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【现象】六年级某班单元测验中有这样一道应用题：“某商店一种商品现在的单价是120元，比原来降低了30元，降低了百分之几？”测试后的统计结果显示，全班53%的学生出现“（120-30）÷120”的错解。
【诊断】分析错误原因，主要是在应用题教学中过分注重类型，给学生灌输大量的公式和题型套路，进行大量的程式化练习，学生却不明白公式的意义和作用，更没有去深究公式的来龙去脉，在解题时只能是死记类型、死套公式，不会灵活运用所学知识来解决新情境下的问题。上述测试题属于“求比一个数少百分之几”的应用题，课本例题（浙教版）是：“一个蔬菜基地第一季度收蔬菜30万千克，第二季度收蔬菜39万千克，第二季度蔬菜产量比第一季度增产百分之几？第一季度的蔬菜比第二季度少百分之几？”这位教师在教这类应用题时，为了使学生能熟练解题，总结出一些解题“秘诀”：（大数-小数）÷小数=多百分之几；（大数-小数）÷大数=少百分之几。于是在做上述测试题时，不少学生出现了生搬硬套“（120-30）÷120”的错误。
【思考】针对这些弊端，本次课程改革对“应用题教学”动了“大手术”：不再单独设立“应用题”章节，强调要从运算意义进行思考，淡化应用题类型教学，其功能也不再是对解题模式的简单应用，而是真正让数学与现实联系，让学生学习用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去解决所碰到的现实问题。倡导“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的学习模式和“原型——模型——应用”的知识呈现形式。有些教师没有全面领会数学课程标准的精神和新教材的意图，也没有把握“解决问题”教学策略的实质，在进行“解决问题”教学时，普遍存在以下一些困惑：什么是数学建模？数学建模要不要分析数量关系？在数学建模教学中怎样把握“解决问题”领域的结构体系？数学建模学习中有哪些有效的策略和方法？等等。针对这些问题，笔者作了以下一些辩证思考。
一、机械的数量关系分类教学不是数学建模
什么是数学模型？数学模型是指把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。什么是数学建模？所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释、应用现实问题的过程。其用框图表示是：
从上述定义中我们可以看出，数学建模的过程是学生自主探索、尝试、发现与建构的过程。如果进行简单的数量关系分类教学，学生就会死扣解题类型而不去思考其中的数学意义，思考空间就会被缩小，虽然发展了学生的解题技能，但没有发展学生的数学理解和思考能力。这样的教学没有对实际问题的数学抽象，更谈不上对数学模型的意义建构，当然也就不可能去解释和应用新情境下的实际问题。如前面所述那位数学教师的“套路教学”中，多数学生在面对新情境下的同类问题时，往往只会“死记硬套”，而不是在真正地解决问题。如果引导学生展开数学建模学习，学生就不会简单地把问题和类型相联系，而是思考情境中的问题与数学意义的联系，并经历一个思考与再创造的过程，在这一过程中获得实质性的模型建构。因此，机械的数量关系分类教学绝不是真正意义上的数学建模活动，只有认识到这一点，应用题教学才有可能真正转变为解决问题的过程。
二、数学建模需要对数量结构关系进行提炼和概括
施教数学课程标准实验教材，在解决问题教学中要不要进行数量关系的分析？传统教学中好的方法能不能继续运用？有些教师的课堂教学中存在着关注了情境创设，关注了信息的收集，而忽略了数量关系的提炼。常常出现“就题论题”的现象，学生的数学学习只是一个个孤立“个案”的叠加，没有做必要的“梳理”与“整合”，没有通过问题情境，探索并构建出数学模型，难以实现数量结构化迁移。这样的教学不是真正的数学建模学习活动，因为数学模型的核心要素是要用数学语言表述出数学结构。实践表明，只有积累必要的数量结构，才能使学生在获取信息后形成解题思路，学会解决问题，并把零散的知识汇编成系统的网络，便于师生把握“问题解决”教学领域的结构系统。可见，新课程中的应用问题教学改革关注的并不是要不要数量关系的问题，而是改革如何获得数量关系的方式以及怎样使用数量关系的问题。
