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【摘要】数学课堂教学就某一知识而教学某一知识的现象比比皆是，教师没有统领整体的意识与视角，关注的焦点仅仅放置数学知识本身，而无视学生在这一领域中应该获取的数学能力和思想。如何才能保证学生始终如一地保持旺盛积极的思维洞察力，实现数学知识的自然生长，笔者从教学起点和教学过程的论证得出追溯式教学模式，从而给予学生数学知识不断增长的无限动力。
【关键词】追溯式教学衡定起点甄别过程
真正有效的数学课堂，不仅在于要让学生形成一套自主发现问题、探究问题、解决问题的方式，更重要的是让学生在数学学习过程中体验数学本源所在，强化对数学课程意识的理解。这种学习过程，学习者能够主动勇敢的接受学习任务，在批判的价值考量中接受新的思想，并将其融入进自身的认知体统中。
审视学生获取知识的方式不难发现这样的过程是一种纯粹的自然生长的质态。当学生抽身出这一学习状态之下，依然能够有效保持这种深度学习的态势，这种源自数学本源性的教学对于数学知识自然生长拥有了不可估量的推进动力。
一、教学起点的衡定，从探寻数学基础本源开始
万木有本，万水有源头，任何一种事物的产生与发展都不是一蹴而就的，都会按照其自身的特质与规律进行渐进与嬗变。因而在数学教学中，不仅要关注数学知识的本体所在，更要在教学的起点上摸准教学的切入口。
1.基于学习主体：达准儿童数学学习起点之脉
任何一种的都是学习主体对于自身经验的重新构建与丰盈的过程，数学亦然。教师在进行数学教学设计前，一定要认真审查学生现有的数学知识水平，要认真揣摩学生可能达到的“预设水平”，并在这两个支点中探寻出一条可行通道，在最易联系之处支撑起教师的教学设计，便于教师实施教学。
例如在教学《年月日》一课时，教师在学生对年月日已经有了基本的了解后，没有像传统教学一般拿出一年的日历表，让学生在观察中发现，得出自己的探究所得。而是创造性地让学生自制第二年的日历表。如果出示现有的日历观察，学生终究囤限在自身已经掌握的空间中摸爬滚打，无甚价值；而让学生在实质性的活动中通过自身的参与实践去体悟感知出更多的内涵，甚至还可以将探究伸向更为崭新的领域。
事实上，学生在数学领域的认知起点不是单向唯一的视角，而是聚合着学生的认知结构、经验构成、思维密码等多维度内容与方式。正视学生这一学习的起点，就是对学生生命的自我尊重，教学才能更加具备针对性，实现知识的自然生长，才能使教学成为启其未知、解其所惑、促其心智的活动过程。
2.基于教学主导：扣准教师数学教学起点之点
数学教学设计的起点是指在洞察学生认知起点的基础上如何运用相关方式与策略设计教学、实施教学。教学设计的起点是一堂数学课能够成功的基础与关键，决定了这节课是否能够以学生生命经验作为教学的基础，决定了课堂的教学策略能否契合學生最近的“认知发展区”。数学本身就蕴藏于生活之中，离孩子的实际生活并不遥远，他们即便不在数学课堂中，也照样可以通过种种方式接触数学、感知数学，而教师只是由于生活阅历比学生更为丰富获取的数学知识相对高于学生。教师对学生需要执行的并不是直接的告知，而是要学会洞察学生的内心，为学生创设一条契合学生认知规律而又不缺乏感性与温情的路径，让学生感知数学的存在与力量。
例如在教学《认识面积单位》一课时，教师首先引导学生回顾已经学习的知识，猜测：黑板大概2平方米，魔方的一片大概2平方厘米。接着教师引发学生的认知冲突：黑板和模仿的一片一样大，都是两个方格子。学生在比较中骤然发现，教师口中所谓的一样大，其实是没有以相同的基本单位为准，从而有效得出面积比较必须要建立在同一种单位下。
实践证明，学生在接受新知识过程中，如果能够建立较为强烈的认知冲突能够有效激活学生内在的心理需求，使得学生意识深处的自主性迸发出来。在与数学知识基础的方式中，学生仅靠动脑只能在思维上理解知识，一旦以双手参与其中，数学的本源意义学生便能深度参透。如果学生能够释放心灵的力量，知识将成为他们主宰自我，主宰世界的工具。
