MP为直径);其次因为P点坐标范围有限制(在线段BC上),这样D点坐标也有了限制,考查DO长的最小值当然需要分类讨论.
图5
【解答】P(2a,a)(t≤2a≤t+4)
∵PA与圆M相切于点A,∴PA⊥MA
∴经过A,P,M三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
∵M(0,2)∴D点的坐标是(a,a2+1)
设DO2=f(a)∴f(a)=a2+(a2+1)2=54a2+a+1=54(a+25)2+45
①当t2>-25,即t>-45时,
f(a)min=f(t2)=516t2+t2+1;
②当t2≤-25≤t2+2,即-245≤t≤-45时,
f(a)min=f(-25)=45;
③当t2+2<-25,即t<-245时
f(a)min=f(t2+2)=54(t2+2)2+(t2+2)+1=
516t2+3t+8
则L(t)=145t2+8t+16,t>-45255,-245≤t≤-45145t2+48t+128,t<-245 .
【启示】本题通过匠心独具的构造(线段BC为直线l上定长可动线段,P为线段BC上一动点),从而将解析几何问题转化为二次函数问题(题中f(a)即为动区间t2,t2+2上的二次函数,故而需要讨论),这就启示我们高考命题讲究考查“知识的交汇点”,一方面我们需要对题目的考查方向有所预见,因为如果能让最终结果在解题前就“观念地存在着”,这显然对解题的进程把握是大有裨益的,当然在这点上也体现着能力的差异;同时也要求我们熟练掌握相关知识点,如本题中对圆的切线性质的认识也是解题成败的关键,又
例3 已知椭圆x2m2+m+y2m=1的右焦点为F,右准线为l,且直线y=x与l相交于A点.
(1)若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程;
(2)当m变化时, 求证:⊙C经过除原点O外的另一个定点B;
(3)若AF•AB<5时,求椭圆离心率e的范围.
图6
【分析】本题中⊙C的方程中含有参数m,m不同圆方程不一样,但⊙C经过定点B,此为不动点问题.
【解答】(1)∵a2=m2+m,b2=m,c2=m2
即c=m∴F(m,0),准线x=1+m,
∴A(1+m,1+m)