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摘 要：哥德尔不完全性定理打击了希尔伯特形式主义数学基础方案或元数学纲领，是数理逻辑与公理化方法历史上的亮点，哲学意义深远超脱，意蕴丰厚。
关键词：哥德尔；不完全性；一致性；形式系统；数学哲学
一、数学家与哲学家哥德尔的逻辑人生
库尔特·哥德尔（Kurt Godel），1906年生于捷克斯洛伐克的布尔诺，当时布尔诺是奥匈帝国的摩拉维亚的首府，因此在哥德尔的出生地洋溢着浓郁的德意志文化。哥德尔一生极为擅长语言，自求学阶段便是如此，德语是其母语，在写作中还涉及到意大利文、希腊文、拉丁文与荷兰文，在日常会话中可说流利的德文、英文与法文。
哥德尔1924年秋入读维也纳大学，初时决定专攻理论物理，后来因对严格性与精确性的追求而把第一爱好转向可靠性似乎更强的数学。1930年凭借证明初等逻辑完全性的学位论文《论逻辑演算的完全性》获得博士学位。1931年在《数学与物理学月刊》发表《论<数学原理>及有关系统的形式不可判定命题》一文，严格表述了哥德尔第一与第二不完全性定理，给希尔伯特形式主义数学基础方案以致命性的冲击。1938年9月与阿黛尔结婚，1940年春成为普林斯顿高等研究院的正式成员，与20世纪科学世界的第一骑士爱因斯坦结为密友，与外尔、冯·诺依曼、维布料伦、奥本海默等共事。1978年1月在普林斯顿医院逝世，死因为“人格紊乱”造成的“营养不良与食物不足”。
1952年哈佛大学授予哥德尔荣誉学位时称其为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”，这表明哈佛已经视因两条不完全性定理而名震天的哥德尔为超越了同时代的同样很伟大的弗雷格、皮亚诺、罗素、丘奇、塔尔斯基、图灵等人的逻辑学学者。人们普遍相信在学术上哥德尔比极具分量的罗素、丘奇、塔尔斯基等人略胜一筹，是可以与形式逻辑的奠基者亚里士多德、符号逻辑的首倡者莱布尼茨相比肩的人，例如在1930年的柯尼斯堡会议之后，冯·诺依曼来信称哥德尔第一不完全性定理为“长时间以来最伟大的逻辑发现”；作为哥德尔中年时期相知最深的朋友的爱因斯坦，将哥德尔对数学、逻辑的贡献与他本人对物理的贡献视作同类，认为在哲学的深刻与科学的深邃方面二人抵达了同样的高度；哥德尔晚年密友、经济学家摩根斯顿评价哥德尔为：亚里士多德以来最伟大的逻辑学家；哥德尔在普林斯顿与冯·诺依曼成为同事后，后者称哥德尔20世纪30年代的数学、逻辑方面的工作为“巨型标架”（尤言其对后来相关学术研究的范式或范导作用）。20世纪末的美国，重要杂志《时代》将哥德尔评为20世纪最有影响的100位历史名人之一。学术精英只占其中少数，哲学家只有一个在列，即路德维希·维特根斯坦；而逻辑学家也只有一个在列，即库尔特·哥德尔。在同为千禧年纪念活动的一部分的“20世纪影响人类思想的100人”评选中，哥德尔被列为数学家中的第一位。
二、毕生学术事业的总况与不完全性定理
哥德尔关于逻辑形式化公理演绎系统的两条不完全性定理，是哥德尔一生最重要的学术创建，类似于爱因斯坦的相对论、海森伯与薛定谔和狄拉克等人的量子力学的影响，哥德尔的工作从数学与哲学层面深化、提升了逻辑学，引发了现代逻辑革命。而为了更细切地理解此一工作的地位與意义，了解哥德尔一生的其他重大理论成果无疑是必要的。
哥德尔一生的最杰出心智成功可罗列如下：
谓词逻辑的完全性证明（1930年）
对任何形式化的数学公理系统构造一个在该系统中不可判定的数论问题之方法（1931年）
任何古典数学的一致性在本之内不可证之证明（1931年）
选择公理、康托尔连续统假设与集合论其他常设公理的独立性或一致性之证明或简称为广义连续统假设的相对一致性证明的证明（1938年）