二、教学过程的甄别，从追溯数学核心要素入手
探求本源式的教学过程从结构上来看，是综合教师、学生、教材以及教学方式、策略相一体的多维度重复结构；从作用的角度审视，是教师引导学生以自身的力量掌握数学知识、形成数学能力、提升数学素养的过程相互统一的过程。
1.课时单位：主问题统领，教学内容整体化
有效的课堂教学最鲜明特征在于没有机械重复的追问，没有简单的师生对话，而是运用与教学内容息息相关的一个主问题将整个课堂串联起来，将所要教学的知识融贯成为一体。高质量的主问题不仅能够辐射教学内容的全部，同时能够有效激发学生的思维活跃力，提升学生的思维品质，并将作用力着力于学生的磁场之中实现价值的自我增长。
例如在教学《圆周长的计算》一课时，教师围绕着这一教学内容设置这样两个主问题——
主问题一：圆的周长与圆的什么密切相关？
教师发放给学生多个大小不一的圆形，并要求学生用毛线丈量圆形的周长。学生通过大量的动手操作，对比研究，最终得出结论圆形的周长与圆的直径息息相关。
主问题二：圆的周长与圆的直径之间究竟有着怎样的关系？圆周率究竟从何而来？
此处的教学，教师可以适当渗透有关古人特别是祖冲之对圆周率研究的方法以及相关故事等，引导学生大胆地进行估测，圆的周长可能是圆直径的三到四倍，继而结合相关几何知识基本判断各种估猜的合理度。
通过这样两个主问题的教学，学生不仅有效掌握了圆周长的计算法则，还了解了圆周长与圆直径之间的关系，既掌握了知识，同时也掌握了背景，提升了数学素养。
2.单元单位——知识点串联，系统内容规整化
当下的数学教材是以依据教材所要呈现的数学知识结构、学习对象的基本认知规律，以语言文字的方式加以呈现为编著原则的。这种编排体系中，有反应知识由低级向高级迈进、由简单向复杂过渡的纵向发展联系，有的则反映知识点之间相互融合交集的横向联系。但由于编著的简约性和甄别性，无法将每一项知识的逆向与顺进关系一一加以呈现。此时就需要教师站在统领审视教材的角度，充分考量教材呈现知识时出现的断裂点对学生学习的影响与制约，从而能够基于学生认知的基本立场，对教材进行重新的整理与规制，帮助学生能够顺利顺化认知结构。
如三年级上册有一个《三位数乘以一位数》的单元，教师即打破教参规定的课时安排，将正常情况下的三位数乘以一位数，数字中间有0的三位数乘以一位数，数字最后有0的三位数乘以一位数归为一个课时进行教学。所有的教学都以学生自行编辑题型、自我解决的方式进行，让学生从编最简单的三位数乘以一位数的题目开始，逐渐加深难度，并与同学分享解题。
这样的教学方式，学生不仅掌握了教材要求掌握的知识，而且对整个单元体系中知识点的不断迈进和深入的轨迹也了如指掌。从学生单元调研的情况来看，学生意识中已经建立对这一单元知识点的网络线状图，也能够对教材中人为划分的类别、难度情况都能够分类整理，有效地提升了学生思维的辨析能力。
3.序列单位——逻辑链演绎，类型知识延伸化当下实行的数学教材常常将相同类型知识的不同层次的知识点分散至不同年级不同册数中加以呈现，以不断契合学生的基本认知，促进学生对某一领域知识的全面有效的吸收。但不同这些知识分布在哪个年级，哪册教材，其本质之间都存在着共通的逻辑联系。教学中，教师要充分运用演绎思维的方式，实行系列化的教学策略，在知识的不断深入中实现自身数学知识和能力的自然生长。
例如数学教材中对于“认数”的教学在低年级中第一次呈现，随着年级的升高，逐渐开始尝试认识“千级”“万级”的自然数，彼此之间承上启下，前后连接的特点昭然若揭。如果教师仅仅是就哪个知识点就教学哪个知识点，学生所获取的也只是限定于这一领域之中。以“认数”这一领域为例，教师如果能够低年级就开始渗透数字的构成、数字的序列等意义因素，学生所得到的就不仅是这一层次的知识，则会为实现更高级别数字的识别与构建奠定坚实的基础。
