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摘 要：我国海洋面积广阔，船作为我国重要的交通运输工具之一，各大港口的减载移泊问题对于提高港口工作效率起到了至关重要的作用，本文根据排队论对港口的减载移泊问题进行讨论，阐述了系统的排队论流程，给出了港口减载移泊的排队模型，讨论了港口泊位调度系统的运行效率，确定了系统的参数最优值，进而讨论系统的结构是否合理，并对港口船只的减载移泊问题提供理论指导。
关键词：排队论;减载移泊;载重量
1 减载移泊系统排队论模型的建立
1.1理论简介
泊位是港口为船只停靠并进行服务的水域空间，通常一个港口包含多个港区，每个港区拥有多个泊位。当船只停靠在泊位后才能进行后续的装卸、存储等服务作业;船只在港区的作业时间一定程度上取决于其停泊位置，因此泊位的分配会影响整个港区的运作效率。
泊位分配就是为等待停靠的船只指定一个合适的泊位，通常由调度人员根据船只的载重、泊位的大小以及泊位空闲情况统筹安排。目的是确定计划周期（例如1天）内分配给各船只的泊位及服务作业的次序和时间，以使总的作业时间最短。
一种简单的情形是：港区的泊位是离散的，按照承载能力（水深）分为大、小两种，大泊位数量少，小泊位数量多;靠泊船只按照载重量（吃水）也分为大、小两种，船只只能在水深大于吃水的泊位卸货，每个泊位一次只能停靠一条船。多数情况下，计划周期内到港的大船数目要多于大泊位的数量，此时需要考虑减载移泊，即大船在大泊位卸走一定数量的货物后，转到小泊位卸货，以空出大泊位供后续的大船卸货。
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang研究并发展起来的一门学科，也称随机服务系统理论。通常是建立一些数学模型，对系统状态可能发生改变的事件进行描述，并对系统的状态进行预测。发生系统状态改变的事件通常有2个，一是顾客到达，二是系统提供服务。现实生活中排队的现象有很多，如到餐厅用餐、轮船进港、病人就诊、商店购物等。排队论主要通过对队长、等待时间以及忙期分布的研究，判断一个已知的系统中用什么样的模型，然后利用排队理论对系统进行分析，最后解决系统最优设计和最优运行问题。
港口具有排队系统的典型特征：（1）有请求服务的人或物：请求进港的船舶，我们将此称为“顾客”。（2）有为顾客提供服务的人或物：装卸工人，我们称此为“服务员”，港口所提供的服务即是为请求进港的船舶安排泊位停靠，而每条船都尽量停在它的最佳工作泊位，最佳工作泊位能保障装卸、存储等服务作业快速完成，我们称最佳工作泊位为服务台。这些泊位往往是重合的，基本上是靠近港口岸线的档位，由船舶和港口组成服务系统。（3）船舶随机地一艘艘或一批批要求进入港口，每艘船只有停泊在最佳工作泊位才能开始作业，而每艘船作业的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性不仅会造成某个阶段船舶排长队等待最佳工作泊位，而某些阶段港口又有很多空闲泊位，造成泊位利用率低下。
将港口减载移泊调度看作一个排队系统，它由以下3部分组成：（1）输入过程，在港口减载移泊调度系统中，输入过程指即船舶来到港口的概率分布。系统首先要根据船期表，由船舶到达的规律作出经验分布，然后根据统计方法确定理论分布，并估计它的参数值。如在某一周期内，船舶进厂服从泊松分布，且船舶的到达是相互獨立的、平稳的输入过程。（2）排队规则，即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制2种。在港口移泊调度系统中，船舶遵循的是混合制规则，即最佳工作泊位被占用时，船舶排队等候泊位安排，但又不允许队列无限长，排队的船舶一般遵循先到先服务的次序规则，但当有紧急任务时则遵循有优先权服务的次序规则。（3）服务机构，港口有多个泊位，但每个泊位只能停泊一艘船舶。和输入过程一样，多数的船舶作业时间都是随机的，如果我们假定船舶作业时间的分布是平稳的，则船舶作业时间所构成的序列，所服从的概率分布表达了移泊系统的服务机制，一般假定船舶的作业时间，是独立分布的，并且任意2艘船舶到来的时间间隔集合也是独立的。
