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动态几何就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性.解决动态几何题的策略是把握图形运动规律,寻求图形运动中的一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的一般规律.从题目设置上来说，质点运动型问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考查．质点运动型问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．就其解决方法浅议如下：
一、 抓住变化中图形的特殊位置．
例1 （2010·河南）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1） 当x的值为时，以点P，A，D，Ｅ为顶点的四边形为直角梯形；
（2） 当x的值为时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形；
（3） 点P在BC边上运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
解（1） 3 或8 （2） 1或11
（3） 由（2）可知，当BP=11时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形
∴ EP=AD=5，过D作DF⊥BC于F，则DF=FC=4， ∴FP=3 ∴ DP=5
∴ EP=DP，故此时PDAE是菱形
即以点P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形.
评析解决质点运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，找出图形的特殊状态.
二、 抓住变化中图形的性质及特征.
例2（2010年河北省）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=３，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1） 设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2） 当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；
（3） 随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
解（1） y=2t （2） 当BP=1时，有两种情形：
∴ PQ=6．连接EM， ∵ △EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．
② 若点P从点B向点M运动，由题意得t=5．
PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则HP=３，AH=1．在Rt△HPF中，∠HPF=30°， ∴ HF=3，PF=6． ∴ FG=FE=2．又∵FD=2， ∴点G与点D重合，如下图．此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为
（3） 能；4≤t≤5．
评析抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，抓住变化中图形的性质及特征，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决．
三、 抓住图形中的变量关系.
例3（2010广东中山）如图（1）（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2.动点M，N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动。连接FM，FN，当F，N，M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW.设动点M，N的速度都是1个单位/秒，M，N运动的时间为x秒.试解答下列问题：
（1） 证明：△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）.试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3） 问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值.
解∵PQ∥FN，PW∥MN∴∠QPW =∠PWF，∠PWF=∠MNF
∴∠QPW =∠MNF，同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM∴△FMN∽△QWP
（2） 当x=或x=4时，△PQW为直角三角形；当0≤x< 评析抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决．有时把函数、方程、不等式联系起来．当一个问题是求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．
巩固练习
1. 观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．
解决问题
（1） 点Q与点O间的最小距离是分米；点Q与点O间的最大距离是分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．
（2） 如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是
分米；
② 当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
2. （2010台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（-２）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个|b|单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．
解决问题
（1） 计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2） ①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC.
② 证明四边形OABC是平行四边形.
（3） 如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
3. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A，D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E.
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2） 当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．
（1） 当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2） 当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3） 以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
① 當t>时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
② 当线段A′C′与射线BB有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 抓住变化中图形的特殊位置．
例1 （2010·河南）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1） 当x的值为时，以点P，A，D，Ｅ为顶点的四边形为直角梯形；
（2） 当x的值为时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形；
（3） 点P在BC边上运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
解（1） 3 或8 （2） 1或11
（3） 由（2）可知，当BP=11时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形
∴ EP=AD=5，过D作DF⊥BC于F，则DF=FC=4， ∴FP=3 ∴ DP=5
∴ EP=DP，故此时PDAE是菱形
即以点P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形.
评析解决质点运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，找出图形的特殊状态.
二、 抓住变化中图形的性质及特征.
例2（2010年河北省）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=３，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1） 设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2） 当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；
（3） 随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
解（1） y=2t （2） 当BP=1时，有两种情形：
∴ PQ=6．连接EM， ∵ △EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．
② 若点P从点B向点M运动，由题意得t=5．
PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则HP=３，AH=1．在Rt△HPF中，∠HPF=30°， ∴ HF=3，PF=6． ∴ FG=FE=2．又∵FD=2， ∴点G与点D重合，如下图．此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为
（3） 能；4≤t≤5．
评析抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，抓住变化中图形的性质及特征，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决．
三、 抓住图形中的变量关系.
例3（2010广东中山）如图（1）（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2.动点M，N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动。连接FM，FN，当F，N，M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW.设动点M，N的速度都是1个单位/秒，M，N运动的时间为x秒.试解答下列问题：
（1） 证明：△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）.试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3） 问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值.
解∵PQ∥FN，PW∥MN∴∠QPW =∠PWF，∠PWF=∠MNF
∴∠QPW =∠MNF，同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM∴△FMN∽△QWP
（2） 当x=或x=4时，△PQW为直角三角形；当0≤x<
巩固练习
1. 观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．
解决问题
（1） 点Q与点O间的最小距离是分米；点Q与点O间的最大距离是分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．
（2） 如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是
分米；
② 当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
2. （2010台州市）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（-２）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个|b|单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．
解决问题
（1） 计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2） ①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC.
② 证明四边形OABC是平行四边形.
（3） 如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
3. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A，D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E.
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2） 当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．
（1） 当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2） 当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3） 以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
① 當t>时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
② 当线段A′C′与射线BB有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文