追溯式的数学教学模式就是在尊重学生已经具备的知识原点，不断提升思维的力度和广度，将学生的思维之角伸向数学知识更为宽广的领域，达到数学知识的不断生长，继而提升学生的数学素养。
【关键词】追溯式教学衡定起点甄别过程
真正有效的数学课堂，不仅在于要让学生形成一套自主发现问题、探究问题、解决问题的方式，更重要的是让学生在数学学习过程中体验数学本源所在，强化对数学课程意识的理解。这种学习过程，学习者能够主动勇敢的接受学习任务，在批判的价值考量中接受新的思想，并将其融入进自身的认知体统中。
审视学生获取知识的方式不难发现这样的过程是一种纯粹的自然生长的质态。当学生抽身出这一学习状态之下，依然能够有效保持这种深度学习的态势，这种源自数学本源性的教学对于数学知识自然生长拥有了不可估量的推进动力。
一、教学起点的衡定，从探寻数学基础本源开始
万木有本，万水有源头，任何一种事物的产生与发展都不是一蹴而就的，都会按照其自身的特质与规律进行渐进与嬗变。因而在数学教学中，不仅要关注数学知识的本体所在，更要在教学的起点上摸准教学的切入口。
1.基于学习主体：达准儿童数学学习起点之脉
任何一种的都是学习主体对于自身经验的重新构建与丰盈的过程，数学亦然。教师在进行数学教学设计前，一定要认真审查学生现有的数学知识水平，要认真揣摩学生可能达到的“预设水平”，并在这两个支点中探寻出一条可行通道，在最易联系之处支撑起教师的教学设计，便于教师实施教学。
例如在教学《年月日》一课时，教师在学生对年月日已经有了基本的了解后，没有像传统教学一般拿出一年的日历表，让学生在观察中发现，得出自己的探究所得。而是创造性地让学生自制第二年的日历表。如果出示现有的日历观察，学生终究囤限在自身已经掌握的空间中摸爬滚打，无甚价值；而让学生在实质性的活动中通过自身的参与实践去体悟感知出更多的内涵，甚至还可以将探究伸向更为崭新的领域。
事实上，学生在数学领域的认知起点不是单向唯一的视角，而是聚合着学生的认知结构、经验构成、思维密码等多维度内容与方式。正视学生这一学习的起点，就是对学生生命的自我尊重，教学才能更加具备针对性，实现知识的自然生长，才能使教学成为启其未知、解其所惑、促其心智的活动过程。
2.基于教学主导：扣准教师数学教学起点之点
数学教学设计的起点是指在洞察学生认知起点的基础上如何运用相关方式与策略设计教学、实施教学。教学设计的起点是一堂数学课能够成功的基础与关键，决定了这节课是否能够以学生生命经验作为教学的基础，决定了课堂的教学策略能否契合學生最近的“认知发展区”。数学本身就蕴藏于生活之中，离孩子的实际生活并不遥远，他们即便不在数学课堂中，也照样可以通过种种方式接触数学、感知数学，而教师只是由于生活阅历比学生更为丰富获取的数学知识相对高于学生。教师对学生需要执行的并不是直接的告知，而是要学会洞察学生的内心，为学生创设一条契合学生认知规律而又不缺乏感性与温情的路径，让学生感知数学的存在与力量。
例如在教学《认识面积单位》一课时，教师首先引导学生回顾已经学习的知识，猜测：黑板大概2平方米，魔方的一片大概2平方厘米。接着教师引发学生的认知冲突：黑板和模仿的一片一样大，都是两个方格子。学生在比较中骤然发现，教师口中所谓的一样大，其实是没有以相同的基本单位为准，从而有效得出面积比较必须要建立在同一种单位下。
实践证明，学生在接受新知识过程中，如果能够建立较为强烈的认知冲突能够有效激活学生内在的心理需求，使得学生意识深处的自主性迸发出来。在与数学知识基础的方式中，学生仅靠动脑只能在思维上理解知识，一旦以双手参与其中，数学的本源意义学生便能深度参透。如果学生能够释放心灵的力量，知识将成为他们主宰自我，主宰世界的工具。
二、教学过程的甄别，从追溯数学核心要素入手
