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【摘要】本文以中国人教版，加拿大BC省版，美国加州版的中学数学教材为研究对象，运用华东师范大学鲍建生教授构建的五因素多水平的综合难度模型，对其“不等式”专题中例题的综合难度进行比较.研究结论为：中国教材除知识综合水平因素外，其余四个因素均大于其他两国；难度系数相差最大的因素为数学认知因素；加、美两国例题更强调生活背景等.
【关键词】不等式；综合难度；比较研究
一、问题提出
不等式是数学在生活上运用的很好例证，如基本不等式可以用于估计最值等.不等式专题也是中学数学的重要专题.一方面，它与其他各章节知识点之间联系非常密切，前者的学习对于后者的学习有着积极的促进作用.另一方面，不等式专题对于学生高等教育阶段的数学学习甚至数学研究等都起着至关重要的作用.基于这样的重要性，教材中如何处理不等式专题的内容成为我们关注的焦点.本文将从综合难度的角度出发，选取中国、加拿大、美国（以下分别简称中、加、美）教材中的例题为切入点，对中、加、美数学教材例题的综合难度进行比较研究，以期有所启示.
二、研究对象
（一）教材选取
中国教材：本论文选取现行的人民教育出版社的《义务教育教科书·数学（七年级下册）》（以下简称七年级下册），《普通高中課程标准实验教科书·数学必修5（A版）》（以下简称必修5）作为研究教材.两本教材则统称中国教材.
加拿大教材：本论文选取的是英属哥伦比亚省所使用的中学数学教材《MATHPOWERTM 9 Western Edition》（以下简称第9册）与《MATHPOWERTM 11 Western Edition》（以下简称第11册）作为研究教材.两本教材在下文中统称加拿大教材.
美国教材：选取的是McGraw-Hill公司按照加州公立学校数学课程框架出版的系列教科书《概念，技能与问题解决》作为研究教材.该系列教材在下文中统称美国教材.
（二）例题的选择
本论文的例题研究对象指的是教材正文中出现详细解答以及分析过程的例题.中国教材不等式内容例题研究对象指的是在不等式内容正文中，标有“例”或者“例题”的题目.加拿大教材与美国教材不等式内容例题研究对象指的是在不等式内容中，标有“Example（例题）”或“Real-world Example（现实生活的例子）”的题目.
三、模型简介
比较三个国家教材的例题综合难度模型选择的是华东师范大学数学系鲍建生教授构建的五因素多水平的模型.其难度水平表如下：
四、比较结果
（一）例题数量与题型统计结果
在三个国家教材的“不等式”内容中，中国教材有21道例题，加拿大教材12道，美国教材例题数最多，共有86道.
题型统计结果为，中国教材计算题5道，解答题15道，证明题1道，计算题题型例题占例题总数的23.8%，解答题占71.4%，证明题占4.8%.加拿大教材计算题7道，解答题5道；美国教材计算题48道，解答题38道，加拿大教材与美国教材均没有证明题题型的例题.其中，加拿大计算题题型的例题占58.3%，解答题占41.7%；美国教材计算题题型占56%，解答题占44%.
（二）中加美教材例题综合难度因素比较结果
1.中加美教材不等式内容例题背景因素统计结果
经统计得，中国教材无背景因素例题与公共生活背景因素均有9道，个人生活背景因素2道，科学情境因素1道；加拿大教材无背景因素例题9道，个人生活背景因素2道，科学情境因素1道；美国教材无背景因素例题58道，个人生活背景因素8道，公共生活因素11道，科学情境因素9道.通过难度计算公式，经计算得，中国教材不等式内容例题在背景因素方面的难度值为2.10，加拿大教材为1.42，美国教材为1.66.
由图1可知，3个国家均是无背景例题所占比例最高，加拿大教材更是达到75%，这与我们的比较内容是不等式有一定的关系，不等式内容中多数是计算题，例题展示最多的是解不等式.四个因素中差别最大的是公共常识背景因素，中国教材所占比例最高，中国教材中公共常识背景的例题主要是生产利润（必修五79页例4）、生产化肥最优化（必修五87页例四）等.科学情境背景的例题则是美国教材所占比例最高，美国教材在科学情境背景中涉及了多种学科，例如，美国教材第一册44页的例题涉及社会学，美国教材第五册297页的例题涉及的体育学.
