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摘要：概率的计算在必修课程的介绍时，缺乏了简洁的计数方法。我们可以在大量的实例中总结，归纳一些恰当的计算方法：运用两个基本计数原理计数，类比比例值（浓度）计算，选取合理的样本空间，从事件的反面入手等
关键词：基本计数原理；比例值；样本空间；补集
Under the new curriculum of high school math probability
Lin Yun-ling
Abstract: The calculation of the probability of a required course in the introduction, the lack of a simple counting method. We can summarize a large number of instances, summarized some of the appropriate calculation method: the use of two basic counting principles count, value analog scale (concentration) basis, select a reasonable sample space, starting from the negative events such as
Keywords: basic counting principles; ratio value; sample space; complement
概率是高中数学新增内容之一，随着新课程的推进，概率已成为高中数学知识的一个重要交汇点。旧教材将排列，组合与概率并成一章，主要是考虑到他们之间的内在联系：求等可能性事件的概率时，关键往往用相应的排列，组合原理计数。而“古典概型”的问题又使有关排列.组合的计算与概率的计算似乎成了一回事。但这样的考虑是片面的。《普通高中新课程》对概率的教学要求是：“概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。学生将结合具体事例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验，计算器模拟估计简单随机事件发生的概率”。人教版高中数学课程必修3教科书在介绍排列，组合知识之前就介绍了概率的相关知识。那么在无法使用排列，组合知识计数时，我们又该如何进行概率的计算呢？笔者就谈谈自己在教学中的几点尝试：
一、让学生了解两个计数原理（加法法则与乘法法则）进行概率计算
用列举法来计算基本事件个数是对学生的基本要求，在树状图中让学生总结归纳两个计数原理，并体会他们的简洁性，有条理性，实用性。
例如：在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，两枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求恰有一枝一等品的概率。
分析：如果利用树状图列举，情形会比较多，学生在列举的过程中会产生反感。所以可以注意到6枝圆珠笔中从中任取3枝共有6×5×4=120个基本事件，恰有一枝一等品的基本事件为3×3×2=18种。所以恰有一枝一等品的概率为：P=18÷120=0.15
在让学生通过列举，表格，树状图计数时，应让学生充分体会两个基本计数原理：加法原理与乘法原理。一个是分类（加法），一个是分步（乘法）。应用它们使解题更有条理，更简洁。
二、通过比例值求一些简单事件的概率
本部分内容是在初中学习的基础上进行更系统和更深入的学习。通过比较频率与概率的关系来确定一些基本事件的概率：事件A的比例值=随机试验中事件A的概率值。
例如甲罐中有5个黑球，2个白球，3个绿球；乙罐中有3个黑球，4个白球，2个绿球。现从甲罐中取出一个球放入乙罐中，再从乙罐中取一个球。问这个球是白球的概率是多少？
分析：甲罐中共有10个球，有2个白球，甲罐中白球的比值是2/10，即取到白球的平均个数是“2/10”。从甲罐中取一个球，取到了2/10个白球，将此球放入乙罐中后，此时乙罐中共有9+1个球，其中有4+2/10个白球，所以从乙罐中取一个球是白球的概率P=(4+2/10)/(9+1)=0.42,即白球的比例值。
事件A的比例值=随机试验中事件A的概率值在某种意义下是正确的。学生在解答时仿照溶液的浓度问题的方法，把新的知识与已经存在的知识作了很好的类比，接受新知识更直观，更容易。
三、通过合理地取样本空间进行古典概型的概率运算