研究港口减载移泊调度排队问题的目的，是研究该系统的运行效率，确定系统参数的最优值，以决定该减载移泊系统的结构是否合理。衡量港口运行效率的指标通常有系统服务能力，系统状态概率，船舶队长，船舶等待队长，船舶逗留时间，船舶等待时间等。除此之外，需考虑的指标还有系统的忙期以及输出过程。系统的忙期是指从船舶到达较为空闲的港口时起，到港口再次恢复空闲的这一段时间长度，即港口连续工作的时间长度（这里的空闲指港口没有进行泊位安排的工作）。它与港口连续工作的时间长度以及港口的工作强度有关。忙期的长度和一个忙期中平均完成泊位停靠的船舶艘数，这些都是衡量港口泊位调度系统服务效率的指标。而输出过程则是船舶离开港口的过程，主要指标有船舶离开港口的时间间隔以及一定周期内离开港口的船舶艘数。
排队系统还存在以下重要参数：（1）队长：指港口移泊调度系统中的船舶艘数，它的期望值记为;排队长：指在系统中排队等待作业的船舶艘数，其期望值记为。系统中的船舶艘数=等待服务的船舶艘数+正被服务的船舶艘数。由此可判断出，（或）越大，系统服务的效率则越低。（2）逗留时间：指某一艘船在港口的停留时间，即船舶从进港到泊位安排完毕的时间。其期望值记。等待时间：指某一艘船舶在开始作业之前等待的时间，其期望值记为。船舶逗留时间=船舶等待时间+船舶被服务时间。计算这些参数必须知道泊位调度系统状态的概率，即在时刻港口的船舶艘数。如果在时刻港口有艘船，就说系统的状态是，其概率一般用表示。
对于减载移泊系统来说，输入过程为船舶独立到达且间隔时间服从一般概率分布，系统有多个泊位，即多个服务台，船舶所需的服务时间服从一般概率分布且是相互独立的。当系统处在旺季时，进港船舶较多，相对最佳工作泊位来讲我们可以认定顾客源为无限，此时船舶需要排队等待最佳工作泊位。因工作周期有限，等待时间越久，后续工作时间越紧张，越不容易在计划周期内完成任务，船东和企业都要接受损失。又因港口不能无限制的使用泊位停船，容量有限而要求进港船舶超出系统最大容量时，后来的船舶将被拒绝进入系统，系统将有损失率。如何使两者之间达到一个平衡，如何确定系统参数的最优值，是此模型将要研究的问题;当系统处在淡季时，一个时期内进港船舶有限，当进港船舶数小于最佳工作泊位数时，船舶无需排队等待可直接进人系统开始作业。为更清晰的表达港口泊位调度系统的排队模型，一律设系统的输入过程服从泊松分布，即在时刻，到达艘船舶的概率为：，式中：为船舶平均到达率，即单位时间内平均到达港口的船舶艘数。 设每个泊位船舶的作业时间服从参数为的指数分布，则船舶作业时间为，其中为载重量。因系统处于淡季时，船舶艘数小于最佳工作泊位数量，无需排队等待可直接作业，基本能在计划周期内完成任务，因此在此研究系统处于旺季时的状态，系统排队模型表达形式为。
模型是指最佳工作泊位有限，但计划进港船舶为无限，船舶到达相互独立，到达过程是平稳的，进港船舶流为泊松流，平均到达率为（单位时间到达船舶艘数），到达数量为，多服务台、先到先服务。假设港口有个工作泊位，系统的最大容量为（），各泊位的船舶靠泊时间满足负指数分布，且各泊位停泊作业是相互独立的，船舶服务率为（单位时间服务船舶艘数），当系统客满（即有艘船计划进港时），有个接受服务，总服务率：当时为;当时为，系统的服务强度为。如果在作业过程中有小泊位出现空置，需考虑减载移泊，使整个系统的利用率最大。