2.中加美教材不等式内容例题数学认知因素统计结果
数学认知因素分为计算，概念，领会以及分析四类，统计得中国教材的例题中计算因素1道，概念因素3道，领会因素11道，分析因素6道；加拿大教材中概念因素5道，领会因素4道，分析因素3道，无计算因素例题；美国教材的例题中，计算因素7道，概念因素46道，领会因素29道，分析因素4道.中国教材在数学认识因素方面的难度值为3.05，加拿大教材为2.83，美国教材的难度值则为2.35.
从整体上看，中国教材是领会水平的例题占主要部分，其次是分析水平，计算水平和概念水平较少，这从侧面反映了中国教材更重视学生领会能力的培养.加拿大教材与美国教材的走向则较为类似，均是概念水平的例题占主要部分，其次是领会水平，两国领会水平的例题所占比例均在33%左右，可以看出两国在不等式内容方面更加侧重于计算以及概念模仿与识记这层次.从认知因素这方面而言，中国教材和加美两国教材还是存在较大的差异性.
3.中加美教材不等式内容例题运算因素统计
经统计，中国教材与加拿大教材没有无运算类型的例题，美国教材有12道；数值运算类型例题，中国教材3道，加拿大教材3道，美国教材30道；简单符号运算类型例题，中国教材12道，加拿大教材9道，美国教材43道；加拿大教材没有复杂符号运算类型例题，而中国教材有4道，美国教材有1道.中国教材例题在运算因素方面的难度值为2.95，加拿大教材为2.75，美国教材为2.38. 图3反映三国关于运算因素均以简单符号运算为主，不等式内容多数涉及运算，作为例题，每题所展示的运算方法以及步骤不宜过多.所以，三个国家在“简单符号运算”这个水平的比例大于或等于50%，其次是数值运算.尽管如此，相比之下，中国教材在复杂符号运算方面所占比例也达到了19%，这也从侧面体现了中国教材对学生的运算能力具有较高要求.
4.中加美教材不等式内容例题推理因素统计
经统计，中国教材例题中，无推理有1道，简单推理12道，复杂推理8道；加拿大教材没有无推理例题，简单推理有9道，复杂推理3道；美国教材中，无推理有6道，简单推理74道，复杂推理6道.中国教材不等式内容例题在推理因素方面的难度值为2.33，加拿大教材为2.25，美国教材则为2.
从图4得到，三国教材均以推理的题目居多，均占了例题的92%以上，而当中简单推理的例题最多，甚至美国教材达到了86%的比例.而中国教材在简单推理的例题上是三个国家中所占比例最低，但是在复杂推理的例题上达到了38.1%，在三个国家教材中最高.
5.中加美教材不等式内容例题知识综合水平因素统计
知识综合水平因素分为1个知识点，2个知识点，3个知识点及以上这三种.中国教材例题中，含1个知识点的例题与含有3个知识点及以上的例题均有3道，2个知识点的15道；加拿大教材含有1个知识点的例题与含有3个知识点及以上的均有2道，2个知识点的8道；
美国教材含有1个知识点的例题有17道，2个知识点的41道，3个知识点及以上的共28道.经计算，中国教材与加拿大教材在不等式内容的例题知识综合水平因素方面的难度值均为2，美国教材为2.13.
从图5得到中国教材与加拿大教材例题的知识综合水平所占比例均非常接近，均已含有2个知识点的例题为主，故两国教材不等式内容的例题在该因素中的难度相等.而美國教材则是主要集中在2个知识点和3个知识点及以上.
通过利用综合难度模型对中加美三国“不等式”内容例题五个难度因素的难度值进行计算，得到下面的雷达图，进行更直观的比较.
在知识综合因素水平方面，三个国家的教材没有明显差距；除此之外，其余四个难度因素均是中国教材的难度最大.其中难度系数相差最大的是数学认知因素，中国教材与美国教材在这方面的相差1.05.加拿大教材除了背景因素与中国教材存在一定差距之外，其余四个难度因素的难度系数均紧跟其后.另外，图中的五边形都有偏右的趋势，运算因素水平在五个难度因素中较为突出，与我们比较的内容是不等式有关.
五、小 结
本文主要从对中加美三国中学数学教材中“不等式”内容例题的综合难度进行了比较，这并不是给各个教材的“优劣”进行排名，而是从各教材中的例题出发，对其不同难度因素的水平和特征进行分析，以有所启示.可以看出，加、美两国在数学例题中加入了较多的背景因素，这与荷兰数学家弗雷登塔尔所提倡的“数学化”思想不谋而合，这或许可以作为我们的借鉴.