新的普通高中数学课程标准中关于古典概型的教学要求阐述：“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。应让学生初步把一些实际问题化为古典概型。”统计在概率的计算中起着举足轻重的作用。合理地取样本空间会使一些复杂问题简单化。
例如：n(n>3)个朋友随机地围绕圆桌而坐，求其中甲，乙两人坐在一起（相邻）的概率？
分析：可合理地取样本空间。设甲已坐好，只需考虑乙怎么个坐法。显然乙等可能的有（n-1）个座位可供选择，而符合题设要求的坐法只有两种，因此所求的概率为2/n-1。
不通过排列，组合计算，通过合理地取样本空间进行概率的计算，这才是概率问题中所要体现的思想方法。凭借问题的等价原则，化转化来解决，是那么清晰直观。
例如：设有m×n个球，其中一个黑球，一个是白球，其余都是红球。把这个球任意放入m个口袋中，每袋放n个球，求黑球与白球恰在一个口袋中的概率。
分析：应注意到题目所述等价于随机地把m×n个球依次排列（例如第一个口袋的球排在最初的n个位置，接下来n个位置上排列第二个口袋中的球等等）。设黑球已经放好，那么，白球的可能位置共有m×（n-1）个，显然它们是等可能的，而符合题意的情形，即白球落入黑球所在的口袋中有（n-1）种，故所求的概率为：P=n-1/mn-1
在教学中应让学生充分体会，选取适当的样本空间，是解决古典概型问题的一个关键。
四、用补集性质解释概率问题
某随机试验所包含的所有基本事件构成全集U，记事件A所包含的基本事件构成集合N，根据对立事件定义:M∪N=U,M∩N=∮，即N=CuM.只有满足上述条件时，根据补集性质才有A+B为必然事件。即P(A+B)=P(A)+P(B)=1
例如：某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码任取一个，求头两位数码不相同的概率。
分析：第一位数字可能是1－9中任意一个数字，共有9种可能，第二位数字可能是0—9中任意一个数字，共有10种可能，所以考虑头两位数字共有90种可能，题目要求两位数字不相同，显然情况很多。可从他的反面入手，即不相同两位数字的补集为两个位数相同，共9种可能。所以头两位数码不相同的概率为：1-9/90=0.9
如果求一个事件的概率情况比较复杂，可以从它的反面来考虑，通过它的补集来解决，正难则反。
总之，同学们可以通过大量的概率的计算实例的列表，树状图等运算过程，发现思维推理途径，探索问题的解决方法，归纳内在的规律，使问题迎刃而解。所以动就有希望，勤就能攻关。
参考文献
[1] 中学数学月刊
[2] 杨九俊.从理解到行动
[3] James A Middleon.数学教学的创新策略
关键词：基本计数原理；比例值；样本空间；补集
Under the new curriculum of high school math probability
Lin Yun-ling
Abstract: The calculation of the probability of a required course in the introduction, the lack of a simple counting method. We can summarize a large number of instances, summarized some of the appropriate calculation method: the use of two basic counting principles count, value analog scale (concentration) basis, select a reasonable sample space, starting from the negative events such as
Keywords: basic counting principles; ratio value; sample space; complement
概率是高中数学新增内容之一，随着新课程的推进，概率已成为高中数学知识的一个重要交汇点。旧教材将排列，组合与概率并成一章，主要是考虑到他们之间的内在联系：求等可能性事件的概率时，关键往往用相应的排列，组合原理计数。而“古典概型”的问题又使有关排列.组合的计算与概率的计算似乎成了一回事。但这样的考虑是片面的。《普通高中新课程》对概率的教学要求是：“概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。学生将结合具体事例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验，计算器模拟估计简单随机事件发生的概率”。人教版高中数学课程必修3教科书在介绍排列，组合知识之前就介绍了概率的相关知识。那么在无法使用排列，组合知识计数时，我们又该如何进行概率的计算呢？笔者就谈谈自己在教学中的几点尝试：