1.2模型的建立
综上可以得到系统的状态概率平衡方程并由递推关系可得系统状态概率，即减载移泊系统的排队论模型：
系统的运行指标：
式中：为初始时刻系统状态概率;为到达艘船舶时系统状态概率;为到达船舶艘数达到系统极限时系统的状态概率：为队长，即所有系统中船舶艘数;为系统中排队的船舶数量;为船舶在系统中的逗留时间;为船舶等待时间。
2.实例分析
某港口的一个港区拥有3个大泊位、5个小泊位，工作效率为1500吨/小时;每个泊位船舶让档（前船离泊至后船靠泊）时间平均1小时。下表给出了24小时内到达该港区的船只情况，其中载重量16000吨以下的船只定義为小船，并假设初始阶段所有泊位空闲，各船舶准时到达，船舶的装卸工作顺利进行，不受外界因素影响。
由已知可得，系统容量为24，在某一时期，船舶的到来服从泊松分布，并且，船舶进入港口的作业时间服从指数分布，并且，则。通过Matalb计算可得：平均等待时间=0.2小时。平均逗留时间为8.66小时。
3.结论
本文利用排队论的方法建立数学模型讨论了港口减载移泊的问题，提高了港口泊位的利用效率，减少了排队等待的时间，提高了工作效率。本文建立的排队论模型是一种定性和定量相结合的方法，结合模型对所给出的问题进行求解，给港口的减载移泊问题提出了理论性的指导意见。该模型接近实际，模型原理比较简单。排队论模型具有广泛的应用性与推广性，可以被从事各种职业的人应用，比如银行服务窗口与超市收银台的优化分析，校园网络的设计和收费等问题。
参考文献
[1]姜启源，谢金星 叶俊，数学模型[M]，北京：高等教育出版社，2006年
[2]吴建国，数学建模案例精编[M]，北京：中国水利水电出版社，2005年
[3]刘卫国，MATLAB程序设计与应用[M]，北京：高等教育出版社，2006年
[4]李 平，港口泊位分配与装卸调度系统的模型与优化[D]，天津：天津理工大学，2007年
[5]陈建平，船厂码头移泊作业及其相关问题的研究[D]，广州：华南理工大学，2012
[6]孙荣恒，排队论基础[M]，北京：科学出版社，2002年
关键词：排队论;减载移泊;载重量
1 减载移泊系统排队论模型的建立
1.1理论简介
泊位是港口为船只停靠并进行服务的水域空间，通常一个港口包含多个港区，每个港区拥有多个泊位。当船只停靠在泊位后才能进行后续的装卸、存储等服务作业;船只在港区的作业时间一定程度上取决于其停泊位置，因此泊位的分配会影响整个港区的运作效率。
泊位分配就是为等待停靠的船只指定一个合适的泊位，通常由调度人员根据船只的载重、泊位的大小以及泊位空闲情况统筹安排。目的是确定计划周期（例如1天）内分配给各船只的泊位及服务作业的次序和时间，以使总的作业时间最短。
一种简单的情形是：港区的泊位是离散的，按照承载能力（水深）分为大、小两种，大泊位数量少，小泊位数量多;靠泊船只按照载重量（吃水）也分为大、小两种，船只只能在水深大于吃水的泊位卸货，每个泊位一次只能停靠一条船。多数情况下，计划周期内到港的大船数目要多于大泊位的数量，此时需要考虑减载移泊，即大船在大泊位卸走一定数量的货物后，转到小泊位卸货，以空出大泊位供后续的大船卸货。
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang研究并发展起来的一门学科，也称随机服务系统理论。通常是建立一些数学模型，对系统状态可能发生改变的事件进行描述，并对系统的状态进行预测。发生系统状态改变的事件通常有2个，一是顾客到达，二是系统提供服务。现实生活中排队的现象有很多，如到餐厅用餐、轮船进港、病人就诊、商店购物等。排队论主要通过对队长、等待时间以及忙期分布的研究，判断一个已知的系统中用什么样的模型，然后利用排队理论对系统进行分析，最后解决系统最优设计和最优运行问题。