探求本源式的教学过程从结构上来看，是综合教师、学生、教材以及教学方式、策略相一体的多维度重复结构；从作用的角度审视，是教师引导学生以自身的力量掌握数学知识、形成数学能力、提升数学素养的过程相互统一的过程。
1.课时单位：主问题统领，教学内容整体化
有效的课堂教学最鲜明特征在于没有机械重复的追问，没有简单的师生对话，而是运用与教学内容息息相关的一个主问题将整个课堂串联起来，将所要教学的知识融贯成为一体。高质量的主问题不仅能够辐射教学内容的全部，同时能够有效激发学生的思维活跃力，提升学生的思维品质，并将作用力着力于学生的磁场之中实现价值的自我增长。
例如在教学《圆周长的计算》一课时，教师围绕着这一教学内容设置这样两个主问题——
主问题一：圆的周长与圆的什么密切相关？
教师发放给学生多个大小不一的圆形，并要求学生用毛线丈量圆形的周长。学生通过大量的动手操作，对比研究，最终得出结论圆形的周长与圆的直径息息相关。
主问题二：圆的周长与圆的直径之间究竟有着怎样的关系？圆周率究竟从何而来？
此处的教学，教师可以适当渗透有关古人特别是祖冲之对圆周率研究的方法以及相关故事等，引导学生大胆地进行估测，圆的周长可能是圆直径的三到四倍，继而结合相关几何知识基本判断各种估猜的合理度。
通过这样两个主问题的教学，学生不仅有效掌握了圆周长的计算法则，还了解了圆周长与圆直径之间的关系，既掌握了知识，同时也掌握了背景，提升了数学素养。
2.单元单位——知识点串联，系统内容规整化
当下的数学教材是以依据教材所要呈现的数学知识结构、学习对象的基本认知规律，以语言文字的方式加以呈现为编著原则的。这种编排体系中，有反应知识由低级向高级迈进、由简单向复杂过渡的纵向发展联系，有的则反映知识点之间相互融合交集的横向联系。但由于编著的简约性和甄别性，无法将每一项知识的逆向与顺进关系一一加以呈现。此时就需要教师站在统领审视教材的角度，充分考量教材呈现知识时出现的断裂点对学生学习的影响与制约，从而能够基于学生认知的基本立场，对教材进行重新的整理与规制，帮助学生能够顺利顺化认知结构。
如三年级上册有一个《三位数乘以一位数》的单元，教师即打破教参规定的课时安排，将正常情况下的三位数乘以一位数，数字中间有0的三位数乘以一位数，数字最后有0的三位数乘以一位数归为一个课时进行教学。所有的教学都以学生自行编辑题型、自我解决的方式进行，让学生从编最简单的三位数乘以一位数的题目开始，逐渐加深难度，并与同学分享解题。
这样的教学方式，学生不仅掌握了教材要求掌握的知识，而且对整个单元体系中知识点的不断迈进和深入的轨迹也了如指掌。从学生单元调研的情况来看，学生意识中已经建立对这一单元知识点的网络线状图，也能够对教材中人为划分的类别、难度情况都能够分类整理，有效地提升了学生思维的辨析能力。
3.序列单位——逻辑链演绎，类型知识延伸化当下实行的数学教材常常将相同类型知识的不同层次的知识点分散至不同年级不同册数中加以呈现，以不断契合学生的基本认知，促进学生对某一领域知识的全面有效的吸收。但不同这些知识分布在哪个年级，哪册教材，其本质之间都存在着共通的逻辑联系。教学中，教师要充分运用演绎思维的方式，实行系列化的教学策略，在知识的不断深入中实现自身数学知识和能力的自然生长。
例如数学教材中对于“认数”的教学在低年级中第一次呈现，随着年级的升高，逐渐开始尝试认识“千级”“万级”的自然数，彼此之间承上启下，前后连接的特点昭然若揭。如果教师仅仅是就哪个知识点就教学哪个知识点，学生所获取的也只是限定于这一领域之中。以“认数”这一领域为例，教师如果能够低年级就开始渗透数字的构成、数字的序列等意义因素，学生所得到的就不仅是这一层次的知识，则会为实现更高级别数字的识别与构建奠定坚实的基础。
追溯式的数学教学模式就是在尊重学生已经具备的知识原点，不断提升思维的力度和广度，将学生的思维之角伸向数学知识更为宽广的领域，达到数学知识的不断生长，继而提升学生的数学素养。