一、让学生了解两个计数原理（加法法则与乘法法则）进行概率计算
用列举法来计算基本事件个数是对学生的基本要求，在树状图中让学生总结归纳两个计数原理，并体会他们的简洁性，有条理性，实用性。
例如：在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，两枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求恰有一枝一等品的概率。
分析：如果利用树状图列举，情形会比较多，学生在列举的过程中会产生反感。所以可以注意到6枝圆珠笔中从中任取3枝共有6×5×4=120个基本事件，恰有一枝一等品的基本事件为3×3×2=18种。所以恰有一枝一等品的概率为：P=18÷120=0.15
在让学生通过列举，表格，树状图计数时，应让学生充分体会两个基本计数原理：加法原理与乘法原理。一个是分类（加法），一个是分步（乘法）。应用它们使解题更有条理，更简洁。
二、通过比例值求一些简单事件的概率
本部分内容是在初中学习的基础上进行更系统和更深入的学习。通过比较频率与概率的关系来确定一些基本事件的概率：事件A的比例值=随机试验中事件A的概率值。
例如甲罐中有5个黑球，2个白球，3个绿球；乙罐中有3个黑球，4个白球，2个绿球。现从甲罐中取出一个球放入乙罐中，再从乙罐中取一个球。问这个球是白球的概率是多少？
分析：甲罐中共有10个球，有2个白球，甲罐中白球的比值是2/10，即取到白球的平均个数是“2/10”。从甲罐中取一个球，取到了2/10个白球，将此球放入乙罐中后，此时乙罐中共有9+1个球，其中有4+2/10个白球，所以从乙罐中取一个球是白球的概率P=(4+2/10)/(9+1)=0.42,即白球的比例值。
事件A的比例值=随机试验中事件A的概率值在某种意义下是正确的。学生在解答时仿照溶液的浓度问题的方法，把新的知识与已经存在的知识作了很好的类比，接受新知识更直观，更容易。
三、通过合理地取样本空间进行古典概型的概率运算
新的普通高中数学课程标准中关于古典概型的教学要求阐述：“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。应让学生初步把一些实际问题化为古典概型。”统计在概率的计算中起着举足轻重的作用。合理地取样本空间会使一些复杂问题简单化。
例如：n(n>3)个朋友随机地围绕圆桌而坐，求其中甲，乙两人坐在一起（相邻）的概率？
分析：可合理地取样本空间。设甲已坐好，只需考虑乙怎么个坐法。显然乙等可能的有（n-1）个座位可供选择，而符合题设要求的坐法只有两种，因此所求的概率为2/n-1。
不通过排列，组合计算，通过合理地取样本空间进行概率的计算，这才是概率问题中所要体现的思想方法。凭借问题的等价原则，化转化来解决，是那么清晰直观。
例如：设有m×n个球，其中一个黑球，一个是白球，其余都是红球。把这个球任意放入m个口袋中，每袋放n个球，求黑球与白球恰在一个口袋中的概率。
分析：应注意到题目所述等价于随机地把m×n个球依次排列（例如第一个口袋的球排在最初的n个位置，接下来n个位置上排列第二个口袋中的球等等）。设黑球已经放好，那么，白球的可能位置共有m×（n-1）个，显然它们是等可能的，而符合题意的情形，即白球落入黑球所在的口袋中有（n-1）种，故所求的概率为：P=n-1/mn-1
在教学中应让学生充分体会，选取适当的样本空间，是解决古典概型问题的一个关键。
四、用补集性质解释概率问题
某随机试验所包含的所有基本事件构成全集U，记事件A所包含的基本事件构成集合N，根据对立事件定义:M∪N=U,M∩N=∮，即N=CuM.只有满足上述条件时，根据补集性质才有A+B为必然事件。即P(A+B)=P(A)+P(B)=1
例如：某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码任取一个，求头两位数码不相同的概率。
分析：第一位数字可能是1－9中任意一个数字，共有9种可能，第二位数字可能是0—9中任意一个数字，共有10种可能，所以考虑头两位数字共有90种可能，题目要求两位数字不相同，显然情况很多。可从他的反面入手，即不相同两位数字的补集为两个位数相同，共9种可能。所以头两位数码不相同的概率为：1-9/90=0.9
如果求一个事件的概率情况比较复杂，可以从它的反面来考虑，通过它的补集来解决，正难则反。
总之，同学们可以通过大量的概率的计算实例的列表，树状图等运算过程，发现思维推理途径，探索问题的解决方法，归纳内在的规律，使问题迎刃而解。所以动就有希望，勤就能攻关。
参考文献
[1] 中学数学月刊
[2] 杨九俊.从理解到行动
[3] James A Middleon.数学教学的创新策略