发表对罗素的数理逻辑的深入的系统的看法（1944年）
阐释何为康托尔的连续统问题之要义（1947年及1964年）
论述爱因斯坦广义相对论引力场方程的一类新宇宙论解的一例且此类解对应了允许时间旅行的闭合类时线或哥德尔旋转宇宙（1949年）
发表关于相对论与唯心主义哲学之间的关系的一点评论（1949年）
把之前提及的广义相对论中的旋转宇宙模型改造成无法进行逆时旅行的膨胀宇宙模型从而避免向过去旅行的悖论难题（1950年）
发表关于相对论与康德哲学之间的关系的一些看法（1950年）
吉布斯演说稿：有关数学基础的一些基本定理及其哲学意蕴（1951年）
研究、撰写卡尔纳普篇：数学是语言的语法吗？（1953—1959年）
古典数论的构造性解释（1958年）
研究、撰写贝奈斯篇：论有穷主义观点的一种从未用过的扩充（1958年及1972年）
当然，哥德尔最有价值最意味深长的工作是发表于1931年的不完全性定理，现有的逻辑的一切分支都以它为基础，哥德尔主要因之而被罗素称为数理逻辑领域最出类拔萃的学者。哥德尔通过卓越的数学技巧与哲学能力将逻辑学提高到纯粹哲学的高度，赋予了数学基础研究与数理逻辑学科以不枯竭的生命力。哥德尔第一定理即通常所谓的哥德尔定理，其非形式化版本是：算术是不可完全形式化的；其形式逻辑版本是：对于算术的任何一致的形式化，都存在着那个形式系统内不可证明的算术真理；其较详细化的形式逻辑版本是：对于任何一致的、声称要判定所有算术陈述即证明或否证一切算术陈述的形式系统F，都存在一个算术命题，在该系统中既不能证明也不能否证，故形式系统F不完全；其复杂性版本是：存在具有高度复杂性的且不能通过计算机程序生成的数；其计算机程序版本是：存在一个计算机程序非P，使得：若P是一个正确程序则应用于P时，非P将生成一个为P所遗漏之真理陈述；其丢番图方程版本是：无数学理论可证明“存在一个无解之丢番图方程”；其掷骰子版本是：存在一个不可计算数Z，其二进制数对应于无穷多个能行随机的算术事实；如此等等。简言之，哥德尔第一不完全性定理的要义是，对于任何包括基本算术的相容的公理化形式系统，必可在该形式系统内基于相关公理构造出一个命题及其否定，在本系统内不可判定，而由于命题及其否定必包含一真，故可陈述为在该系统内必然包括一无法证明的真命题，所以该系统是不完全性的，此外若推及更大的系统即经过了补充的新系统，在其中仍然可以构造出一个可构想的算术形式化中的与语句“这个陈述是不可证的”相对应的哥德尔句G，故新系统仍是不完全性的。作为重要推论的哥德尔第二不完全性定理指出，一个相容的逻辑形式化公理演绎系统的相容性无法在同一系统中被本系统的公理集证明。
三、哥德尔不完全性定理的哲学意义
哥德尔的两条不完全性定理极大地冲击了如下传统数学哲学观念：真理世界中的真理概念与形式系统中的证明概念是同一的、无实质性差异。证明概念弱于真理概念，且真可被视作复杂性之子集。真命题不必然可证，可证明之命题必然真。
于是，公理化方法的有限性与形式主义主义数学基础方案的不可实现性被正式发现了，公理化方法的根本局限性在于：无法实现完全的公理推演，系统的一致性无法必然被保证。数学证明程序与形式主义演绎程序之间的不一致性亦得到了澄清。数学是有局限性的，更准确地说是公理化数学是有限的，而人类的数学能力则不一定，人之数学思维能力以及真正的数学不可形式化，进一步地囊括了数学思维能力非人类心智更无法形式化，而元数学技术或直觉可捕捉超出形式系统之真理陈述。
哥德尔的定理成为数学哲学、数学基础、数理逻辑、科学哲学、心灵哲学、认知科学与知识论等提供了新的起点与地基，意蕴深远。
参考文献
[1]王浩.哥德尔[M].康宏逵译.上海：上海译文出版社，2002.
[2]内格尔，纽曼.哥德尔证明[M].陈东威，连永君译.北京：中国人民大学出版社，2008.