例如，学习“有小括号的混合运算”（北师大版教材二年级下册），可以这样设计教学：
（1）出示主题图。图中告诉我们哪些数学信息？要解决什么问题？
（2）要求需要几只船，可以用什么方法来计算？（让学生提出模型假设：一共的人数÷每只船能乘的人数=需要船的只数）
（3）哪个信息还没有直接告诉我们？怎样解决？（利用数学模型解决中间问题：男生人数+女生人数=一共的人数）
（4）让学生独立列式计算并尝试列出综合算式。（模型求解）
（5）选取部分学生列出的综合算式“29+25÷9”进行讨论交流。（让学生用前面提出的模型假设来验证运算顺序是否正确）
（6）引出小括号，体验小括号的作用。（让学生根据数学模型作出解释）
（7）变式练习：欢欢有10支铅笔，用去4支，剩下的送给2个小朋友，平均每个小朋友能分到几支？（拓展模型）
（8）总结两步计算问题解决的共同模型及关键（先解决中间问题，再解决最后问题，每一步的问题解决都要根据基本数量关系模型来进行），引导学生理出解决两步实际问题的知识链，形成认知网络结构，实现结构化迁移，逐步提高解决数学问题的一般能力。
（9）巩固应用。
三、数学建模注重“解决问题的策略”与“分析数量关系的基本方法”的有机结合
数学建模是一个提出问题、分析问题和解决问题的过程，需要具备一定的解决问题的策略，如列表整理、枚举、还原、假设、转化、猜想、实验、分类、类比、对应等等。它不能简单地以数量关系的分析来代替学生丰富生动、个性不一的解决问题策略的展示。但是，我们不能抛弃传统应用题教学中的精华，传统教学中分析数量关系的基本方法，如图形法、分析法、综合法等，对提高学生的数学思维能力和解决问题能力是很有作用的，这些基本方法有别于解一定类型题的个别技能技巧，它是一种具有广泛迁移性的解任何题都需要具备的能力。
在具体的问题解决过程中，分析数量关系的基本方法和解决问题的策略是相互渗透、相辅相成的，它们共同帮助学生找到解决问题的途径和方法：首先，运用分析与综合的方法，弄清现实情境中的条件和问题之间的数量关系，选择一些解决问题的有效策略并构建恰当的数学模型，用数学概念、数学符号、数学表达式或图形简洁、清晰地表达出来，接着，在建立数学模型的基础上进行逻辑推理或数学演算，求出问题的解，最后，把数学模型中得到的解返回到问题中去，检验是否使问题得到了解决。
下面以数学建模方法之一的“图形法”为例加以说明。所谓“图形法”，就是对某些数学问题的数量关系，以某种方式与几何图形建立联系，将题目中的条件及数量关系直接反映在几何图形中，然后在构造的图形中寻求问题的解决。例如：“一辆车从建筑工地前往水泥厂运水泥，往返共用了22个小时，去时用的时间是回来的1.2倍，回来时的速度比去时的速度每小时快13千米。从建筑工地到水泥厂的路程是多少千米？”解决过程如下：
（1）对题中数量关系进行分析与综合。根据往返共用22小时和去时的时间是回来的1.2倍，可以求出回来的时间：22÷（1+1.2）=10（小时）；去时的时间：22-10=12（小时）。
（2）采取对应与转化的策略。因为“路程=速度×时间”、“长方形面积=长×宽”，可以用长方形的长与宽分别表示速度和时间，那么长方形面积的值就对应路程的值，从而将算术问题转化为几何问题。
（3）用“图形法”构造出数学模型：
（4）求出模型的解。由于往返路程是一样的，所以长方形ABCD（去时）与长方形AEFG（返回）面积相等，即阴影①与阴影②的面积相等。
●阴影②的面积是：13×10=130
●阴影①的长（去时的速度）是：130÷（12-10）=65（千米）
