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新《课程标准》指出，教师要尊重学生的创造性，在学生的探究学习过程中，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。下面以“圆锥体积公式的推导”教学设计为例，浅谈教师角色的新期待。
一、引出问题
师：（出示两个用土豆削成的圆柱体）它们是什么形体？
生：圆柱体。
师：它们是完全相同的两个圆柱体底和高分别相等。
（用刀子将其中一个削成圆锥）
师：这是什么形体？
生：圆锥。
师：你有什么办法知道这个圆锥的体积吗？
生：把它放进盛水的量杯里，看水面升高多少，就可以知道这个圆锥的体积。
师：如果要测量建筑屋上圆锥形尖顶的体积，还能用这种方法吗？
学生讨论。
【设计理念】如果每个圆锥都这样测不现实，让学生感觉到排水法的局限性，产生推导圆锥体积计算公式的需要。苏霍姆林斯基认为，在人的内心深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的世界里，这种需要特别强烈。
二、联想、猜测
师：想一想，我们会计算哪些图形的体积？
生：……
师：假如让你来研究圆锥的体积，你认为圆锥的体积可能和什么图形的体积有关？
生：圆锥的体积可能与圆柱有关。
师出示四组不同的容器教具。第一组：等底等高的圆柱和圆锥。第二组：等底、圆锥的高是圆柱的高的3倍的圆柱和圆锥。第三组：等高不等底的圆柱和圆锥（任意）。第四组：不等底不等高的圆柱和圆锥（任意）。
师：猜一猜，第一组等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系？
生：圆锥的体积可能是圆柱体积的二分之一。
生：可能是三分之一。
生：可能是五分之二。
师：第二组呢？第三组、第四组呢？
师：下面就让我们一起来试验，探究一下圆锥和圆柱体积之间的关系。
【设计理念】数学学习的内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理与交流。要结合学习内容为学生准备丰富典型的操作材料和工具。
三、实验探究
师：各小组要自主选择材料，讨论选择怎样的操作方法，分析研究操作的结果。
各小组讨论、实验、分析、交流。
实验结果：第一组用圆锥容器装水（或沙）倒入等底等高的圆柱容器中，刚好倒三次；第二组用圆锥容器（高是圆柱的三倍）装水（或沙）倒入等底的圆柱容器中，刚好装满；第三组和第四组则不存在第一组和第二组那样的关系。
【设计理念】数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考，掌握有效的学习方法。学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测 、验证、推理、计算、证明等活动过程。
四、导出公式
师：通过第一组（等底等高的圆柱和圆锥）你发现等底等高的圆柱和圆锥的体积有什么关系？你能用字母表示出它们的关系吗？
生：在等底等高条件下：V圆锥=1/3V圆柱=1/3sh
师：通过第二组：底相等，圆锥的高为圆柱的高的3倍时，圆柱和圆锥的体积有什么关系？
生：体积相等。
师：你怎样解释？
生：在等底等高的条件下，圆锥的体积 是圆柱的体积的三分之一。当底不变，圆锥的高扩大到它的三倍时，体积也扩大到它的三倍，即与圆柱的体积相等。
生：当圆锥与圆柱体积相等时，底不变，圆锥的高由圆柱的高的三倍，缩小到它的三分之一，即与圆柱等高时，圆锥的体积也缩小到圆柱体积的三分之一。同样说明：在等底等高的条件下，圆锥的体积是圆柱的体积的三分之一。
【设计理念】学生学习的一个突出特点，就是他们对学习的对象采取研究的态度，教师并不把现成的结论、公式、性质的正确性的证明告诉学生。学生通过动手实践、自主探索、合作交流，感觉数学发现的乐趣。在教学活动中，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者、合作者。学生是课堂舞台的表演者，教师就是优秀的主持人，这就是教师角色的新期待。
责任编辑：刘 林
一、引出问题
师：（出示两个用土豆削成的圆柱体）它们是什么形体？
生：圆柱体。
师：它们是完全相同的两个圆柱体底和高分别相等。
（用刀子将其中一个削成圆锥）
师：这是什么形体？
生：圆锥。
师：你有什么办法知道这个圆锥的体积吗？
生：把它放进盛水的量杯里，看水面升高多少，就可以知道这个圆锥的体积。
师：如果要测量建筑屋上圆锥形尖顶的体积，还能用这种方法吗？
学生讨论。
【设计理念】如果每个圆锥都这样测不现实，让学生感觉到排水法的局限性，产生推导圆锥体积计算公式的需要。苏霍姆林斯基认为，在人的内心深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的世界里，这种需要特别强烈。
二、联想、猜测
师：想一想，我们会计算哪些图形的体积？
生：……
师：假如让你来研究圆锥的体积，你认为圆锥的体积可能和什么图形的体积有关？
生：圆锥的体积可能与圆柱有关。
师出示四组不同的容器教具。第一组：等底等高的圆柱和圆锥。第二组：等底、圆锥的高是圆柱的高的3倍的圆柱和圆锥。第三组：等高不等底的圆柱和圆锥（任意）。第四组：不等底不等高的圆柱和圆锥（任意）。
师：猜一猜，第一组等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系？
生：圆锥的体积可能是圆柱体积的二分之一。
生：可能是三分之一。
生：可能是五分之二。
师：第二组呢？第三组、第四组呢？
师：下面就让我们一起来试验，探究一下圆锥和圆柱体积之间的关系。
【设计理念】数学学习的内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理与交流。要结合学习内容为学生准备丰富典型的操作材料和工具。
三、实验探究
师：各小组要自主选择材料，讨论选择怎样的操作方法，分析研究操作的结果。
各小组讨论、实验、分析、交流。
实验结果：第一组用圆锥容器装水（或沙）倒入等底等高的圆柱容器中，刚好倒三次；第二组用圆锥容器（高是圆柱的三倍）装水（或沙）倒入等底的圆柱容器中，刚好装满；第三组和第四组则不存在第一组和第二组那样的关系。
【设计理念】数学教学活动必须激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考，掌握有效的学习方法。学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测 、验证、推理、计算、证明等活动过程。
四、导出公式
师：通过第一组（等底等高的圆柱和圆锥）你发现等底等高的圆柱和圆锥的体积有什么关系？你能用字母表示出它们的关系吗？
生：在等底等高条件下：V圆锥=1/3V圆柱=1/3sh
师：通过第二组：底相等，圆锥的高为圆柱的高的3倍时，圆柱和圆锥的体积有什么关系？
生：体积相等。
师：你怎样解释？
生：在等底等高的条件下，圆锥的体积 是圆柱的体积的三分之一。当底不变，圆锥的高扩大到它的三倍时，体积也扩大到它的三倍，即与圆柱的体积相等。
生：当圆锥与圆柱体积相等时，底不变，圆锥的高由圆柱的高的三倍，缩小到它的三分之一，即与圆柱等高时，圆锥的体积也缩小到圆柱体积的三分之一。同样说明：在等底等高的条件下，圆锥的体积是圆柱的体积的三分之一。
【设计理念】学生学习的一个突出特点，就是他们对学习的对象采取研究的态度，教师并不把现成的结论、公式、性质的正确性的证明告诉学生。学生通过动手实践、自主探索、合作交流，感觉数学发现的乐趣。在教学活动中，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者、合作者。学生是课堂舞台的表演者，教师就是优秀的主持人，这就是教师角色的新期待。
责任编辑：刘 林