港口具有排队系统的典型特征：（1）有请求服务的人或物：请求进港的船舶，我们将此称为“顾客”。（2）有为顾客提供服务的人或物：装卸工人，我们称此为“服务员”，港口所提供的服务即是为请求进港的船舶安排泊位停靠，而每条船都尽量停在它的最佳工作泊位，最佳工作泊位能保障装卸、存储等服务作业快速完成，我们称最佳工作泊位为服务台。这些泊位往往是重合的，基本上是靠近港口岸线的档位，由船舶和港口组成服务系统。（3）船舶随机地一艘艘或一批批要求进入港口，每艘船只有停泊在最佳工作泊位才能开始作业，而每艘船作业的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性不仅会造成某个阶段船舶排长队等待最佳工作泊位，而某些阶段港口又有很多空闲泊位，造成泊位利用率低下。
将港口减载移泊调度看作一个排队系统，它由以下3部分组成：（1）输入过程，在港口减载移泊调度系统中，输入过程指即船舶来到港口的概率分布。系统首先要根据船期表，由船舶到达的规律作出经验分布，然后根据统计方法确定理论分布，并估计它的参数值。如在某一周期内，船舶进厂服从泊松分布，且船舶的到达是相互獨立的、平稳的输入过程。（2）排队规则，即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制2种。在港口移泊调度系统中，船舶遵循的是混合制规则，即最佳工作泊位被占用时，船舶排队等候泊位安排，但又不允许队列无限长，排队的船舶一般遵循先到先服务的次序规则，但当有紧急任务时则遵循有优先权服务的次序规则。（3）服务机构，港口有多个泊位，但每个泊位只能停泊一艘船舶。和输入过程一样，多数的船舶作业时间都是随机的，如果我们假定船舶作业时间的分布是平稳的，则船舶作业时间所构成的序列，所服从的概率分布表达了移泊系统的服务机制，一般假定船舶的作业时间，是独立分布的，并且任意2艘船舶到来的时间间隔集合也是独立的。
研究港口减载移泊调度排队问题的目的，是研究该系统的运行效率，确定系统参数的最优值，以决定该减载移泊系统的结构是否合理。衡量港口运行效率的指标通常有系统服务能力，系统状态概率，船舶队长，船舶等待队长，船舶逗留时间，船舶等待时间等。除此之外，需考虑的指标还有系统的忙期以及输出过程。系统的忙期是指从船舶到达较为空闲的港口时起，到港口再次恢复空闲的这一段时间长度，即港口连续工作的时间长度（这里的空闲指港口没有进行泊位安排的工作）。它与港口连续工作的时间长度以及港口的工作强度有关。忙期的长度和一个忙期中平均完成泊位停靠的船舶艘数，这些都是衡量港口泊位调度系统服务效率的指标。而输出过程则是船舶离开港口的过程，主要指标有船舶离开港口的时间间隔以及一定周期内离开港口的船舶艘数。
排队系统还存在以下重要参数：（1）队长：指港口移泊调度系统中的船舶艘数，它的期望值记为;排队长：指在系统中排队等待作业的船舶艘数，其期望值记为。系统中的船舶艘数=等待服务的船舶艘数+正被服务的船舶艘数。由此可判断出，（或）越大，系统服务的效率则越低。（2）逗留时间：指某一艘船在港口的停留时间，即船舶从进港到泊位安排完毕的时间。其期望值记。等待时间：指某一艘船舶在开始作业之前等待的时间，其期望值记为。船舶逗留时间=船舶等待时间+船舶被服务时间。计算这些参数必须知道泊位调度系统状态的概率，即在时刻港口的船舶艘数。如果在时刻港口有艘船，就说系统的状态是，其概率一般用表示。