●长方形ABCD的面积（要求的路程）是：65×12=780（千米）
（5）检验问题是否得到正确解决。
作者单位 浙江省武义县教育局教研室
◇责任编辑：曹文◇
【诊断】分析错误原因，主要是在应用题教学中过分注重类型，给学生灌输大量的公式和题型套路，进行大量的程式化练习，学生却不明白公式的意义和作用，更没有去深究公式的来龙去脉，在解题时只能是死记类型、死套公式，不会灵活运用所学知识来解决新情境下的问题。上述测试题属于“求比一个数少百分之几”的应用题，课本例题（浙教版）是：“一个蔬菜基地第一季度收蔬菜30万千克，第二季度收蔬菜39万千克，第二季度蔬菜产量比第一季度增产百分之几？第一季度的蔬菜比第二季度少百分之几？”这位教师在教这类应用题时，为了使学生能熟练解题，总结出一些解题“秘诀”：（大数-小数）÷小数=多百分之几；（大数-小数）÷大数=少百分之几。于是在做上述测试题时，不少学生出现了生搬硬套“（120-30）÷120”的错误。
【思考】针对这些弊端，本次课程改革对“应用题教学”动了“大手术”：不再单独设立“应用题”章节，强调要从运算意义进行思考，淡化应用题类型教学，其功能也不再是对解题模式的简单应用，而是真正让数学与现实联系，让学生学习用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去解决所碰到的现实问题。倡导“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的学习模式和“原型——模型——应用”的知识呈现形式。有些教师没有全面领会数学课程标准的精神和新教材的意图，也没有把握“解决问题”教学策略的实质，在进行“解决问题”教学时，普遍存在以下一些困惑：什么是数学建模？数学建模要不要分析数量关系？在数学建模教学中怎样把握“解决问题”领域的结构体系？数学建模学习中有哪些有效的策略和方法？等等。针对这些问题，笔者作了以下一些辩证思考。
一、机械的数量关系分类教学不是数学建模
什么是数学模型？数学模型是指把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。什么是数学建模？所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释、应用现实问题的过程。其用框图表示是：
从上述定义中我们可以看出，数学建模的过程是学生自主探索、尝试、发现与建构的过程。如果进行简单的数量关系分类教学，学生就会死扣解题类型而不去思考其中的数学意义，思考空间就会被缩小，虽然发展了学生的解题技能，但没有发展学生的数学理解和思考能力。这样的教学没有对实际问题的数学抽象，更谈不上对数学模型的意义建构，当然也就不可能去解释和应用新情境下的实际问题。如前面所述那位数学教师的“套路教学”中，多数学生在面对新情境下的同类问题时，往往只会“死记硬套”，而不是在真正地解决问题。如果引导学生展开数学建模学习，学生就不会简单地把问题和类型相联系，而是思考情境中的问题与数学意义的联系，并经历一个思考与再创造的过程，在这一过程中获得实质性的模型建构。因此，机械的数量关系分类教学绝不是真正意义上的数学建模活动，只有认识到这一点，应用题教学才有可能真正转变为解决问题的过程。
二、数学建模需要对数量结构关系进行提炼和概括
施教数学课程标准实验教材，在解决问题教学中要不要进行数量关系的分析？传统教学中好的方法能不能继续运用？有些教师的课堂教学中存在着关注了情境创设，关注了信息的收集，而忽略了数量关系的提炼。常常出现“就题论题”的现象，学生的数学学习只是一个个孤立“个案”的叠加，没有做必要的“梳理”与“整合”，没有通过问题情境，探索并构建出数学模型，难以实现数量结构化迁移。这样的教学不是真正的数学建模学习活动，因为数学模型的核心要素是要用数学语言表述出数学结构。实践表明，只有积累必要的数量结构，才能使学生在获取信息后形成解题思路，学会解决问题，并把零散的知识汇编成系统的网络，便于师生把握“问题解决”教学领域的结构系统。可见，新课程中的应用问题教学改革关注的并不是要不要数量关系的问题，而是改革如何获得数量关系的方式以及怎样使用数量关系的问题。