（作者单位：海南大学 社会科学研究中心）
关键词：哥德尔；不完全性；一致性；形式系统；数学哲学
一、数学家与哲学家哥德尔的逻辑人生
库尔特·哥德尔（Kurt Godel），1906年生于捷克斯洛伐克的布尔诺，当时布尔诺是奥匈帝国的摩拉维亚的首府，因此在哥德尔的出生地洋溢着浓郁的德意志文化。哥德尔一生极为擅长语言，自求学阶段便是如此，德语是其母语，在写作中还涉及到意大利文、希腊文、拉丁文与荷兰文，在日常会话中可说流利的德文、英文与法文。
哥德尔1924年秋入读维也纳大学，初时决定专攻理论物理，后来因对严格性与精确性的追求而把第一爱好转向可靠性似乎更强的数学。1930年凭借证明初等逻辑完全性的学位论文《论逻辑演算的完全性》获得博士学位。1931年在《数学与物理学月刊》发表《论<数学原理>及有关系统的形式不可判定命题》一文，严格表述了哥德尔第一与第二不完全性定理，给希尔伯特形式主义数学基础方案以致命性的冲击。1938年9月与阿黛尔结婚，1940年春成为普林斯顿高等研究院的正式成员，与20世纪科学世界的第一骑士爱因斯坦结为密友，与外尔、冯·诺依曼、维布料伦、奥本海默等共事。1978年1月在普林斯顿医院逝世，死因为“人格紊乱”造成的“营养不良与食物不足”。
1952年哈佛大学授予哥德尔荣誉学位时称其为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”，这表明哈佛已经视因两条不完全性定理而名震天的哥德尔为超越了同时代的同样很伟大的弗雷格、皮亚诺、罗素、丘奇、塔尔斯基、图灵等人的逻辑学学者。人们普遍相信在学术上哥德尔比极具分量的罗素、丘奇、塔尔斯基等人略胜一筹，是可以与形式逻辑的奠基者亚里士多德、符号逻辑的首倡者莱布尼茨相比肩的人，例如在1930年的柯尼斯堡会议之后，冯·诺依曼来信称哥德尔第一不完全性定理为“长时间以来最伟大的逻辑发现”；作为哥德尔中年时期相知最深的朋友的爱因斯坦，将哥德尔对数学、逻辑的贡献与他本人对物理的贡献视作同类，认为在哲学的深刻与科学的深邃方面二人抵达了同样的高度；哥德尔晚年密友、经济学家摩根斯顿评价哥德尔为：亚里士多德以来最伟大的逻辑学家；哥德尔在普林斯顿与冯·诺依曼成为同事后，后者称哥德尔20世纪30年代的数学、逻辑方面的工作为“巨型标架”（尤言其对后来相关学术研究的范式或范导作用）。20世纪末的美国，重要杂志《时代》将哥德尔评为20世纪最有影响的100位历史名人之一。学术精英只占其中少数，哲学家只有一个在列，即路德维希·维特根斯坦；而逻辑学家也只有一个在列，即库尔特·哥德尔。在同为千禧年纪念活动的一部分的“20世纪影响人类思想的100人”评选中，哥德尔被列为数学家中的第一位。
二、毕生学术事业的总况与不完全性定理
哥德尔关于逻辑形式化公理演绎系统的两条不完全性定理，是哥德尔一生最重要的学术创建，类似于爱因斯坦的相对论、海森伯与薛定谔和狄拉克等人的量子力学的影响，哥德尔的工作从数学与哲学层面深化、提升了逻辑学，引发了现代逻辑革命。而为了更细切地理解此一工作的地位與意义，了解哥德尔一生的其他重大理论成果无疑是必要的。
哥德尔一生的最杰出心智成功可罗列如下：
谓词逻辑的完全性证明（1930年）
对任何形式化的数学公理系统构造一个在该系统中不可判定的数论问题之方法（1931年）
任何古典数学的一致性在本之内不可证之证明（1931年）
选择公理、康托尔连续统假设与集合论其他常设公理的独立性或一致性之证明或简称为广义连续统假设的相对一致性证明的证明（1938年）
发表对罗素的数理逻辑的深入的系统的看法（1944年）
阐释何为康托尔的连续统问题之要义（1947年及1964年）