【参考文献】
[1]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.
[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.
【关键词】不等式；综合难度；比较研究
一、问题提出
不等式是数学在生活上运用的很好例证，如基本不等式可以用于估计最值等.不等式专题也是中学数学的重要专题.一方面，它与其他各章节知识点之间联系非常密切，前者的学习对于后者的学习有着积极的促进作用.另一方面，不等式专题对于学生高等教育阶段的数学学习甚至数学研究等都起着至关重要的作用.基于这样的重要性，教材中如何处理不等式专题的内容成为我们关注的焦点.本文将从综合难度的角度出发，选取中国、加拿大、美国（以下分别简称中、加、美）教材中的例题为切入点，对中、加、美数学教材例题的综合难度进行比较研究，以期有所启示.
二、研究对象
（一）教材选取
中国教材：本论文选取现行的人民教育出版社的《义务教育教科书·数学（七年级下册）》（以下简称七年级下册），《普通高中課程标准实验教科书·数学必修5（A版）》（以下简称必修5）作为研究教材.两本教材则统称中国教材.
加拿大教材：本论文选取的是英属哥伦比亚省所使用的中学数学教材《MATHPOWERTM 9 Western Edition》（以下简称第9册）与《MATHPOWERTM 11 Western Edition》（以下简称第11册）作为研究教材.两本教材在下文中统称加拿大教材.
美国教材：选取的是McGraw-Hill公司按照加州公立学校数学课程框架出版的系列教科书《概念，技能与问题解决》作为研究教材.该系列教材在下文中统称美国教材.
（二）例题的选择
本论文的例题研究对象指的是教材正文中出现详细解答以及分析过程的例题.中国教材不等式内容例题研究对象指的是在不等式内容正文中，标有“例”或者“例题”的题目.加拿大教材与美国教材不等式内容例题研究对象指的是在不等式内容中，标有“Example（例题）”或“Real-world Example（现实生活的例子）”的题目.
三、模型简介
比较三个国家教材的例题综合难度模型选择的是华东师范大学数学系鲍建生教授构建的五因素多水平的模型.其难度水平表如下：
四、比较结果
（一）例题数量与题型统计结果
在三个国家教材的“不等式”内容中，中国教材有21道例题，加拿大教材12道，美国教材例题数最多，共有86道.
题型统计结果为，中国教材计算题5道，解答题15道，证明题1道，计算题题型例题占例题总数的23.8%，解答题占71.4%，证明题占4.8%.加拿大教材计算题7道，解答题5道；美国教材计算题48道，解答题38道，加拿大教材与美国教材均没有证明题题型的例题.其中，加拿大计算题题型的例题占58.3%，解答题占41.7%；美国教材计算题题型占56%，解答题占44%.
（二）中加美教材例题综合难度因素比较结果
1.中加美教材不等式内容例题背景因素统计结果
经统计得，中国教材无背景因素例题与公共生活背景因素均有9道，个人生活背景因素2道，科学情境因素1道；加拿大教材无背景因素例题9道，个人生活背景因素2道，科学情境因素1道；美国教材无背景因素例题58道，个人生活背景因素8道，公共生活因素11道，科学情境因素9道.通过难度计算公式，经计算得，中国教材不等式内容例题在背景因素方面的难度值为2.10，加拿大教材为1.42，美国教材为1.66.
由图1可知，3个国家均是无背景例题所占比例最高，加拿大教材更是达到75%，这与我们的比较内容是不等式有一定的关系，不等式内容中多数是计算题，例题展示最多的是解不等式.四个因素中差别最大的是公共常识背景因素，中国教材所占比例最高，中国教材中公共常识背景的例题主要是生产利润（必修五79页例4）、生产化肥最优化（必修五87页例四）等.科学情境背景的例题则是美国教材所占比例最高，美国教材在科学情境背景中涉及了多种学科，例如，美国教材第一册44页的例题涉及社会学，美国教材第五册297页的例题涉及的体育学.
2.中加美教材不等式内容例题数学认知因素统计结果
数学认知因素分为计算，概念，领会以及分析四类，统计得中国教材的例题中计算因素1道，概念因素3道，领会因素11道，分析因素6道；加拿大教材中概念因素5道，领会因素4道，分析因素3道，无计算因素例题；美国教材的例题中，计算因素7道，概念因素46道，领会因素29道，分析因素4道.中国教材在数学认识因素方面的难度值为3.05，加拿大教材为2.83，美国教材的难度值则为2.35.