对于减载移泊系统来说，输入过程为船舶独立到达且间隔时间服从一般概率分布，系统有多个泊位，即多个服务台，船舶所需的服务时间服从一般概率分布且是相互独立的。当系统处在旺季时，进港船舶较多，相对最佳工作泊位来讲我们可以认定顾客源为无限，此时船舶需要排队等待最佳工作泊位。因工作周期有限，等待时间越久，后续工作时间越紧张，越不容易在计划周期内完成任务，船东和企业都要接受损失。又因港口不能无限制的使用泊位停船，容量有限而要求进港船舶超出系统最大容量时，后来的船舶将被拒绝进入系统，系统将有损失率。如何使两者之间达到一个平衡，如何确定系统参数的最优值，是此模型将要研究的问题;当系统处在淡季时，一个时期内进港船舶有限，当进港船舶数小于最佳工作泊位数时，船舶无需排队等待可直接进人系统开始作业。为更清晰的表达港口泊位调度系统的排队模型，一律设系统的输入过程服从泊松分布，即在时刻，到达艘船舶的概率为：，式中：为船舶平均到达率，即单位时间内平均到达港口的船舶艘数。 设每个泊位船舶的作业时间服从参数为的指数分布，则船舶作业时间为，其中为载重量。因系统处于淡季时，船舶艘数小于最佳工作泊位数量，无需排队等待可直接作业，基本能在计划周期内完成任务，因此在此研究系统处于旺季时的状态，系统排队模型表达形式为。
模型是指最佳工作泊位有限，但计划进港船舶为无限，船舶到达相互独立，到达过程是平稳的，进港船舶流为泊松流，平均到达率为（单位时间到达船舶艘数），到达数量为，多服务台、先到先服务。假设港口有个工作泊位，系统的最大容量为（），各泊位的船舶靠泊时间满足负指数分布，且各泊位停泊作业是相互独立的，船舶服务率为（单位时间服务船舶艘数），当系统客满（即有艘船计划进港时），有个接受服务，总服务率：当时为;当时为，系统的服务强度为。如果在作业过程中有小泊位出现空置，需考虑减载移泊，使整个系统的利用率最大。
1.2模型的建立
综上可以得到系统的状态概率平衡方程并由递推关系可得系统状态概率，即减载移泊系统的排队论模型：
系统的运行指标：
式中：为初始时刻系统状态概率;为到达艘船舶时系统状态概率;为到达船舶艘数达到系统极限时系统的状态概率：为队长，即所有系统中船舶艘数;为系统中排队的船舶数量;为船舶在系统中的逗留时间;为船舶等待时间。
2.实例分析
某港口的一个港区拥有3个大泊位、5个小泊位，工作效率为1500吨/小时;每个泊位船舶让档（前船离泊至后船靠泊）时间平均1小时。下表给出了24小时内到达该港区的船只情况，其中载重量16000吨以下的船只定義为小船，并假设初始阶段所有泊位空闲，各船舶准时到达，船舶的装卸工作顺利进行，不受外界因素影响。
由已知可得，系统容量为24，在某一时期，船舶的到来服从泊松分布，并且，船舶进入港口的作业时间服从指数分布，并且，则。通过Matalb计算可得：平均等待时间=0.2小时。平均逗留时间为8.66小时。
3.结论
本文利用排队论的方法建立数学模型讨论了港口减载移泊的问题，提高了港口泊位的利用效率，减少了排队等待的时间，提高了工作效率。本文建立的排队论模型是一种定性和定量相结合的方法，结合模型对所给出的问题进行求解，给港口的减载移泊问题提出了理论性的指导意见。该模型接近实际，模型原理比较简单。排队论模型具有广泛的应用性与推广性，可以被从事各种职业的人应用，比如银行服务窗口与超市收银台的优化分析，校园网络的设计和收费等问题。
参考文献
[1]姜启源，谢金星 叶俊，数学模型[M]，北京：高等教育出版社，2006年
[2]吴建国，数学建模案例精编[M]，北京：中国水利水电出版社，2005年
[3]刘卫国，MATLAB程序设计与应用[M]，北京：高等教育出版社，2006年
[4]李 平，港口泊位分配与装卸调度系统的模型与优化[D]，天津：天津理工大学，2007年
[5]陈建平，船厂码头移泊作业及其相关问题的研究[D]，广州：华南理工大学，2012
[6]孙荣恒，排队论基础[M]，北京：科学出版社，2002年