例如，学习“有小括号的混合运算”（北师大版教材二年级下册），可以这样设计教学：
（1）出示主题图。图中告诉我们哪些数学信息？要解决什么问题？
（2）要求需要几只船，可以用什么方法来计算？（让学生提出模型假设：一共的人数÷每只船能乘的人数=需要船的只数）
（3）哪个信息还没有直接告诉我们？怎样解决？（利用数学模型解决中间问题：男生人数+女生人数=一共的人数）
（4）让学生独立列式计算并尝试列出综合算式。（模型求解）
（5）选取部分学生列出的综合算式“29+25÷9”进行讨论交流。（让学生用前面提出的模型假设来验证运算顺序是否正确）
（6）引出小括号，体验小括号的作用。（让学生根据数学模型作出解释）
（7）变式练习：欢欢有10支铅笔，用去4支，剩下的送给2个小朋友，平均每个小朋友能分到几支？（拓展模型）
（8）总结两步计算问题解决的共同模型及关键（先解决中间问题，再解决最后问题，每一步的问题解决都要根据基本数量关系模型来进行），引导学生理出解决两步实际问题的知识链，形成认知网络结构，实现结构化迁移，逐步提高解决数学问题的一般能力。
（9）巩固应用。
三、数学建模注重“解决问题的策略”与“分析数量关系的基本方法”的有机结合
数学建模是一个提出问题、分析问题和解决问题的过程，需要具备一定的解决问题的策略，如列表整理、枚举、还原、假设、转化、猜想、实验、分类、类比、对应等等。它不能简单地以数量关系的分析来代替学生丰富生动、个性不一的解决问题策略的展示。但是，我们不能抛弃传统应用题教学中的精华，传统教学中分析数量关系的基本方法，如图形法、分析法、综合法等，对提高学生的数学思维能力和解决问题能力是很有作用的，这些基本方法有别于解一定类型题的个别技能技巧，它是一种具有广泛迁移性的解任何题都需要具备的能力。
在具体的问题解决过程中，分析数量关系的基本方法和解决问题的策略是相互渗透、相辅相成的，它们共同帮助学生找到解决问题的途径和方法：首先，运用分析与综合的方法，弄清现实情境中的条件和问题之间的数量关系，选择一些解决问题的有效策略并构建恰当的数学模型，用数学概念、数学符号、数学表达式或图形简洁、清晰地表达出来，接着，在建立数学模型的基础上进行逻辑推理或数学演算，求出问题的解，最后，把数学模型中得到的解返回到问题中去，检验是否使问题得到了解决。
下面以数学建模方法之一的“图形法”为例加以说明。所谓“图形法”，就是对某些数学问题的数量关系，以某种方式与几何图形建立联系，将题目中的条件及数量关系直接反映在几何图形中，然后在构造的图形中寻求问题的解决。例如：“一辆车从建筑工地前往水泥厂运水泥，往返共用了22个小时，去时用的时间是回来的1.2倍，回来时的速度比去时的速度每小时快13千米。从建筑工地到水泥厂的路程是多少千米？”解决过程如下：
（1）对题中数量关系进行分析与综合。根据往返共用22小时和去时的时间是回来的1.2倍，可以求出回来的时间：22÷（1+1.2）=10（小时）；去时的时间：22-10=12（小时）。
（2）采取对应与转化的策略。因为“路程=速度×时间”、“长方形面积=长×宽”，可以用长方形的长与宽分别表示速度和时间，那么长方形面积的值就对应路程的值，从而将算术问题转化为几何问题。
（3）用“图形法”构造出数学模型：
（4）求出模型的解。由于往返路程是一样的，所以长方形ABCD（去时）与长方形AEFG（返回）面积相等，即阴影①与阴影②的面积相等。
●阴影②的面积是：13×10=130
●阴影①的长（去时的速度）是：130÷（12-10）=65（千米）
●长方形ABCD的面积（要求的路程）是：65×12=780（千米）
（5）检验问题是否得到正确解决。
作者单位 浙江省武义县教育局教研室
◇责任编辑：曹文◇