从整体上看，中国教材是领会水平的例题占主要部分，其次是分析水平，计算水平和概念水平较少，这从侧面反映了中国教材更重视学生领会能力的培养.加拿大教材与美国教材的走向则较为类似，均是概念水平的例题占主要部分，其次是领会水平，两国领会水平的例题所占比例均在33%左右，可以看出两国在不等式内容方面更加侧重于计算以及概念模仿与识记这层次.从认知因素这方面而言，中国教材和加美两国教材还是存在较大的差异性.
3.中加美教材不等式内容例题运算因素统计
经统计，中国教材与加拿大教材没有无运算类型的例题，美国教材有12道；数值运算类型例题，中国教材3道，加拿大教材3道，美国教材30道；简单符号运算类型例题，中国教材12道，加拿大教材9道，美国教材43道；加拿大教材没有复杂符号运算类型例题，而中国教材有4道，美国教材有1道.中国教材例题在运算因素方面的难度值为2.95，加拿大教材为2.75，美国教材为2.38. 图3反映三国关于运算因素均以简单符号运算为主，不等式内容多数涉及运算，作为例题，每题所展示的运算方法以及步骤不宜过多.所以，三个国家在“简单符号运算”这个水平的比例大于或等于50%，其次是数值运算.尽管如此，相比之下，中国教材在复杂符号运算方面所占比例也达到了19%，这也从侧面体现了中国教材对学生的运算能力具有较高要求.
4.中加美教材不等式内容例题推理因素统计
经统计，中国教材例题中，无推理有1道，简单推理12道，复杂推理8道；加拿大教材没有无推理例题，简单推理有9道，复杂推理3道；美国教材中，无推理有6道，简单推理74道，复杂推理6道.中国教材不等式内容例题在推理因素方面的难度值为2.33，加拿大教材为2.25，美国教材则为2.
从图4得到，三国教材均以推理的题目居多，均占了例题的92%以上，而当中简单推理的例题最多，甚至美国教材达到了86%的比例.而中国教材在简单推理的例题上是三个国家中所占比例最低，但是在复杂推理的例题上达到了38.1%，在三个国家教材中最高.
5.中加美教材不等式内容例题知识综合水平因素统计
知识综合水平因素分为1个知识点，2个知识点，3个知识点及以上这三种.中国教材例题中，含1个知识点的例题与含有3个知识点及以上的例题均有3道，2个知识点的15道；加拿大教材含有1个知识点的例题与含有3个知识点及以上的均有2道，2个知识点的8道；
美国教材含有1个知识点的例题有17道，2个知识点的41道，3个知识点及以上的共28道.经计算，中国教材与加拿大教材在不等式内容的例题知识综合水平因素方面的难度值均为2，美国教材为2.13.
从图5得到中国教材与加拿大教材例题的知识综合水平所占比例均非常接近，均已含有2个知识点的例题为主，故两国教材不等式内容的例题在该因素中的难度相等.而美國教材则是主要集中在2个知识点和3个知识点及以上.
通过利用综合难度模型对中加美三国“不等式”内容例题五个难度因素的难度值进行计算，得到下面的雷达图，进行更直观的比较.
在知识综合因素水平方面，三个国家的教材没有明显差距；除此之外，其余四个难度因素均是中国教材的难度最大.其中难度系数相差最大的是数学认知因素，中国教材与美国教材在这方面的相差1.05.加拿大教材除了背景因素与中国教材存在一定差距之外，其余四个难度因素的难度系数均紧跟其后.另外，图中的五边形都有偏右的趋势，运算因素水平在五个难度因素中较为突出，与我们比较的内容是不等式有关.
五、小 结
本文主要从对中加美三国中学数学教材中“不等式”内容例题的综合难度进行了比较，这并不是给各个教材的“优劣”进行排名，而是从各教材中的例题出发，对其不同难度因素的水平和特征进行分析，以有所启示.可以看出，加、美两国在数学例题中加入了较多的背景因素，这与荷兰数学家弗雷登塔尔所提倡的“数学化”思想不谋而合，这或许可以作为我们的借鉴.
【参考文献】
[1]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.
[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.