论述爱因斯坦广义相对论引力场方程的一类新宇宙论解的一例且此类解对应了允许时间旅行的闭合类时线或哥德尔旋转宇宙（1949年）
发表关于相对论与唯心主义哲学之间的关系的一点评论（1949年）
把之前提及的广义相对论中的旋转宇宙模型改造成无法进行逆时旅行的膨胀宇宙模型从而避免向过去旅行的悖论难题（1950年）
发表关于相对论与康德哲学之间的关系的一些看法（1950年）
吉布斯演说稿：有关数学基础的一些基本定理及其哲学意蕴（1951年）
研究、撰写卡尔纳普篇：数学是语言的语法吗？（1953—1959年）
古典数论的构造性解释（1958年）
研究、撰写贝奈斯篇：论有穷主义观点的一种从未用过的扩充（1958年及1972年）
当然，哥德尔最有价值最意味深长的工作是发表于1931年的不完全性定理，现有的逻辑的一切分支都以它为基础，哥德尔主要因之而被罗素称为数理逻辑领域最出类拔萃的学者。哥德尔通过卓越的数学技巧与哲学能力将逻辑学提高到纯粹哲学的高度，赋予了数学基础研究与数理逻辑学科以不枯竭的生命力。哥德尔第一定理即通常所谓的哥德尔定理，其非形式化版本是：算术是不可完全形式化的；其形式逻辑版本是：对于算术的任何一致的形式化，都存在着那个形式系统内不可证明的算术真理；其较详细化的形式逻辑版本是：对于任何一致的、声称要判定所有算术陈述即证明或否证一切算术陈述的形式系统F，都存在一个算术命题，在该系统中既不能证明也不能否证，故形式系统F不完全；其复杂性版本是：存在具有高度复杂性的且不能通过计算机程序生成的数；其计算机程序版本是：存在一个计算机程序非P，使得：若P是一个正确程序则应用于P时，非P将生成一个为P所遗漏之真理陈述；其丢番图方程版本是：无数学理论可证明“存在一个无解之丢番图方程”；其掷骰子版本是：存在一个不可计算数Z，其二进制数对应于无穷多个能行随机的算术事实；如此等等。简言之，哥德尔第一不完全性定理的要义是，对于任何包括基本算术的相容的公理化形式系统，必可在该形式系统内基于相关公理构造出一个命题及其否定，在本系统内不可判定，而由于命题及其否定必包含一真，故可陈述为在该系统内必然包括一无法证明的真命题，所以该系统是不完全性的，此外若推及更大的系统即经过了补充的新系统，在其中仍然可以构造出一个可构想的算术形式化中的与语句“这个陈述是不可证的”相对应的哥德尔句G，故新系统仍是不完全性的。作为重要推论的哥德尔第二不完全性定理指出，一个相容的逻辑形式化公理演绎系统的相容性无法在同一系统中被本系统的公理集证明。
三、哥德尔不完全性定理的哲学意义
哥德尔的两条不完全性定理极大地冲击了如下传统数学哲学观念：真理世界中的真理概念与形式系统中的证明概念是同一的、无实质性差异。证明概念弱于真理概念，且真可被视作复杂性之子集。真命题不必然可证，可证明之命题必然真。
于是，公理化方法的有限性与形式主义主义数学基础方案的不可实现性被正式发现了，公理化方法的根本局限性在于：无法实现完全的公理推演，系统的一致性无法必然被保证。数学证明程序与形式主义演绎程序之间的不一致性亦得到了澄清。数学是有局限性的，更准确地说是公理化数学是有限的，而人类的数学能力则不一定，人之数学思维能力以及真正的数学不可形式化，进一步地囊括了数学思维能力非人类心智更无法形式化，而元数学技术或直觉可捕捉超出形式系统之真理陈述。
哥德尔的定理成为数学哲学、数学基础、数理逻辑、科学哲学、心灵哲学、认知科学与知识论等提供了新的起点与地基，意蕴深远。
参考文献
[1]王浩.哥德尔[M].康宏逵译.上海：上海译文出版社，2002.
[2]内格尔，纽曼.哥德尔证明[M].陈东威，连永君译.北京：中国人民大学出版社，2008.
（作者单位：海南大学 社会科学研究中心）